Задания для проведения олимпиады по математике в 7 классе

Задания для проведения муниципального этапа олимпиады школьников по математике

(7 класс)

Составитель: Казнина И.Г.

Учитель математики МОУ Спасская СШ

Ярославского МР, Ярославской обл.

2015

Задания для проведения муниципального этапа олимпиады школьников по математике

(7 класс)

1. Путник шел в гору со скоростью v км/час, а с горы 2 v км/час. Какова скорость путника, если он поднимался в гору и возвращался в исходный пункт у подножия горы по одной и той же тропинке?

2. К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число в 23 раза больше первоначального. Найдите это двузначное число.

3. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличилось на 20%, а затем уменьшилось на 20%. В какой бочке стало больше воды?

4. Через точку В проведены четыре прямые так, что АВ ВD, ВЕ ВС, и проведена прямая АС, пересекающая данные прямые так, что АВ = ВС. Прямая АС пересекает ВD в точке D, АС пересекает ВЕ в точке Е. Докажите, что АВЕ = BCD.

5. У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2, ...., 55 кг.
   Они по очереди подкладывают свои гири каждый на свою чашу двухчашечных весов. Первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг. Сможет ли он этого добиться?

6. У Васи есть незамкнутая цепочка из 23 звеньев. Вася разомкнул в ней несколько звеньев так, что теперь он может подарить Маше любое количество звеньев от 1 до 23. Какое количество звеньев разомкнул Вася, если известно, что оно наименьшее из возможных? (Размыкание одного звена может разделить цепочку на три части, одна из которых - разомкнутое звено).

Ответы, решения, комментарии по оценке:

1. Путник шел в гору со скоростью v км/час, а с горы 2 v км/час. Какова скорость путника, если он поднимался в гору и возвращался в исходный пункт у подножия горы по одной и той же тропинке?

Ответ:

Решение:

Введем обозначение: s - расстояние, пройденное путником в одном направлении.. - время, затраченное на подъем.. - время, затраченное на спуск. - время, затраченное на подъем и спуск - 2s. Средняя скорость

км/час.

Баллы

КОММЕНТАРИИ

7

Полное, верное решение.

6

Верное решение. Имеются небольшие недочёты, в целом не влияющие на решение.

5

Допущены вычислительные ошибки, ошибки при упрощении составленного буквенного выражения, при исправлении которых решение будет верным.

4

Правильно составлен план (идея) решения, но не доведено до логического конца.

3

Рассмотрены отдельные действия решения, но допущены вычислительные ошибки или ошибки при упрощении буквенного выражения.

2

Рассмотрены отдельные действия решения, вычисления отсутствуют.

1

Решение неверное.

0

Решение отсутствует

2. К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число в 23 раза больше первоначального. Найдите это двузначное число.

Ответ: 77.

Решение.

Пусть искомое двузначное число имеет вид = 10а + b, где а и b некоторые цифры. После приписывания слева и справа по единице получим число = 1000 +100a + 10b + 1, Согласно условию задачи 1000 + 100а + 10b + 1 = 23 • (10а + b). После упрощений получим 1001=130a+13b или 10a+b=77.

Баллы

КОММЕНТАРИИ

7

Полное, верное решение.

6

Верное решение. Имеются небольшие недочёты, в целом не влияющие на решение.

5

Допущены вычислительные ошибки, ошибки при упрощении верно составленного буквенного выражения, при исправлении которых решение будет верным.

4

Правильно составлен план (идея) решения, но не доведено до логического конца.

3

Рассмотрены отдельные действия решения, но допущены вычислительные ошибки.

2

Рассмотрены отдельные действия решения.

1

Решение неверное.

0

Решение отсутствует.

3.В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличилось на 20%, а затем уменьшилось на 20%. В какой бочке стало больше воды?

Ответ: больше воды стало в первой бочке.

Решение.

Обозначим количество воды в каждой бочке через V. Тогда:

1) 0,9 • V- количество воды в первой бочке после уменьшения ее на 10%

2) 0,9 • V•1,1 =0,99•V - количество воды в первой бочке после увеличения ее на 10%.

3) 1,2•V-количество воды во второй бочке после увеличения ее на 20%

4) 1,2•V•0,8 = 0,96•V - количество воды во второй бочке после уменьшения ее на 20%.

Баллы

КОММЕНТАРИИ

7

Полное, верное решение.

6

Верное решение. Имеются небольшие недочёты, в целом не влияющие на решение.

5

Допущены вычислительные ошибки, ошибки при упрощении верно составленного буквенного выражения, при исправлении которых решение будет верным.

4

Правильно составлен план (идея) решения, но не доведено до логического конца.

3

Рассмотрены отдельные действия решения, но допущены вычислительные ошибки.

2

Рассмотрены отдельные действия решения.

1

Решение неверное.

0

Решение отсутствует.

4.Через точку В проведены четыре прямые так, что АВ ВD, ВЕ ВС, и проведена прямая АС, пересекающая данные прямые так, что АВ = ВС. Прямая АС пересекает ВD в точке D, АС пересекает ВЕ в точке Е. Докажите, что АВЕ = BCD

Решение:

Так как АВ = ВС, то ВАС = ВСА. Далее, АВЕ = 90° - ЕВD, СВD = 90° - ЕВD. Отсюда АВЕ = СВD. Итак, имеем: АВ = ВС,. ВАС = ВСА, АВЕ = СВD. Значит, АВЕ = ВСD.

Баллы

КОММЕНТАРИИ

7

Полное, верное решение.

6

Верное решение. Имеются небольшие недочёты, в целом не влияющие на решение.

5

Правильно выполнен чертёж к задаче, правильно применено свойство равнобедренного треугольника, правильно найдены углы в АВЕ и BCD, но вывод о равенстве этих треугольников не сделан.

4

Правильно выполнен чертёж к задаче, правильно составлен план (идея) решения, но не доведено до логического конца.

3

Правильно выполнен чертёж к задаче, рассмотрены отдельные действия решения.

2

Правильно выполнен чертёж к задаче.

1

Решение неверное.

0

Решение отсутствует.

5.У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2, ...., 55 кг.
Они по очереди подкладывают свои гири каждый на свою чашу двухчашечных весов. Первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг. Сможет ли он этого добиться?
Ответ. Да.

Решение:
1. Петя может просто повторять ходы Васи. В какой-то момент Вася вынужден будет сходить гирей 50 кг и немедленно проиграет.
2. Петя откладывает в сторону свою 50-килограммовую гирю и ходит как угодно остальными гирями. В конце игры Вася выложит все гири, а Петя все, кроме 50-килограммовой.
Следовательно, чаша Васи будет весить на 50 кг тяжелее.

Баллы

КОММЕНТАРИИ

7

Полное, верное решение. Рассмотрены два возможных варианта развития события.

6

Верное решение. Имеются небольшие недочёты, в целом не влияющие на решение.

5

Рассмотрен и правильно обоснован только один из возможных вариантов.

4

Рассмотрен и правильно обоснован только один из возможных вариантов. Имеются небольшие недочёты, в целом не влияющие на решение.

3

Предложены варианты возможного развития события, но ни один из них не обоснован.

2

Предложен один вариант, но не обоснован

1

Решение неверное.

0

Решение отсутствует.

6.У Васи есть незамкнутая цепочка из 23 звеньев. Вася разомкнул в ней несколько звеньев так, что теперь он может подарить Маше любое количество звеньев от 1 до 23. Какое количество звеньев разомкнул Вася, если известно, что оно наименьшее из возможных? (Размыкание одного звена может разделить цепочку на три части, одна из которых - разомкнутое звено)

Ответ. Два звена.

Решение:

Способ 1. Докажем сначала, что одним размыканием обойтись нельзя. После любого размыкания у нас окажется не более трёх кусочков цепочки. Если составлять из этих кусочков различные комбинации, то можно получить не более, чем 2³=8 различных вариантов.

Для того, чтобы построить пример размыкания двух звеньев, удовлетворяющих условию, можно рассуждать, например, так.

Разомкнув два звена, получим пять частей, две их которых содержат по одному звену. Поэтому выгодно иметь ещё кусок из 3-х звеньев, и мы сможем отдать любое количество звеньев от 1 до 5. Значит, ещё нужен кусок из 6 звеньев, тогда можно будет отдать любое количество звеньев от 1 до 11. Имея также кусок из 12 звеньев, получим возможность отдать любое количество звеньев от 1 до 23.

Так как 1+1+3+6+12=23, то достаточно разомкнуть, например, четвёртое и одиннадцатое звено и получить куски, содержащие 1, 1, 3, 6 и 12 звеньев. Непосредственной проверкой несложно убедиться, что, используя эти слагаемые, можно получить любое число от 1 до 23.

Способ 2. Решим более сложную задачу: при каком наименьшем количестве М звеньев в цепочке можно, разомкнув не более чем п звеньев, иметь возможность отдать любое количество звеньев от 1 до М ?
После размыкания п звеньев у нас образуется возможность отдать любое количество звеньев от 1 до п, поэтому наиболее выгодно иметь ещё кусок из (п+1) звена. Тогда можно отдать любое количество звеньев от 1 до 2(п+1) - 1

Аналогично, следующий кусок должен содержать 2(п+1) звено и так далее.

Таким образом,

М = п + (п+1) + 2(п+1) + 4(п+1) + … + 2^п(п+1) = п + (п+1)(1+2+4+…+2^п)= = п + (п+1)(2^п+1 - 1) = (п+1)2^п+1 - 1.

Несложно убедиться, что при п=2 М=23.

На каждом шаге выбирать ещё один больший кусок мы не сможем, так как образуются « пробелы», а если выбирать куски меньше, чем указанные, то количество звеньев в цепочке будет уменьшаться.

Баллы

КОММЕНТАРИИ

7

Полное, верное решение. Рассмотрен и частный и общий случай.

6

Рассмотрен и верно обоснован общий случай.

5

Рассмотрен и правильно обоснован частный случай.

4

Рассмотрен один (или частный или общий) случай. Предложен свой способ решения. Имеются небольшие недочёты, в целом не влияющие на решение.

3

Предложены варианты возможного развития события, но ни один из них не обоснован.

2

Предложен один вариант, но не обоснован.

1

Решение неверное.

0

Решение отсутствует.