Конспекты алгебра 3 часть 7 класс

Урок 43
Определение степени
с натуральным показателем

Цели: ввести понятие степени числа а с натуральным показателем п; определить значение степени с натуральным показателем положительного и отрицательного числа в зависимости от четности / нечетности показателя степени; формировать умение вычислять значение степени и представлять число в виде степени с натуральным показателем.

Ход урока

I. Устная работа.

Вычислите.

а) 3 · 45; б) · 120; в) ;

г) ; д) · 49; е) -3 · (-16);

ж) -(-3) · 12; з) -(2 · (-9)); и) ;

к) 18 · + 11; л) · (11 - 6); м) .

II. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводить согласно пункту 18 учебника. Напоминаем, что вместо длинной записи произведения 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 можно записать выражение 5⁷, где 5 - основание степени (повторяющийся множитель), а 7 - показатель степени (число повторяющихся множителей).

Понятие степени определяем для любого числа а в качестве основания и любого натурального показателя (аналитическая запись).

На доску выносится запись:

Проговариваем с учащимися правило чтения степени, приводим примеры.

2. Мини-лабораторная работа.

Найдите значение степени.

3³; 3⁴; 3⁵; 3⁶; 0¹;

; 0²;

(0,1)²; (0,1)³; (0,1)⁴; (0,1)⁵; 0³;

(-2)²; (-2)³; (-2)⁴; (-2)⁵; 0⁴;

; 0⁵;

(-0,1)²; (-0,1)³; (-0,1)⁴; (-0,1)⁵; 0⁶.

Задания разбиваем либо по группам, либо раздаем индивидуально. Затем «по цепочке» ученики выходят к доске и записывают результаты.

После анализа полученных результатов на доску выносятся следующие правила:

Обособленно выносим правило для квадратов чисел (пропедевтика изучения решения квадратных уравнений):

3. Рассматриваем примеры 1-3 со с. 88-89 учебника.

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом уроке, можно условно разбить на группы:

1-я группа. Задания на усвоение понятия степени.

2-я группа. Задания на вычисление значения степени числа с натуральным показателем.

3-я группа. Задания на вычисление значения числового выражения, содержащего степень.

1-я группа

№ 374, № 375 (устно), № 376, № 378, № 380.

При выполнении этих заданий учащиеся должны четко называть степень, можно просить назвать их основание и показатель степени.

2-я группа

1. № 382, № 381 (а, б).

2. Не выполняя вычислений, сравните значение данного выражения с нулем:

а) (-4,1) · (-5,6)⁶; б) (-3,3)³ : (-5,7);

в) -(4,8)² · (-1,2)⁴; г) -(-2,7)⁴ · (-6,4)⁵.

3. Сравните значения выражений:

а) (-6,5)⁴ и (-2,4)³;

б) (-0,2)⁶ и (-0,2)¹⁰;

в) (-1,5)⁷ и (-1,5)⁹.

3-я группа

№ 384, 385 (а, в, г), 386 (а, в, д, ж), 387 (а, б, в).

IV. Итоги урока.

- Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них основание и показатель степени.

- Чему равна первая степень любого числа?

- Какой знак имеет результат возведения положительного числа в натуральную степень?

- Какой знак имеет значение степени отрицательного числа с четным показателем? С нечетным показателем?

- Каков порядок действий при нахождении значения выражения, содержащего степени с натуральным показателем?

Домашнее задание: № 377; 379; 381 (в, г); 383; 385 (б, г, е); 386 (б, г, е, з).

Урок 44
Решение задач по теме «Определение степени
с натуральным показателем»

Цели: продолжить формировать умение вычислять значение числового выражения, содержащего степень; формировать умение вычислять значение буквенного выражения, содержащего степень, и решать практические задачи с использованием понятия степени с натуральным показателем.

Ход урока

I. Математический диктант.

Вариант 1

1. Запишите в виде произведения третью степень числа 4 и найдите её числовое значение.

2. Чему равна первая степень числа -5?

3. Вычислите значение выражения 2³ · 0,5.

4. Чему равна сумма кубов чисел 5 и 3?

5. Вычислите значение выражения (-3)² + (0,1)³.

Вариант 2

1. Запишите в виде произведения четвертую степень числа 3 и найдите её числовое значение.

2. Чему равна первая степень числа ?

3. Вычислите значение выражения 3² · 0,7.

4. Чему равен квадрат разности чисел 7 и 5?

5. вычислите значение выражения (-5)³ - (0,2)².

II. Актуализация знаний.

№ 387 (г, д, е, ж, з, и), № 388.

№ 388.

Решение:

а) -1³ + (-2)³ = -1 + (-8) = -9;

б) -6² - (-1)⁴ = -36 - 1 = -37;

в) -8³ + (-3)³ = -512 + (-27) = -539;

г) 10 - 5 · 2⁴ = 10 - 5 · 16 = 10 - 80 = -70;

д) 2 · 3⁴ - 3 · 2⁴ = 2 · 81 - 3 · 16 = 162 - 48 = 114;

е) 2 · 5³ + 5 · 2³ = 2 · 125 + 5 · 8 = 250 + 40 = 290;

ж) 3⁴ - = 81 - 1 = 80;

з) 0,2 · 3² - 0,4 · 2⁴ = 0,2 · 3² - 0,2 · 2 · 2⁴ = 0,2(3² - 2 · 2⁴) =
= 0,2(9 - 2 · 16) = 0,2 · (9 - 32) = 0,2 · (-23) = -4,6;

и) 8 · 0,5³ + 25 · 0,2² = 2 ³ · 0,5³ + 5² · 0,2² = (2 · 0,5)³ + (5 · 0,2)² =
= 1³ + 1² = 1 + 1 = 2.

При выполнении этого упражнения учащиеся выводят правило:

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке отрабатывается умение вычислять значение буквенного выражения, содержащего степень.

1-й блок

1. Найдите значения выражений х²; - х²; х² - 4 для заданных значений х и заполните таблицу (используйте найденные значения выражения х² для вычисления значений двух других выражений):

2. Найдите значение выражений х³; 0,1х³; х³ + 10 для заданных значений х и заполните таблицу:

3. № 392 (устно).

2-й блок

1. Найдите значение выражения.

а) (ху)² при х = 12 и у = -0,5; х = -14 и у = -1;

б) при х = -6 и у = 1,5; х = 0 и у = -23;

в) (х + у)⁴ при х = 0,7 и у = 0,3; х = -11 и у = 6;

г) (у - х)³ при х = -14 и у = -10; х = 0,9 и у = 1,1.

2. № 393.

3. Сравните значения выражений.

а) -а² и (-а)² при а = 3; -5; 0;

б) -а³ и (-а)³ при а = 10; -2; 0.

4. № 395.

Решение:

а) а³ · а = (а · а · а) · а = а⁴;

б) а⁴ · а² = (а · а · а · а) · (а · а) = а⁶;

в) а³ · а⁶ = = а⁹;

г) а²⁰ · а¹² = = а³².

№ 396, № 397.

3-й блок

1. № 389.

2. Сколько биений сделает сердце человека за сутки, если за 1 мин оно делает в среднем 75 биений?

3. Может ли школьник поднять 1 м³ пробки? (Масса 1 см³ пробки 0,2 г.)

Решение:

Рассчитаем, сколько см³ в 1 м³:

1 м³ = 1 · 1 · 1 ( в м) = 100 · 100 · 100 (в см) = 1 000 000 = 10⁶ см³.

Масса 1 м³ пробки равна 0,2 · 10⁶ (г), что составляет 200 000 г или 200 кг. Значит, школьник не сможет поднять такую массу.

Ответ: нет.

4. Если разрезать кубический метр на кубические сантиметры и поставить их один на другой, то какой высоты получится столб?

При решении этой задачи следует использовать результаты предыдущей задачи.

IV. Итоги урока.

- Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

- Чему равна любая натуральная степень нуля?

- Каков порядок действий при нахождении числового и буквенного выражения, содержащего степень?

- Чему равно значение выражения 0,2⁸ · 5⁸? Как рационально вычислить? Каким правилом необходимо воспользоваться?

Домашнее задание: № 390; № 391; № 394; № 398.

Урок 45
Умножение и деление степеней
с одинаковыми основаниями

Цели: вывести правила умножения и деления степеней с одинаковым основанием; дать определение нулевой степени числа, не равного нулю; формировать умение выполнять указанные действия со степенями.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Вычислите.

а) 3²; б) ; в) (0,1)³; г) ;

д) ; е) (-0,1)⁴; ж) ; з) -(-7)²;

и) -(-2)³; к) 0¹⁶; л) (-1)¹⁸; м) -(-1)²³.

2. Сравните значение двух выражений:

а) (-8,64)²⁰ и 0³⁰; б) (-1)⁷⁶ и (-1)⁷⁰;

в) и (-3,82)¹³; г) и .

II. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Найдите значение выражения.

а) - (0,5)²; б) 3000 · (0,2)³ - (-2)⁶; в) - (-3)³.

2. Вычислите значение выражения х³ - х² при:

а) х = 0,3; б) х = -6.

Вариант 2

1. Найдите значение выражения.

а) + (0,6)²; б) 2000 · (0,3)⁴ - (-2)⁴; в) - (-4)³.

2. Вычислите значение выражения х² + х³ при:

а) х = -0,4; б) х = 10.

III. Объяснение нового материала.

На этом уроке изучаем два важных свойства степени: сложение и умножение степеней с одинаковыми основаниями.

Вывод правил целесообразно осуществлять, работая сразу с числовыми и буквенными выражениями, результаты оформить в виде таблицы.

Замечаем, что a^m : a^m = a^{m - m} = a⁰ = 1.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом занятии можно отрабатывать только умение находить произведение степеней с одинаковым основанием.

1. № 403.

Решение:

а) x⁵x⁸ = x^{5 + 8} = x¹³; е) yy¹² = y^{1 + 12} = y¹³;

ж) 2⁶2⁴ = 2^{6 + 4} + 2¹⁰; з) 7⁵7 = 7^{5 + 1} = 7⁶.

2. № 405.

Решение:

а) a¹⁵ = a^{6 + 9} = a⁶ ∙ a⁹; б) a¹⁵ = a^{9 + 6} = a⁹ ∙ a⁶;

в) a¹⁵ = a^{2 + 13} = a² ∙ a¹³; г) a¹⁵ = a^{14 + 1} = a¹⁴ ∙ a = a ∙ a¹⁴.

3. № 407.

Решение:

Представим число 6 в виде суммы двух натуральных чисел всеми возможными способами:

6 = 1 + 5; 6 = 2 + 4; 6 = 3 + 3.

Значит, a⁶ = a ∙ a⁵; a⁶ = a² ∙ a⁴; a⁶ = a³ ∙ a³.

4. № 409.

Решение:

а) m³m²m⁸ = m^{3 + 2 + 8} = m¹³; в) xx⁴x⁴x = x^{1 + 4 + 4 + 1} = x¹⁰;

д) 7⁸ ∙ 7 ∙ 7⁴ = 7^{8 + 1 + 4} = 7¹³; е) 5 ∙ 5² ∙ 5³ ∙ 5⁵ = 5^{1 + 2 + 3 + 4} = 5¹¹.

5. № 410.

При выполнении этого упражнения ученики сами определяют основание степени, которое будет являться общим для двух степеней.

Решение:

а) 5⁸ ∙ 25 = 5⁸ ∙ 5² = 5^{8 + 2} = 5¹⁰;

в) 6¹⁵ ∙ 36 = 6¹⁵ ∙ 6² = 6^{15 + 2} = 6¹⁷;

д) 0,4⁵ ∙ 0,16 = 0,4⁵ ∙ 0,4² = 0,4^{5 + 2} = 0,4⁷;

е) 0,001 ∙ 0,1⁴ = 0,1³ ∙ 0,1⁴ = 0,1^{3 + 4} = 0,1⁷.

6. № 411.

Решение:

а) 2⁴ ∙ 2 = 2^{4 + 1} = 2⁵ = 32;

б) 2⁶ ∙ 4 = 2⁶ ∙ 2² = 2^{6 + 2} = 2⁸ = 256;

в) 8 ∙ 2⁷ = 2³ ∙ 2⁷ = 2^{3 + 7} = 2¹⁰ = 1024;

г) 16 ∙ 32 = 2⁴ ∙ 2⁵ = 2^{4 + 5} = 2⁹ = 512.

7. № 413.

Решение:

а) (c⁴)² = c⁴ ∙ c⁴ = c^{4 + 4} = c⁸;

б) (c²)⁴ = c² ∙ c² ∙ c² ∙ c² = c^{2 + 2 + 2 + 2} = c⁸.

V. Итоги урока.

- Дайте определение степени с натуральным показателем.

- Сформулируйте основное свойство степени.

- Сформулируйте правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями. Приведите примеры.

- Дайте определение степени числа с нулевым показателем.

Домашнее задание: № 404; № 406; № 408; 412; № 533.

Урок 46
Решение задач по теме
«Умножение и деление степеней»

Цели: продолжить формировать умение выполнять действия со степенями с одинаковыми основаниями.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Найдите значение выражения.

а) 4³; б) (0,7)²; в) ; г) 0¹²;

д) (-6)²; е) (-0,3)⁴; ж) (-1)⁸; з) .

2. Сравните с нулем значение выражения.

а) (-25)¹² · (-25)⁹;

б) (-4)¹⁹ : (-4)⁷;

в) (-12)¹³ · (-12)⁸.

3. Замените звездочку степенью с основанием а так, чтобы стало верным равенство:

а) а⁴ · * = а¹²; б) * · а = а⁴;

в) а¹⁴ : * = а⁷; г) * : а⁹ = а¹⁰.

II. Формирование умений и навыков.

На этом занятии учащиеся отрабатывают умение делить степени с одинаковыми основаниями и решают комбинированные задачи.

1. № 414.

Решение:

а) x⁵ : x³ = x^{5 - 3} = x²;

в) a²¹ : a = a^{21 - 1} = a²⁰;

з) 0,7⁹ : 0,7⁴ = 0,7^{9 - 4} = 0,7⁵.

2. № 416.

Решение:

а) 5⁶ : 5⁴ = 5^{6 - 4} = 5² = 25;

б) 10¹⁵ : 10¹² = 10^{15 - 12} = 10³ = 1000;

в) 0,5¹⁰ : 0,5⁷ = 0,5^{10 - 7} = 0,5³ = 0,125;

г) ;

д) 2,73¹³ : 2,73¹² = 2,73^{13 - 12} = 2,73;

е) .

3. Используя правила умножения и деления степеней, упростите выражение.

а) x⁸ ∙ x³ : x⁵; б) x²⁰ : x¹⁰ ∙ x;

в) x⁷ : x³ : x³; г) x¹⁴ : x⁹ ∙ x⁵.

Решение:

а) x⁸ ∙ x³ : x⁵ = x^{8 + 3} : x⁵ = x¹¹ : x⁵ = x^{11 - 5} = x⁶;

б) x²⁰ : x¹⁰ ∙ x = x^{20 - 10} ∙ x = x¹⁰ ∙ x = x^{10 + 1} = x¹¹;

в) x⁷ : x³ : x³ = x^{7 - 3} : x³ = x⁴ : x³ = x^{4 - 3} = x;

г) x¹⁴ : x⁹ ∙ x⁵ = x^{14 - 9} ∙ x⁵ = x⁵ ∙ x⁵ = x^{5 + 5} = x¹⁰.

4. № 417.

Решение:

а) = 8⁶ : 8⁴ = 8^{6 - 4} = 8² = 64;

б) = 0,8⁷ : 0,8⁴ = 0,8^{7 - 4} = 0,8³ = 0,512;

в) = (-0,3)⁵ : (-0,3)³ = (-0,3)^{5 - 3} = (-0,3)² = 0,09;

г) ;

д)

.

5. Найдите значение выражения.

а) ; б) ;

в) ; г) .

При выполнении этого упражнения уже не обязательно переписывать дробь в виде частного.

Желательно, чтобы учащиеся проговаривали не только правила действий над степенями, но и правила возведения в степень отрицательного числа при четном нечетном показателях.

Решение:

а) = 8^{21 - 18} = 8³ = 512;

б) = 10^{10 - 6} = 10⁴ = 10 000;

в) = (-2)^{11 - 8} = (-2)³ = -8;

г) = (0,3)^{17 - 14} = (0,3)³ = 0,027.

6. № 419 (а, в, д).

Решение:

а) xⁿ ∙ x³ = x^{n + 3};

в) x ∙ xⁿ = x^{1 + n} = x^{n + 1};

д) c⁹ : c^m = c^{9 - m}.

7. Представьте данное выражение сначала в виде произведения степеней, а затем в виде частного степеней.

а) a^{m - 2}; б) a⁴ⁿ; в) aⁿ.

Решение:

а) a^{m - 2} = a^{m - 4} ∙ a²; a^{m - 2} = a^m : a²;

б) a⁴ⁿ = a²ⁿ ∙ a²ⁿ; a⁴ⁿ = a⁵ⁿ : aⁿ;

в) aⁿ = a^{n - 1} ∙ a; aⁿ = a²ⁿ : aⁿ.

Выполняя это упражнение, учащиеся могут предложить свои варианты разбиения на множители.

8. № 420 (а, в), № 421 (а, б).

№ 420.

Решение:

а) если х = 2,6, то 3х⁰ = 3 (при любом значении х);

в) 10a²b⁰ = 10a², если а = 3, b = -8, то 10a² = 10 · 3² = 10 · 9 = 90.

№ 421.

Решение:

а) b⁴ · b⁰ = b⁴ · 1 = b⁴; б) c⁵ : c⁰ = c⁵ : 1 = c⁵.

При выполнении этого упражнения учащиеся могут воспользоваться правилом умножения и деления степеней.

III. Итоги урока.

- Дайте определение степени с натуральным показателем.

- Сформулируйте правило возведения отрицательного числа в четную степень, в нечетную степень.

- Какой знак имеет результат возведения любого числа в квадрат?

- Сформулируйте правила сложения и умножения степеней с одинаковыми основаниями.

- Чему равно значение выражения 2⁰; (-1)¹; ?

Домашнее задание: № 415; № 418; № 419 (б, г, е); № 420 (б, г);
№ 421 (в, г); № 422.

Урок 47
Решение практических задач по теме
«Умножение и деление степеней»

Цель: формировать умение использовать правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями при решении практических задач.

Ход урока

I. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Представьте в виде степени произведение.

а) x⁶ ∙ x³ ∙ x⁷; б) (-7)³ ∙ (-7)² ∙ (-7)⁹.

2. Представьте в виде степени частное.

а) x⁸ : x⁴; б) (-0,5)⁶ : (-0,5)⁸.

3. Найдите значение выражения.

а) ; б) .

Вариант 2

1. Представьте в виде степени произведение.

а) y⁵ ∙ y⁹ ∙ y²; б) (-6)⁸ ∙ (-6)² ∙ (-6)³.

2. Представьте в виде степени частное.

а) z¹⁰ : z⁷; б) .

3. Найдите значение выражения.

а) ; б) .

II. Мотивация изучения.

Данная тема предоставляет учителю возможность познакомить детей с числовыми величинами, которыми можно выразить количественные отношения реального мира. В этом плане особенно важны задачи, содержащие реальные величины, например задачи о Солнечной системе, планетах и других космических телах.

Полезно ознакомить учащихся с названиями классов принятой десятичной нумерации:

Интересно для сравнения привести наименования классов старинной русской нумерации. Л. Магницкий в своей «Арифметике», изданной при Петре I, упоминает такие названия:

10³ - тысяча

10⁴ - тьма

10⁵ - легион

10⁶ - леодр

10⁷ - вран

10⁸ - колода.

Операции с числовыми великанами делают актуальными приближенные вычисления. Если исходные данные в задаче получены в результате измерений (например, астрономических) с точностью до 2-3 десятичных знаков, нет никакого смысла в последующих десятках цифр. Поэтому в этой теме уместно познакомить детей с правилами округления чисел.

III. Формирование умений и навыков.

1. Найдите отношение массы каждой из планет Солнечной системы к массе Земли.

Справка.

2. В астрономии одной из единиц длины является световой год,
то есть расстояние, которое проходит за год луч света. Скорость света
с = 300 000 км/с. Вычислите:

а) за какое время луч света доходит от Земли до Луны, от Солнца до Земли; б) величину светового года в километрах; в) расстояние от Земли до звезды Сириус в световых годах.

Справка. Среднее расстояние от Земли до Луны 384 000 км, от Земли до звезды Сириус 8,2 · 10¹³ км.

3. Ежегодно прирост древесины на опытном участке составляет 10 %. Какое количество древесины будет на участке через 10 лет, если сейчас её 10⁵ м³?

4. В сберегательном банке вкладчику начисляется 20 % в год от сданной на хранение суммы. Через сколько лет первоначальная сумма увеличится более чем в 2 раза; в 5 раз?

5. Найдите массу мотка медной проволоки сечением 2 мм и длиной 50 м.

Справка. Масса вычисляется по формуле m = ρ ∙ V, где ρ - плотность вещества. В частности, для меди ρ = 8,9 г/см³. А для вычисления объема цилиндра V нужно воспользоваться формулой V = πR²H.

6*. Какое наибольшее число абонентов может быть прикреплено к одной АТС при семизначной записи номеров телефона? Первые три цифры всех номеров данной АТС одинаковы.

IV. Итоги урока.

- Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

- В каких областях используются вычисления больших степеней числа 10?

Домашнее задание: 1. Во сколько раз число 4,8 · 10¹⁹ больше числа 1,2 · 10¹⁹?

2. Найдите расстояние от Солнца до планет Солнечной системы в астрономических единицах.

Справка.

Астрономическая единица (а. е.) - среднее расстояние от Солнца до Земли.

3. № 542; № 543.

Урок 48
Возведение в степень произведения

Цели: вывести правило возведения в степень произведения двух и более сомножителей; формировать умение вычислять степень произведения, а также рационально преобразовывать выражения, содержащие степень произведения либо предполагающие использование данного свойства.

Ход урока

I. Устная работа.

Вычислите.

а) 2³ · 5³; в) 12²; д) 5³ · ; ж) (bx)⁵;

б) 10³; г) 3² · 4²; е) (2а)³; з) (ab)ⁿ.

II. Объяснение нового материала.

Конструкция примеров и их последовательность позволяют сделать обобщение. В результате появится следующая запись:

Заготовленный лист с этим свойством закрепить на доску к ранее изученным. Это равенство можно доказать устно с подробной записью доказательства на доске:

Доказательство:

(ab)ⁿ = (ab) · (ab) · ... · (ab) по определению степени п раз;

(ab) · (ab) · ... · (ab) = (aa...a)(bb...b) по свойствам умножения п раз п раз; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.

Ученики пробуют самостоятельно сформулировать алгоритмическое правило возведения в степень произведения. Они приходят к выводу, что необходимо выполнить два шага:

1) каждый множитель возводить в эту степень;

2) результаты перемножить.

Следует записать выводы учащихся в виде алгоритма на доске и подчеркнуть глаголы. Глагол обозначает действие, которое необходимо выполнить. Ребята выясняют, можно ли поменять местами порядок выполнения действий. Далее идёт работа с учебником. Ребята сравнивают формулировку, которая получилась у них, с той, которая находится в учебнике на с. 97.

Такой подход даёт хороший результат быстрого заучивания формулировок свойств степени.

Последним можно предложить следующий пример:

(abсd)⁴ = ...

Решение:

(abcd)⁴ = a⁴b⁴c⁴d⁴.

Учащиеся могут самостоятельно доказать, что данная формула верна не только для двух сомножителей, но и большего их числа.

По окончании объяснения нового материала рассмотреть пример 1 со с. 97 учебника.

III. Формирование умений и навыков.

При выполнении упражнений на уроке ученики должны проговаривать правило и алгоритм возведения произведения в степень.

Кроме того, задания предполагают применение формулы как слева направо, так и справа налево. Необходимость того или иного способа обусловлена рациональностью преобразования выражения либо вычисления его значения.

1. № 428.

2. Выполните возведение в степень, представив предварительно основание степени в виде произведения множителей -1 и х:

а) (-х)²; б) (-х)⁸; в) (-х)¹⁰⁰; г) (-х)^2п;

д) (-х)³; е) (-х)⁹; ж) (-х)⁷¹; з) (-х)^{2п + 1}.

Решение:

а) (-х)² = ((-1) · х)² = (-1)² · х² = 1 · х² = х²;

е) (-х)⁹ = ((-1) · х)⁹ = (-1)⁹ · х⁹ = -1 · х⁹ = -х⁹;

г) (-х)^2п = ((-1) · х)^2п = (-1)^2п · х^2п = 1 · х^2п = х^2п;

з) (-х)^{2п + 1} = ((-1) · х)^{2п + 1} = (-1)^{2п + 1} · х^{2п + 1} = -1 · х^{2п + 1} = -х^{2п + 1}.

3. № 431.

Решение:

а и -а - противоположные числа.

а²;

(-а)² = ((-1) · а)² = (-1)² · а² = 1 · а² = а²,

значит, а² = (-а²).

4. № 432.

Решение: