Математическая регата . Конспект урока по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»(9 класс)

</<img src="/prepod/_bloks/pic/py1boee-001.png" align="bottom" width="73" height="54" border="0" alt="Математическая регата . Конспект урока по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»(9 класс)">Математическая регата

по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Цели: обучающие - закрепить знания, умения и навыки учащихся по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», формировать навыки решения задач на применение теоретических знаний, формировать вычислительные навыки учащихся;

развивающие - способствовать развитию мышления, памяти, произвольного внимания и речи учащихся; умений применять изученный материал на практике и в жизни;

воспитательные - расширять кругозор учащихся, познакомить с фрагментами истории комбинаторики, воспитывать культуру общения, сотрудничество.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы повторим тему «Элементы комбинаторики и теории вероятностей». После небольшой разминки (устной работы), мы проведём математическую регату.

2. Устная работа.

Учитель. И так, разминка.

Задачи разминки решаем устно, или с прикидкой на черновике, можно решение задач записать в тетради, поэтому запишите число, классная работа.

(слайд 2)

Задача 1. Отправляясь в путешествие, на завтрак мы можем выбрать плюшку, кекс, пряник и запить их чаем, кефиром или кофе. Из скольких вариантов завтрака мы может выбрать?

- Составим сначала все завтраки с кофе: кофе и плюшка, кофе и кекс, кофе и пряник, всего - три; завтраков с чаем - тоже три, завтраков с кефиром - тоже три.

Значит, мы может выбрать завтрак из 9 вариантов.

Учитель: На практике часто встречаются задачи, решая которые

приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций (вариантов). Как называются такие задачи?

- Задачи, в которых мы осуществляем полный перебор всех вариантов или всевозможных комбинаций называются комбинаторными.

Учитель: А как называется раздел математики, в котором рассматриваются такие задачи?

- Раздел математики, в котором изучаются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.

Все необходимые материалы для нашего путешествия лежат в сейфе, а код был утерян. Известно, что он состоит из цифр 2,4, 5, 9.

(слайд 3)

Задача 2. Сколько комбинаций можно составить и

з цифр 2, 4, 5, 9, используя в записи числа каждую из них не боле одного раза, чтобы открыть наш сейф.

Учитель. При решении задачи можно использовать способ рассуждения, который мы называем перебором всевозможных вариантов, и выписать все возможные комбинации чисел можно данный перебор вариантов проиллюстрировать на схеме, которую мы называем деревом вариантов.

А как решить задачу устно, не выписывая числа, не изображая дерево вариантов?

- Будем рассуждать так. Первую цифру можно выбрать 4-мя способами, так как после выбора 1 цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать 3-мя способами. 3-ю цифру можно выбрать (из оставшихся 2-х) двумя способами, а 4-ю одним способом( оставшаяся одна цифра) Следовательно, число искомых комбинаций равно произведению 4 · 3 · 2 1, т.е. 24.

(слайд 4)

Итак, карта нашего маршрута перед нами. Но!

Задача 3. Из пункта А в пункт В ведут 4 дорог, а из пункта В в пункт С - 3 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут нас из А в С?

(слайд 5) Сколько существует вариантов совершить наше путешествие?

- Из А в В можно попасть 4-мя способами, а из В в С - 3-мя способами. По правилу произведения 4 · 3 = 12 путей.

Учитель. Как называют правило, на котором основано решение задачи?

- При решении использовали комбинаторное правило умножения.

(при желании учащиеся формулируют это правило)

Задача 4. Перед нами 12 возможностей совершить наше путешествие. Известно, что три пути более безопасные, а остальные полны трудностей. Какова вероятность, что выбранный путь будет безопасен?

(слайд 6)

Находясь в путешествии некоторые из нас могут написать письма друзьям.

(слайд 7)

Задача 5. А сколькими способами можно разложить 5 разных писем по одному в 5-ть конвертов?

- 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 способов.

(слайд 8)

Задача 6. Среди почтовых голубей два белых. Какова вероятность, что ваше письмо понесет домой белый голубь?

Учитель. В данной задаче мы столкнулись с произведением подряд идущих натуральных чисел. Какое обозначение существует для такого произведения?

(слайд 9)

- произведение первых подряд идущих п натуральных чисел обозначают п!

п! = 1 · 2 · 3 · …· п.

(слайд 10)

Задание 6. Что больше и во сколько раз 6! · 5! и 5! · 6 ?

И так, я думаю, мы провели хорошую разминку и подготовились к регате.

III. Математическая регата.

Учитель. И так отправимся в путь, регата началась.

1 заплыв (тур).

Проверка знаний теории (каждому экипажу даются тесты с заданиями 1 тура, за верный ответ - 1 балл).

Задание 1 (слайд 11)

ТЕСТ 1. Выбрать правильное определение.

А. Перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.

В. Сочетанием из п элементов по к (к ≤ п) называется любое множество, состоящее из любых к элементов, взятых в определённом порядке из данных п элементов.

С. Размещением из п элементов по к называется любое множество, составленное из к элементов, выбранных из п элементов. Ответы пояснить.

(слайд 12)

ТЕСТ 2. Выбрать верное утверждение.

А. Число сочетаний можно вычислить по формуле С_п = п!

В. Формула для вычисления числа размещений из п элементов по :

С. Число всевозможных перестановок из п элементов вычисляется по формуле

Р _п^к = п!/(к!(п - к)!).

По количеству набранных баллов 2 экипажа выходят во второй

заплыв (тур)

Задание 2. (формулы записаны на доске, установить соответствие)

1. Сформулируйте определения перестановки, сочетания, размещения.

2. Запишите формулы для вычисления перестановок, сочетаний, размещений, запишите их в тетради.

Перестановки - выборки из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком расположения.

Формула Р_n=n!

Размещения - выборки из n элементов по k , которые отличаются и составом и порядком расположения этих элементов.

Формулы

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k, элементов, выбранных из данных n элементов.

Формула

(слайд 13) (формулы записаны на доске, установить соответствие)

3. Решите задачи.

1 заплыв (тур).

(слайд 14)

а) Сколькими способами можно разместить за круглым столом 6 человек?

(слайд 15)

б) В регате участвуют 8 команд. Сколькими различными способами могут быть распределены 3 различные медали?

(слайд 16)

в) Из 9 членов команды надо выбрать 3-х дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор.

(слайд 17)

г) Вычислите. 16! - 15! = 15!(16-1) = 14!*15*15 = 15

14!*15 14! *15 14!*15

4. Историческая справка. (заранее подготовил ученик)

Комбинаторика - ветвь математики, которая возникла в XVII в. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. Положение дел резко изменилось после появления быстродействующих вычислительных машин. В настоящее время комбинаторные методы применяются в теории случайных процессов, статистике, математическом программировании и т.д.

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определённом порядке и отыскивать среди разных положений наилучшие, люди столкнулись ещё в доисторическую эпоху, выбирая лучшее положение охотников во время охоты, воинов - во время битвы, инструментов - во время работы.

Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга, когда появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника. Приспособления таких игр археологи находили в древних захоронениях, например в пирамиде египетского фараона Тутанхамона.

О таких играх английский поэт Уордсворд писал:

Не нужно нам владеть клинком,

Не ищем славы громкой.

Тот побеждает, кто знаком

С искусством мыслить, тонким.

Со временем появились нарды, карты, шашки, шахматы и т.д. В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

Толчком к развитию комбинаторики послужили азартные игры, прежде

всего игра в кости. Игроки пытались понять, почему одни суммы выпадают чаще, другие - реже. Задача оказалась совсем не простой. Этой проблемой в XVI- XVII в занимались многие известные математики.

Но не только азартные игры послужили толчком к исследованиям математиков. Ещё одна причина - тайна переписи. Шифрами пользовались короли, дипломаты и заговорщики, а также сами учёные. Так, ещё в конце XVI в., во время войны Франции с Испанией, расшифровкой переписки между противниками французского короля Генриха III и испанцами занимался Франсуа Виет. Навыки в работе со сложными шифрами помогали учёным при разгадке письменности древних народов.

В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказалась биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилось с появлением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки.

2 заплыв (тур). Решение задач.

Каждому экипажу даются задачи с выбором правильного ответа. За каждый верный ответ - 1 балл.

Задание.

(слайд 18-19)

Решить задачи и проверить друг друга

1) Из города А в город В ведут 3 дороги, из города В в С - 2 дороги, из С в Д - 4 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город Д через города В и С?

А. 3 · 2 · 4 = 24 способа; Б. 3 + 2 +4 = 10 способов; С. Другое решение.

2) Курьер должен разнести пакеты в 8 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?

А. 1 + 2 + 3 + …+ 8; В. 8! С. Другое решение.

3) Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать 2-х для участия в олимпиаде по математике и русскому языку?

А. С₃₀²; В. А₃₀²; С. Р₃₀;.

4) В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами можно сделать?

А. С₁₆⁴ + С₁₂³; В. С₁₆⁴ · С₁₂³; С. Другое решение.

5) Сколько различных стартовых 6-к можно образовать из числа 10 волейболистов?

А. С₁₀⁶; В. А₁₀⁶; С. Другое решение.

(слайд 20) Ответы: А; В; В; В; А

Задания дополнительного (утешительном) заплыва.(если команды набрали одинаковое количество баллов)

Задача. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами можно это сделать? (Ответ: А₃₀² )

(слайд 21)

5. Рефлексия

6. Итоги урока.

Сообщаются результаты регаты, и оценивается работа учащихся на уроке.