Решение тригонометрических уравнений (10 класс)

Лукманова Дилара Маратовна, учитель математики высшей квалификационной категории шк. №45

План-конспект урока алгебры (10 класс) на тему:
«Решение тригонометрических уравнений»

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

Дидактические цели урока:

- обобщить и систематизировать знания учащихся по теме;

- проконтролировать степень усвоения знаний, умений и навыков по теме.

Развивающие цели урока:

- совершенствовать, развивать умения и навыки по решению тригонометрических уравнений;

- формировать способность анализировать, обобщать полученные знания;

- формировать логическое мышление.

Воспитательные цели урока:

- стимулировать мотивацию и интерес к изучению тригонометрии;

- приучать к умению общаться и выслушивать других;

- развитие творческой самостоятельности и инициативы.

Задача урока: повторить общие методы решения уравнений и рассмотреть приложения этих методов к решению тригонометрических уравнений.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Форма урока: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Методы: конкретизация учебного материала, классификация изученного, методы взаимопроверки.

Ход урока

План:

1. Организационный момент.

1.1. Ответить на вопросы учащихся по данной работе.

1.2. Повторить алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений:

Sin x=1 tg(x/3)=√3

Cos 2x=-1 ctg(π-π/3)=-1

3. Устная работа: решение уравнений:

√x=x-2

√x=x-3

Повторить, что эти уравнения можно решить:

1. Переходом к уравнению- следствию (с последующей проверкой полученных корней)

2. Переходом к уравнению или системе уравнений и неравенств, равносильных исходному уравнению.

2. Подготовка к работе на основном этапе.

Сегодня мы рассмотрим два способа оформления решения уравнения: с переходом к уравнению-следствию и переход к уравнению или системе уравнения и неравенств, равносильных данному на некотором множестве М.

1. 1. Рассмотрим уравнение √(1-sin x)= cos x. (1)

Возведя уравнение (1) в квадрат , получаем уравнение

1-sin x=cos²x, (2)

являющееся следствием уравнения (1). Так как cos²x=1-sin²x, то уравнение (2) можно переписать в виде

sin x(1- sin x)=0. (3)

Уравнение (3) имеет две серии решений:

x_k=πk , k ϵ Z, x_n= π/2+ 2πn, n ϵ Z.

Так как

√(1-sin x_k)= 1, cos x_k =(-1)^k ;

√(1-sin x_n)= 0, cos x_n =0,

то все числа x_n являются решениями уравнения (1), а из чисел x_k решениями уравнения (1) являются только те, для которых k= 2m, то есть x_k= 2πm, m ϵ Z.

Ответ: (π/2)+ 2πn, n ϵ Z, 2πm, m ϵ Z.

2. Решим уравнение log₃cos 2x= log₃sin x. (4)

После потенцирования уравнения (4) и применения формулы косинуса двойного угла получаем уравнение

1-2sin² x= sin x (5)

являющееся следствием уравнения (4). Множество всех решений уравнения (5) состоит из объединения всех решений уравнений

sin x=1/2 и sin x= -1.Все решения этих простейших тригонометрических уравнений задаются тремя сериями решений

x_m=( π/6)+ 2πm, m ϵ Z, x_n= (5π/6)+ 2πn, n ϵ Z, x_k= (-π/2)+πk, k ϵ Z.

Проверка показывает, что все числа серий x_m и x_n являются решениями уравнения (4), но ни одно число серии x_k не является решением уравнения (4). Следовательно, все решения уравнения (4) задаются сериями x_m и x_n

Ответ: (π/6)+ 2πm, m ϵ Z, (5π/6)+2πn, n ϵ Z.

2. 1. Решим уравнение 1+ sin x=|cos x| . (6)

Обе части уравнения (6) определены и неотрицательны на множестве всех действительных x. Поэтому после возведения уравнение (6) в квадрат получаем равносильное ему уравнение

(1+sin x)²= cos² x,

которое можно переписать в виде

2 sin x(1+sin x)= 0 (7)

Уравнение (7) имеет две серии решений

x_k= πk, k ϵ Z, x_n=(-π/2)+2πm, m ϵ Z.

Все эти числа, и только они, являются решениями уравнения (6), равносильного уравнению (7).

Ответ: πk, k ϵ Z, (-π/2)+2πm, m ϵ Z.

2. Решим уравнение (sin x- 1)(tg x- 1)= 0. (8)

Уравнение (8) равносильно совокупности систем

sin x-1=0,

x≠(π/2)+πk, k ϵ Z (9)

и

tg x-1=0, (10)

x ϵ R.

Уравнение системы (9) имеет серию решений x_k=(π/2)+2πk, k ϵ Z , ни одно из чисел x_k не удовлетворяет второму условию этой системы. Значит, система (9) не имеет решений.

Уравнение системы (10) имеет серию решений x_n=(π/4)+πn, n ϵ Z , каждое из которых удовлетворяет второму условию этой системы. Следовательно, только числа x_n являются решениями совокупности систем (9) и (10), а значит, и равносильного ей уравнения (8).

Ответ: (π/4)+ πn, n ϵ Z.

3. Вспомним методы решения тригонометрических уравнений, которые мы рассматривали: метод замены переменной, метод разложения на множители, метод введения дополнительного угла.

Сопоставьте:

1. sin 2x- cos x=0; А. Метод замены переменной

2. sin x-+5cos x=0; Б. Метод разложения на множества

3. sin x-+cos x=1; В. Метод однородных уравнений

4. sin 5x- sin x=0; Г. Метод введения дополнительного

5. 4sin²x- cos x=1; угла

6. sin²x+ 2sin x cos x- 3 cos² x=0.

4. Парная самостоятельная работа

I II

1). 2sin x+√(6cos x)=0 1). √(1+sin x)= √6 sinx

2). (sin² x+2cos x-1)√(1+2sin x)=0 2). (4cos²x-12cosx+5)√(-sinx)=0

5. Подведение итогов урока. Выставление оценок. Домашнее задание.