Первые уроки с параметром

Тема: Решение линейных уравнений с параметром аналитическим и графическим способами. (7 класс)

Решение уравнений и неравенств с параметром одна из сложнейших тем в курсе математики средней школы. Ученика нужно постепенно приучать к заданиям, содержащим параметр. Чем больше учитель разбирает таких задач, тем дети осознаннее подходят к решению упражнений этой темы. Поэтому начинать решать уравнения с параметром следует как можно раньше, с самых простых заданий. Предлагаю урок в 7 классе для углубленного изучения математики.

Цель урока: научиться решать уравнения с параметром линейного вида.

Ход урока:

1. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ.

Выполненные на отдельных листах упражнения из домашнего задания, вывешиваются перед уроком на специальной доске для самопроверки.

2. НАЧНЕМ УРОК С УСТНЫХ УПРАЖНЕНИЙ.

   1. Первой решим логическую задачу.

На конференции 85% делегатов знают английский язык и 75 % испанский. Какая часть делегатов знают оба языка?

(85% + 75%=160%, что на 60% превышает общее число делегатов конференции. За счет чего образовался излишек? За счет тех людей, которые оба языка знают, - их мы посчитали дважды. Таким образом, оба языка знают не менее 60 % делегатов конференции.)

1. 2. Найдите корни уравнения

а) 1 + х = 2 - х, (0,5)

б) 9х  4 = 9х + 5, ()

в) 3х + 1 = 3х + 1. (х  R)

1. 3. При каких значениях b число 3 является корнем уравнения?

а) bx =  6, (b = 2)

б) 8x = 3b. (b = 8)

1. 4. Что значит решить уравнение с параметром? (Под решением уравнения f(x;a)=0

с параметром а будем понимать систему значений х и а из области определения уравнения, обращающую его в верное числовое равенство)

1. 5. Решите уравнение с параметром:

а) , (если m = 0, то x  R; если m 0, то решений нет)

б) , (х = а/4)

в) (если а = 0, то решений нет; если а  0, то х = а/4).

1. 6. Назовите одно из решений уравнения .

   7. На крыльце дома сидят мальчик и девочка. Саша говорит:»Я - девочка». Женя говорит: «Я - мальчик». Если по крайней один из детей врет, то кто из них мальчик, а кто девочка? (Если один из детей врет, то врет и второй. Следовательно, Саша - мальчик, а Женя - девочка.)

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Сегодня мы посвятим урок решению задач с параметром аналитическим и графическим способами.

№1. Решите уравнение: .

Решение:

1. Если а = 0, решений нет.

Если а  0, преобразуем уравнение: а+х = а² + ах,

х  ах = а ²  а,

(1  а) х = а (а  1),

(а  1) х =  а (а  1).

2) Если а  1 = 0, 3) Если а  1, а  0,

а = 1, тогда , х =  а.

х  R.

Для удобства записи ответа сделаем рисунок решений

Ответ: если а = 0, то решений нет, если а = 1, то х- любое число, если а 0, а 1, то х= а.

Дадим геометрическую интерпретацию уравнения

Работа с графиком:

Назовите пары решения уравнения

Например: а = 1, х = 2,

а = 1, х = 3,

а =  2, х = 2,

а = 5, х =  5.

№ 2 Отцу 40 лет. Через сколько лет отец будет в два раза старше сына?

Решение:

Пусть сыну а лет. Пусть через х лет отец будет в два раза старше сына.

х + 40 (лет) будет отцу, а + х (лет) будет сыну. Т.к. по условию задачи отец будет в два раза старше сына, то 40 + х = 2 (а + х),

40  х = 2 а,

х = 40  2 а.

По смыслу задачи а  0, но 40  2 а  0, а значит а  20. Следовательно, условию задачи удовлетворяют значения 0  а 20.

Ответ: 40  2 а, где 0  а  20.

Вопрос: Если сыну 16 лет, через сколько лет отец будет в два раза старше сына?

(а = 16, х = 8)

№ 3 Решите уравнение двумя способами: x + 2=a.

1 способ. Аналитический

00У: аR, x R.

1. Если а = 0; х + 2 = 0,

х =  2.

2. Если a < 0, x + 2 = a,

.

3. Если a > 0, x + 2 = a или х + 2 =  а,

х = а  2, х =  а  2.

Ответ: если a < 0, то решений нет;

если а = 0, то х =  2;

если a > 0, то х₁ = а  2.

х ₂ =  а  2.

2 способ. Графический

Построим в одной системе координат графики функций у = х + 2 и у = а.

у = х + 2,

.

Если a > 0, то у =  х  2, или у = х + 2,

у = а, у = а,

 х  2 = а, х + 2 = а,

х =  а  2; х = а  2.

Ответ: еслиa < 0, то решений нет;

если а = 0, то х =  2;

если a > 0, то х₁ = а  2.

х ₂ =  а  2.

№ 4 Самостоятельно с последующей проверкой на доске.

При каком значении а уравнение имеет один корень?

а) х+х  а =  3,

б) х + х  а = 0,

в) 2х + х  1 = а.

Решение:

а) х+х  а =  3,

Ответ: при любом а корней нет, т.к. сумма двух неотрицательных чисел есть число неотрицательное.

б) х + х  а = 0,

Ответ: при а = 0, единственный корень х = 0.

в) 2 х + х  1 = а.

Это уравнение решить аналитически трудно. Попробуем решить его графически.

Построим в одной системе координат графики функций: у = 2 х + х  1 и у = а.

у = 2 х + х  1

Если х < 0, y =  2x  x + 1,

y =  3x + 1.

Если 0x<1, y =  x + 1,

y = x + 1.

Если x  1,y = 2x+x 1,

y = 3x  1.

Ответ: при а = 1 уравнение имеет единственный корень х = 0.

4. УЧИТЕЛЬ ПОДВОДИТ ИТОГ УРОКА…

5. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

№ 749 (4) Повторение действий с многочленами. № 737 Текстовая задача.

При каком значении а уравнение 3 х  1 + х  2 = а не имеет корней?

Необязательное задание: найти натуральное число А, если известно, что из трех данных утверждений два верно, а одно - нет. 1) А + 7 - точный квадрат,

2) последняя цифра А равна 1, 3) А  8 - точный квадрат.