Программа элективного курса по математике для учащихся 11 класса «От простого к сложному: нестандартные методы решения алгебраических и геометрических задач».

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей №1 Красноармейского района Волгограда»

Программа элективного курса по математике

для учащихся 11 класса

«От простого к сложному : нестандартные методы решения алгебраических и геометрических задач ».

Выполнила:

Шмадченко Евгения Александровна,

учитель математики ,

высшая квалификационная категория

Волгоград

2015

Пояснительная записка.

Программа элективного курса «От простого к сложному: нестандартные методы решения алгебраических и геометрических задач» предлагается для изучения в 11 классе и рассчитана на 34 часа. Нестандартные методы решения задач применяются в различных разделах математики. Задачи, решаемые нестандартными методами, часто встречаются на математических олимпиадах, в материалах ЕГЭ. Однако программой школьного курса не предусмотрено детальное изучение данной темы. Это возможно сделать в рамках элективного курса.

Данный курс направлен на расширение и углубление базового уровня знаний учащихся по математике, является предметно-ориентированным. Он позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, использовать эти знания при решении различных по содержанию и уровню сложности задач, наиболее качественно подготовиться к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ.

Данный элективный курс направлен, прежде всего, на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике, способствует удовлетворению познавательных потребностей школьников в нестандартных методах и приёмах решения задач.

Актуальность данной программы обусловлена ее практической значимостью. Применение предлагаемых методов иллюстрируется на решении многих задач из различных разделов математики (алгебры, тригонометрии, геометрии). Учащиеся могут применить полученные знания и практический опыт при решении практических задач из других естественнонаучных дисциплин.

Целесообразность введения данного элективного курса состоит и в том, что содержание курса, форма его организации помогут школьнику через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставят ему возможность работать на уровне повышенных возможностей. Программа может быть использована в общеобразовательных и профильных классах.

Элективный курс «От простого к сложному : нестандартные методы решения алгебраических и геометрических задач» позитивно влияет на мотивацию старшеклассника к учению, развивает его учебную мотивацию по предметам естественно-математического цикла.

Задания, предлагаемые программой данного элективного курса, носят исследовательский характер и способствуют развитию навыков рационального мышления, способности прогнозирования результатов деятельности.

В основе формирования практических навыков решения математических задач лежат два главных вида деятельности учащихся: это обобщение и систематизация теоретических сведений, полученных ранее и отработка умений и навыков на практике.

Содержание курса объединено в 3 тематических модуля: нестандартные методы решения уравнений, неравенств и их систем, нестандартные методы решения текстовых задач, нестандартные методы решения геометрических задач.

Цель данного курса:

• сформировать понимание необходимости знаний по решению алгебраических и геометрических задач нестандартными методами;

• создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;

• подготовить к решению заданий уровня С, содержащихся в ЕГЭ и решаемых нестандартными приемами.

• знакомство учащихся с методами решения различных по формулировке нестандартных задач;

• интеллектуальное развитие учащихся; развитие высокой логической и операционной культуры;

• развитие научно-теоретического и алгоритмического мышления учащихся; формирование представлений о нестандартных методах математики, повышение уровня математической культуры; формированию обобщенных устойчивых знаний по математике, формирование практического навыка применения нестандартных методов при решении алгебраических и геометрических задач .

Логика освоения тем определяется задачами:

• формирование и развитие у старшеклассников аналитического и логического мышления при проектировании решения задачи;

• формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении нестандартных задач;

• уметь определять типы заданий и подбирать к ним способы решения;

• повысить интерес к решению нестандартных творческих задач;

• сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;

• сформировать навыки работы со справочной литературой;

• сформировать умения и навыки исследовательской работы;

• способствовать развитию алгоритмического и эвристического мышления учащихся;

• способствовать формированию познавательного интереса к математике.

Цели и задачи курса направлены на :

1) систематизацию, углубление знаний, закрепление и упрочению умений, необходимых для продолжения образования в ВУЗах;

2) получение общего представления об элементарной алгебре и применяемых в ней методах как составляющей всей математики как науки;

3) развитие логической и методологической культуры составляющей существенный компонент культуры мышления, рассматриваемы в рамках общей культуры;

4) овладение общими приёмами организации действий: планирование, осуществление плана анализа и выражение результата действий;

5) получение представлений об универсальном характере математических методов.

Все тематические модули имеют деятельностно - практический характер.

Практические задания способствуют развитию у детей творческих способностей, умения создавать собственные алгоритмы решения и производить поиск рационального способа.

Предлагаемые задачи различны по уровню сложности. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего) решения. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки: уровень сложности задач варьируется от конкурсных до олимпиадных. Программа элективного курса предполагает использование различных методов активизации познавательной деятельности учащихся, разнообразных форм организации их самостоятельной работы.

В результате работы по программе учащиеся должны знать:

- нестандартные методы решения алгебраических и геометрических задач;

должны уметь:

• воспроизводить изученные понятия, алгоритмы решения задач с помощью нестандартных методов;

• анализировать и выбирать оптимальные способы решения нестандартных задач;

• самостоятельно конструировать свои знания;

• ориентироваться в информационном пространстве;

• самостоятельно выдвигать гипотезы, логически обосновывать суждения, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, принимать решения.

Содержание учебного курса

1) Нестандартные методы решений уравнений, неравенств и их систем (21ч).

Понятие нестандартных задач и нестандартных методов решения. Классификация методов. Повторение основных понятий и определений: области определения, области значении, свойства числовых неравенств.

Применение областей определения функций для решения нестандартных уравнений и неравенств Повторение областей определения функций, способов решения квадратных неравенств (метод параболы, интервалов). Ключевая идея метода области определения. Алгоритм решения.

Ограниченность функций. Применение метода оценки левой и правой частей, входящих в уравнение или неравенство. Понятие метода мажорант и основной идеи этого метода. Алгоритм решения с помощью метода мажорант.

Использование метода монотонности для решения нестандартных уравнений и неравенств .Влияние четности на функцию. Теоремы о монотонности функций, их связь с решением уравнения. Алгоритм решения с помощью метода монотонности.

Применение свойств числовых неравенств для решения нестандартных уравнений и неравенств .Формулировка и аналитическая запись основных теорем числовых неравенств:

;

Повторение понятий среднего арифметического, среднего геометрического. Ключевая идея метода. Алгоритм решения: сведение уравнения к равносильной системе двух уравнений.

Схема Горнера при решении целых уравнений высших степеней. Решение возвратных и однородных уравнений. Методы решения симметрических и однородных систем уравнений. Применение производной для решения нестандартных уравнений и неравенств.

Использование прогрессий для решения уравнений (понятийный аппарат, характеристические свойства, формулы n-го члена и суммы членов прогрессий). Доказательство неравенств с помощью метода математической индукции.

Метод рационализации для решения неравенств

Применение свойств синуса и косинуса для решения нестандартных уравнений и неравенств .Понятие способа «рассуждений с числовыми значениями» для уравнений вида:

sinx sinx = ±1, A(sinx)^m + B(sinx)ⁿ = │A│+ │B│;

sinx cosx = ±1, A(sinx) ^m + B(cosx)ⁿ = │A│+ │B│;

cosx cosx = ±1, A(cosx) ^m + B(cosx)ⁿ = │A│+ │B│;

Метод тригонометрической подстановки .

2)Нестандартные текстовые задачи (5ч).

Текстовые задачи, в которых число неизвестных больше числа уравнений.

Текстовые задачи, решаемые с помощью неравенств. Геометрический метод решения текстовых задач .Использование прогрессий для решения текстовых задач. Текстовые задачи на оптимизацию.

3) Методы решения геометрических задач (7ч)

Метод площадей и объёмов

Метод вспомогательной окружности

Метод введения вспомогательного параметра

Метод равновеликих фигур

Метод следов для построения сечений многогранника

Векторный метод решения геометрических задач.

Координатный метод решения геометрических задач.

Тематическое планирование

Методическое обеспечение программы.

В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы. При реализации программы предусматривается применение следующих дидактических форм и методов:

• тематические лекции, эвристические беседы;

• семинары с выступлениями и докладами учащихся;

• практикумы по решению задач;

• индивидуальные консультации;

• частично-поисковая деятельность, исследования, создание проектов, написание рефератов.

Для воплощения целей и задач курса целесообразно применять технологии, включающие учащихся в активную учебно-познавательную деятельность, обеспечивающие личностное развитие каждого ученика.

Используемые технологии:

- проблемное обучение, предусматривающее мотивацию к исследованию путем постановки проблемы, обсуждение различных вариантов решения проблемы;

- лекционно-семинарская система обучения;

- информационно-коммуникационные технологии;

- технология деятельностного метода, помогающая выявить познавательные интересы школьников;

- дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы;

- использование исследовательского метода в обучении.

Позиция педагога при проведении данного элективного курса меняется в зависимости от этапов освоения программы. Он выступает информатором только в тех случаях, когда является единственным обладателем информации. Большую часть учебного времени учитель выполняет функции советника, консультанта, поддерживающего интеллектуальную активность учащихся, и наблюдателя за процессом практической работы учеников. Позиция равноправного участника - самая предпочтительная при проведении групповых обсуждений и индивидуальной работы.

Программа мобильна, т.е. дает возможность уменьшить количество задач по данной теме (так как многие задания предназначены на отработку навыков по одному типу задач) при установлении степени достижения результатов.

Содержание курса позволяет учащимся любого уровня активно включиться в учебно-воспитательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать и доступные вопросы, интересные всем учащимся. Высоким результатам в обучении способствуют методические технологии, обеспечивающие динамику индивидуальной траектории обучения, способные учесть реально достигнутый уровень образования и воспитания учащихся.

Материально-техническое оснащение

Для реализации данного курса на занятиях необходимо использовать проектор, компьютер, программные продукты Microsoft Power Point, приложения Microsoft Office.

К каждому модулю разработано материально-дидактическое сопровождение:

- объяснительный материал, раскрывающий основные цели и особенности использования приводимого материла;

- подбор задач по теме модуля;

- указания к решению задач;

- презентации, слайд-лекции, позволяющие полнее раскрыть идеи и методы решения определенного вида задач.

Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты, использовать различные приемы подачи материала, например, создание слайдов в программе PowerPoint и их трансляция с помощью медиапроектора. Можно развивать тематику или заменять какие-либо разделы другими, главное, чтобы они были небольшими по объему, интересными для учащихся, соответствовали их возможностям

Диагностика результата освоения программы .

Результатом освоения программы курса является представление школьниками творческих индивидуальных и групповых работ на итоговом занятии. Смысл элективного курса заключается в предоставлении каждому ученику «индивидуальной зоны потенциального развития», поэтому - нельзя требовать от каждого ученика твердого усвоения каждого «нестандартного приема». Специальный зачет или экзамен по курсу не предусмотрен, но предлагаются некоторые варианты выполнения учениками заданий:

1. Решение учеником в качестве индивидуального домашнего задания предложенных учителем задач из того списка, что завершает каждый модуль и называется «Упражнения для самостоятельной работы», т.к. осознание и присвоение учащимися достигаемых результатов происходит с помощью рефлексивных заданий. Подбор индивидуальных заданий осуществляется с учетом уровневой дифференциации, причем выбор делают сами ученики, оценивая свои возможности и планируя перспективу развития.

2. Решение группой учащихся в качестве домашнего задания предложенных учителем задач из того же раздела. Работа в группе способствует проявлению интереса к учению как деятельности.

Учащимся, ориентированным на выполнение заданий более высокого уровня сложности, предлагается:

1) Самостоятельное изучение некоторых вопросов курса с последующей презентацией (программные продукты Microsoft Power Point).

2) Самостоятельное решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решений.

3)Самостоятельное построение метода, позволяющего решить предложенную задачу.

4) Самостоятельный подбор задач на изучаемую тему курса из дополнительной математической литературы.

В ходе решения этих заданий учащиеся должны показать понимание теоретических основ способов решения уравнений и уметь решать задания из «Упражнений для самостоятельной работы» (подбор индивидуальных заданий осуществляется с учетом уровневой дифференциации).

Итоговое занятие предлагается провести в форме круглого стола с презентациями каждого модуля курса.

Формы подведения итогов обучения:

- защита проекта, исследовательской работы;

- выполнение заданий творческого характера индивидуально или в группах.

Список используемых источников

Литература для учителя

1. Галицкая, М.Л. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. [Текст] /М.Л. Галицкая, М.М.Мошкович, С.И.Шварцбурд - М.: Просвещение,1986.-352с

2. Ковалёва, Г. И., Математика, тренировочные тематические задания повышенной сложности [Текст]/ Г.И.Ковалёва -Волгоград: Учитель, 2007.-126с.

3. Кравцев, С.В. Методы решения по алгебре: от простых до самых сложных. [Текст]/С.В.Кравцов - М.: Экзамен , 2005.-544с

4. Моденов, В.П. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе [Текст]/В.П. Моденов- М.: Экзамен,2007.-352с

5. Потапов, М.К. Математика. Методы решения задач для поступающих в ВУЗы. [Текст] /М.К. Потапов, С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко -

М. :Дрофа,1995.- 356с.

6. Шабунин, М.И.«Математика для поступающих в вузы», [Текст] /М.И.Шабунин - М.: Бином. Лаборатория базовых знаний, 2002 г.-694с.

Литература для учащихся

1. Сканави, М.И. Сборник задач по математике. [Текст] / М.И.Сканави -М.: ОНИКС 21 век - 2003г.-695с

2. Ткачук, В.В. Математика - абитуриенту. [Текст] / В.В.Ткачук-М.: МЦНМО , 2004.-966с

Цифровые образовательные ресурсы для поддержания подготовки

учащихся :

1. Информационно-поисковая система «Задачи» [Электронный ресурс]. - Режим доступа :http://zadachi.mccme.ru /easy

2. Конкурсные задачи по математике: справочник и методы решения [Электронный ресурс]. - Режим доступа:

http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/tit.htm

3. Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. - Режим доступа:http://reshuege.ru/

Приложение 6ЗАЧЁТНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Тема " Модуль"

1.Упростиь выражения (4б )

1.

2.

3.

2.Решить уравнения

1. ( 1б. )

2. ( 1б.)

3. ( 1б.)

4. ( 1б.)

5. (1б.)

6. (2б.)

7. ||6х +4| -3х|=12 (2б.)

8. (3б.)

3.Решить неравенство

1. (2б.)

2. (2б.)

3. (2б.)

4. (3б.)

5. (3б.)

6. | | |х + 1| + 4| - 5 | (3б.)

4.Решить системы уравнений и неравенств

1. (4б.) 2. (4б.)

5. Изобразить множество точек (х;у)плоскости , координаты которых удовлетворяют уравнениям 1. (4б.) 2. (4б.)

3. | |х|- | у| |=1 (4б.) 4. (4б.)

6.Изобразить множество точек (х;у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенствам

1 (4б.) 2. (4б.)

7.Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством (системой неравенств), и вычислите её площадь

1. х²+ у² 4 | у| (5б.) 2. (5б.)

8.Решить уравнение: 1. (6б.)

2. (6б.)

9.При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня: (6б.)

10. Решить неравенство: (6б.)

Норма оценок: зачёт за 10- 39 бал.

"4" за 40-69 бал.

"5" >70бал.

.