Управление образования администрации города Кунгура Пермского края

Научное общество учащихся

XYI городской конкурс исследовательских и творческих работ обучающихся

«Первые шаги»

секция математика

Математические неожиданности

листа Мёбиуса

(

Автор работы:

Николаев Константин

МАОУ СОШ № 13

7 «а» класс

Руководитель:

Гладких Татьяна Григорьевна

учитель математики

высшей категории

МАОУ СОШ № 13

2016г

Оглавление

1.Введение 3

2. Основная часть 4

2.1. Наука топология. 4

2.2. Лист Мёбиуса - определение. 5

2.3. А.Ф.Мёбиус и его поразительное открытие 6

3. Исследовательская деятельность 7

3.1. Анкетирование учащихся. 7

3.2. Практическая часть 7

3.2.1. Изготовление листа Мёбиуса. 7

3.2.2. Проведение опытов с листом Мёбиуса. 7

3.2.3.Общие результаты опытов - свойства листа Мёбиуса 11

4.Применение листа Мёбиуса. 11

4.1. Применение листа Мебиуса в технике 11

4.2.Лист Мебиуса в архитектуре 13

4.3.Лист Мебиуса в цирковом искусстве 14

4.4.Лист Мебиуса в искусстве 15

4.5.Лист Мёбиуса в литературе. 18

5. Заключение 22

7.Литература 23

8.Интернет ресурсы 23

9.Приложения 24

Введение

Лист Мёбиуса - желтая страница,

Односторонний сказочный маршрут,

Летит метелью, песенкой, синицей,

Бульварной лентой, склеенный лоскут.

Эх, Мёбиус, спасибо за науку!

Поверхность одинокой стороны

Подобна закольцованному звуку,

Вибрацией неоновой струны.

Актуальность

В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур.

Слышали ли вы когда-нибудь о листе Мёбиуса? Как его можно изготовить, как он связан с математикой и где применяется в жизни?

Однажды учитель показала нам необычную фигуру, сказала, что называется она Лист Мёбиуса, и у нее необычные свойства. Она предложила тем, кто захочет, узнать об этой фигуре как можно больше, исследовать ее. Мне это показалось интересным. Так возникла идея этого проекта.

Занимаясь этой работой, я пришел к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX веке, он был актуален и в XX веке, и в XXΙ. Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников

Новизна работы заключается в том, что учащиеся нашей школы выявлением свойств листа Мёбиуса ранее не занимались. Я провел анкетирование и из анкеты видно, что многие не слышали об этом листе ничего и не знают о его свойствах.

Объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности.

Предмет исследования: Все знают, что такое "поверхность". Поверхность стола, бумаги, поверхность стен комнаты, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может.

Предметом исследования моей работы является лист Мебиуса и его свойства.

Исследовательский проект по содержанию является монопредметным (математика), по стилю исполнения межпредметным (математика, информатика).

Основными этапами исследования были:

1. постановка проблемы,

3

2. изучение литературы с целью получения информации о листе Мёбиуса,

3. анкетирование,

4. сбор собственного материала,

5. проведение экспериментов,

6. разработка нового электронного продукта.

Цель работы: исследовать поверхность листа Мебиуса и его свойства.

Для достижения данной цели я поставил перед собой следующие задачи:

• Познакомиться с понятием топологии;

• Познакомиться с биографией Мебиуса и с историей его замечательного открытия.

• Описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления.

• Изучить и исследовать свойства листа Мебиуса

• Установить области применения листа Мебиуса.

Гипотеза исследования: Я предполагаю, что лист Мёбиуса действительно обладает неожиданными свойствами. Для того чтобы решить эту проблему, я должен изучить нужную информацию в математической литературе и на различных сайтах Интернета, затем изготовить лист Мебиуса и с помощью опытов выявить его необыкновенные свойства.

Вид проекта - информационно-исследовательский.

Методы исследования:

• поисковый;

• аналитический;

• экспериментальный;

• описательный

Готовый продукт - альбом, мультимедийная презентация.

4

Основная часть

2.1. Наука топология.

С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией. Термин "топология" может быть отнесён к двум разделам математики. Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, долгое время называли комбинаторной. За другой, у истоков которой стоял немецкий учёный Георг Кантор (1845-1918), закрепилось название общей или теоретико-множественной.

Комбинаторная топология - раздел геометрии. «Геометрия»-слово греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие», («гео» - по - гречески земля, а «метрео» - мерить) изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы.

1. Планиметрия (лат. слово, «планум» - поверхность + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, круг, окружность и т.д.)

2. Стереометрия (греч, «стереос» - пространство + метрия) - раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т.д.)

3. Топология (греч. «топос» - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Комбинаторная топология изучает свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при взаимно однозначных и непрерывных отображениях. Долгое время топология воспринималась как наука, далёкая от жизни, призванная лишь «прославлять человеческий разум». Но в наше время выяснилось, что она имеет самое непосредственное отношение к объяснению устройства мироздания.

Общая топология примыкает к теории множеств и лежит в основании математики. Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие понятия, как «предел», «сходимость», «непрерывность» и т. п. Основы аксиоматики топологического пространства были заложены Феликсом Хаусдорфом и завершены российским математиком Павлом Сергеевичем Александровым (1896-1982)

5

2.2. Лист Мёбиуса - определение.

У любого тонкого объекта, такого как лист бумаги, кусок ткани, доска или пластинка, как правило, две поверхности: наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна поверхность? «Может!». И таким листом является лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса - бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.

Лист Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, т.е.

пройдя вдоль всей его «средней линии» с поднятым вверх флажком, мы вернёмся в исходную точку - но флажок будет теперь «поднят» в другую сторону. Это значит, что флажок, не пересекая плоскость, попал из «внешности» во «внутренность».

Лист Мёбиуса назван так в честь немецкого математика А. Мёбиуса, открывшего его необычайные топологические свойства в 1858г.

2.3. А.Ф.Мёбиус и его поразительное открытие

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) - немецкий геометр, ученик «короля математиков». Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией приветствовалось. С 1816 года начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 г. стал ее директором, позже - профессором Лейципгского университета (Мёбиусу было всего тогда 26 лет). Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного, доброго чудака студенты боготворили. Он мог назначить лекцию на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Занимаясь астрономией, Мёбиус много размышлял о математике.

Одним «неожиданным» математическим открытием является лента Мёбиуса. Рассказывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

Разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: «Ай да, Марта! Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!»

Эта история произошла в 1865 году.

Мёбиус сделал поразительное открытие - получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону (до него считалось что любая поверхность, например, лист бумаги, имеет две стороны). Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома. Лента вдохновила на подвиги не одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Его часто считают символом современной математики.

7

Исследовательская деятельность

3.1. Анкетирование учащихся.

Чтобы выяснить, что же знают ученики нашей школы о листе Мёбиуса и его свойствах, я провел среди учащихся 5-9 классов анкетирование. Всего участвовало в анкетировании 110 человек. Анкета (Приложение 1) содержала следующие вопросы:

1. Знаете ли Вы, что такое топология?

2. Знаете ли вы что такое «лист Мёбиуса»?

3. Сколько сторон у «листа Мёбиуса»?-

4. Знаете ли вы, где применяются свойства «листа Мёбиуса»?

5. Если раскрасить две стороны обычного листа и положить на одну сторону муравья, а на другую - жука, то встретятся ли они, не переползая границы и с одинаковой скоростью?

6. Если отправить этих же муравья и жука только по листу Мебиуса встретятся ли они, не переползая границы и с одинаковой скоростью?

Обработав анкеты я получил следующие результаты( Приложение2):

1. Знаете ли вы что такое «Топология»? - ответили: Нет, не знаю - 77 человек = 70 %. Да, это - 2 человека = 2 %. Слышал (а) об этом понятии - 31 человек = 28 %.

2.Знаете ли вы что такое «лист Мёбиуса»?- ответили: Нет, не знаю - 64 человека = 58 %. Да, это - 8 человек = 7 %. Слышал (а) об этом понятии - 38 человек = 35 %.

3. Сколько сторон у «листа Мёбиуса»?-ответили: Одна - 22 человека = 20 %. Две - 75 человек = 68 %. Три -13 человек = 12 %.

4. Знаете ли вы, где применяются свойства «листа Мёбиуса»? - ответили: Нет, не знаю - 109 человек = 99 %. Да, они применяются - 1 человек = 1 %.

5. Если раскрасить две стороны обычного листа и положить на одну сторону муравья, а на другую - жука, то встретятся ли они, не переползая границы и с одинаковой скоростью? - ответили: Да - 5 человек = 5 %. Нет - 105 человек = 95 %.

6. Если отправить этих же муравья и жука только по листу Мебиуса встретятся ли они, не переползая границы и с одинаковой скоростью? - ответили: Да - 23 человека = 21 %. Нет - 87 человек =79 %.

Из анкетирования видно, что большинству опрошенных не знаком лист Мёбиуса, а это подтверждает, что тема актуальна. Ведь простой лист, с одной стороны перевернутый на 180 градусов, несет в себе множество свойств, тайн, а самое главное многозначное применение. А, увидев вопрос: «Где применяются свойства листа Мёбиуса» ответило всего 1 % опрошенных, а это говорит о том, что почти никто не знает ответ на поставленный вопрос.

И моей, после анкетирования, целью стало расширить знание учеников о листе Мёбиуса.

3.2. Практическая часть

3.2.1. Изготовление листа Мёбиуса.

Берём бумажную ленту АВВ^/А^/. Прикладываем её концы АВ и А^/В^/ друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой В^/, а точка В с точкой А^/. Склеим концы ленты, предварительно повернув один из них на 180 градусов. Получим перекрученное кольцо. Лист Мёбиуса готов!

3.2.2. Проведение опытов с листом Мёбиуса.

Для проведения опытов я изготовил бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см. Чтобы понять, в чём особенность листа Мёбиуса, я проводил опыты с обычным бумажным кольцом и с перекрученным (листом Мёбиуса).

Опыт 1

Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку.

Обычное кольцо

Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала.

Вторая остаётся чистой.

Лист Мёбиуса

Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.

Вывод: Поверхность листа Мёбиуса является непрерывной. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся «переползать» через край ленты. Разрывов нет - непрерывность полная.

Опыт 2

Закрасим полностью только одну сторону колец.

Обычное кольцо

Одна сторона закрашена, другая нет.

Лист Мёбиуса

Закрашенным оказался весь лист целиком.

Вывод: Поверхность листа Мёбиуса односторонняя. Лист оказался закрашенным полностью! А ведь мы его даже не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Лист Мёбиуса имеет одну поверхность. «Внешняя» и «внутренняя» стороны как бы по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга.

Опыт 3

Закрасим непрерывной линией только один край колец

Обычное кольцо

Один край кольца закрашен, второй край нет.

Лист Мёбиуса

Линия края получилась, непрерывно закрашена на всём кольце.

Вывод: У листа Мёбиуса одна сторона и один край!Опыт 4

На внутренней поверхности стоит некто Х, а по внешней идёт в любую сторону некто У

Обычное кольцо

Х и У никогда не встретятся, не пересекая края

Лист Мёбиуса

Х и У встретятся, не пересекая края в любом случае.

Вывод: Поверхность листа непрерывная и односторонняя.

Опыт 5

Разрежем кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям

Обычное кольцо

Получилось два кольца, точнее две половинки от исходного кольца. Каждое кольцо будет уже, но длина будет такой же, как длина первоначального кольца.

Лист Мёбиуса

Получилось одно большое перекрученное кольцо в виде восьмёрки.

Исследуем полученные поверхности:

На полученных в 5 опыте кольцах поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку ( повторим опыт 1)

Обычное кольцо

Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца.

Результат опыта 1 повторился.

Лист Мёбиуса

Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца.

Результат опыта 1 не повторился.

Получилась не лента Мёбиуса!

Вывод: при подобном разрезании Лист Мёбиуса утратил свойство непрерывности.

Опыт 6

Разрежем кольцо вдоль, отступив от края на 1/3 ширины кольца

Обычное кольцо

Получилось два кольца: одно поуже, другое шире.

Лист Мёбиуса

Два перекрученные сцепленные между собой кольца: диаметр первого в два раза больше диаметра второго, ширина первого кольца в два раза меньше.

Исследуем полученные поверхности:

На полученных в 6 опыте кольцах поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку ( повторим опыт 1)

Обычное кольцо

Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца.

Результат опыта 1 повторился.

Лист Мёбиуса

Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне большого кольца (Не лист Мёбиуса), по всей поверхности маленького кольца будет проходить линия с двух сторон

(Лист Мёбиуса)

Опыт 7

Возьмём кольца- результаты 5 опыта. Разрежем пополам вдоль.

Обычное кольцо

Получаются отдельные кольца. Их ширина становится всё уже и уже.

Лист Мёбиуса

Получилось два кольца, переплетённые между собой в виде восьмёрки.

Выводы по разрезанию: Лист Мёбиуса имеет интересное свойство - связность. Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он распадётся на два отдельных куска. Разрез ножом разделит яблоко на две части. Говорят, квадрат- односвязен. Если разрезать лист Мёбиуса вдоль (опыт 1), он превратится не в два отдельных кольца, а в одну ленту. Лист Мёбиуса - двусвязен.

Опыт 8.Что получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (т.е. на 360градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.

Вам придётся перевернуть чтобы закрасить весь лист ,который мы перевернули на 360 градусов.

Опыт 9. Свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой.

Опыт 10. Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать кольца по очереди ,но они всякий раз будут сцеплены вместе.

13

Опыт 11. Если взять не бумажную ленту, а полосу любой ткани, повернуть один из концов полоски на три оборота, т.е. на 540 градусов, сшить оба конца. Затем взять ножницы и аккуратно разрезать полоску посередине, то получается три одинаковых кольца, сцепленных между собой.

3.2.3.Общие результаты опытов - свойства листа Мёбиуса

• Лист Мёбиуса имеет одну сторону (поверхность). Это подтверждают результаты 1,2,4 опытов.

• Лист Мёбиуса имеет один край. Результат 3 опыта.

• Очевидный лист Мёбиуса можно получить из прямоугольника, где длина значительно больше ширины, т. е. из полосы, ленты.

14

• Если пустить по поверхности листа Мёбиуса движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго, т.е. поверхность непрерывна. Это подтверждают 1 и 4 опыты.

• Листу Мёбиуса присуще свойство - связность.

• Лист Мёбиуса, как и любая топологическая фигура, не меняет своих свойств, пока её не разрезают, не разрывают, или не склеивают его отдельные куски.

• Лист Мёбиуса можно многократно перекручивать при склеивании, при этом получается узор.

• Один край и одна сторона листа Мёбиуса не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния.

Топологические свойства.

• Односторонность - топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него.

• Непрерывность - с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность, На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с другой точкой. Разрывов нет - непрерывность полная.

• Связность - чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот - двусвязен и т.д.

• Ориентированность - свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.

Какой формы бумажную полоску следует взять, чтобы склеить ленту Мёбиуса?

Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Скажем, из квадратного листа ленты Мёбиуса не сделаешь. Это верно, но с одной оговоркой, которую легко недооценить: ограничения на размер имеют значение лишь в том случае, когда бумагу запрещается мять. Если же мять бумагу не запрещается, то ленту Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров» - склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее несклеиваемых.

Сделать это можно так: сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его чётное число раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мёбиуса. Ясно, что лист бумаги, из которого склеена лента Мёбиуса, оказался смятым.

Предположим теперь, что бумажную полоску можно изгибать, но не мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из неё ленту Мёбиуса. Таким образом, существует такое число λ, что из полоски длины больше λ ленту Мёбиуса склеить можно, а из полоски длины меньше λ - нельзя. Очень хотелось бы найти это λ. Удивительно, но решение этой задачи до сих пор не известно.

16

Применение листа Мёбиуса.

4.1. Применение листа Мебиуса в технике

Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях.

Патентные службы вынуждены были познакомиться с поразительными свойствами листа Мебиуса - в разное время и в разных странах зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит все та же односторонняя поверхность.

В 1923 году знаменитый американский изобретатель Ли де Форест, который придумал трехэлектродную лампу - триод, предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу «с двух сторон». Скольких людей приводят в восторг аттракционы «Американские горки». Лента Мёбиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.

В 1971 году уральский изобретатель Чесноков П. Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

В 1979 году была изобретена детская игрушечная электрифицированная железная дорога. Полотно железной дороги также представляет собой ленту Мебиуса.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Более того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера.

Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Представьте себе обыкновенную ленту, образующую кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. Как сделать, чтобы лента работала вдвое дольше, если размеры ленты увеличивать нельзя? В 1969 году изобретателю А. Губайдуллину было выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса: срок работы ленты увеличились вдвое.

В технике так же применяется резистор Мебиуса, прокатный стан, ремень передачи, подшипник в виде ленты Мебиуса для увеличения срока работы, ремень передачи.

Благодаря ленте Мёбиуса, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с "двух сторон" не меняя их местами.

В большинстве матричных принтеров красящее устройство также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения его ресурса.

18

. И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

.

4.2.Лист Мебиуса в архитектуре

Архитектурные сооружения имеют вид знаменитой ленты Мёбиуса.

Имеются воплощения простого листа Мёбиуса в строительстве. Построенный в Лондоне велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.

Например, грандиозная библиотека в Казахстане. Изгибы музея образуют лист Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены.

Аттракцион «Американские горки», являющийся подобием «необыкновенного листа», многих людей приводили в восторг.

4.3.Лист Мебиуса в цирковом искусстве

Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам.

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Фокусники используют лист Мебиуса уже на протяжении 75 лет. Вот пример еще одного фокуса: фокусник вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивание. Второе кольцо получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180ْ. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды. Известно еще много фокусов с применением ленты Мебиуса.

Проблема завязывания узлов .Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного" узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.

Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека. Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет висеть в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку. Тот же самый эксперимент можно провести и, не расстегивая жилета. Единственное неудобство будет заключаться в том, что жилет слишком узок для снятия через голову. Поэтому жилет можно заменить свитером. Манипуляции со свитером в точности повторяются. Этот эксперимент можно демонстрировать и на себе, для чего нужно соединить шнуром кисти рук, оставляя между ними 40 сантиметров, чтобы обеспечить свободу движений, и руки сцепить впереди.

Распутывание колец из верёвок. Двое участников связаны веревками за руки. Тем самым руки и веревки образовывают два сцепленных кольца. Необходимо , не развязывая веревок, распутаться. Отгадка этого опыта кроется в том, что на руках у участников есть еще по две петли. Необходимо одну веревку протянуть через одну из петель на руках другой веревки и снять петлю через кисть руки.

4.4.Лист Мебиуса в искусстве

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульпторов и для графического искусства. Известный голландский художник М. Эшер (1898-1971) особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мёбиуса - на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.

Целую серию скульптур в виде листа Мёбиуса создал скульптор Макс Билл.

Гигантская скульптура «Древо жизни» сочетает в себе мотивы древесной коры, человеческого сердца и «Листа Мёбиуса», символизирующие творческий союз искусства и науки.

Небольшие скульптуры с изображением листа Мёбиуса являются украшением парков и скверов г. Минск. Скверик около Центральной Научной библиотеки имени Якуба Коласа.

23

Это украшение в виде ленты Мебиуса выполнено в Риге в 2001 г

Скульптура в Москве.

Разные скульптуры:

Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных картин и для графического искусства.

Широкое применение листа Мёбиуса нашло в искусстве:

Лиза Рей «Корабль дураков в бесконечность». Макс Билл «Узел без конца»

25

Необычный вид ленты Мёбиуса приглянулся и ювелирам. Часто украшения напоминают математический объект.

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

Символ вселенной создан в виде ленты Мёбиуса.

4.5.Лист Мёбиуса в литературе.

Чудесные свойства ленты породили многочисленные фантастические рассказы. Например рассказ Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы предполагают, что наша вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса.

В рассказе А. Дейча "Лента Мебиуса" описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев.

А Кузьма Прутков подарил читателям афоризм: «Где начало того конца, которым оканчивается начало?».

Текст и мир на листе Мёбиуса - Языковая геометрия Осипа Мандельштама versus еврейская цивилизация.

Ленте Мёбиуса посвящают стихи:

Наталия Юрьевна Иванова

Лист Мёбиуса - символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом

Он полон неосознанной романтики:

В нем бесконечность свернута кольцом.



В нем - простота, и вместе с нею - сложность,

Что недоступна даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца.



Здесь нет пределов, нет ограничений,

Стремись вперед и открывай миры,

Почувствуй силу новых ощущений,

Прими познанья высшего дары:



Познай любовь и ненависть изведай,

Низвергнись в ад - тотчас увидишь рай.

Ты в одночасье насладись победой,

И горечь пораженья испытай.



На грани бесконечного блаженства,

Испытывая суеверный страх,

Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,

Окажешься в таинственных мирах.



И, вдохновленный этим дерзновеньем,

По экспоненте поднимаясь в высь,

Ты ощутишь восторг освобожденья,

Почувствуешь, как возникает Мысль.



Покажется, что распростерлась Вечность,

Что взломан Мироздания пароль.

И вдруг твое стремленье в бесконечность

Тебя вернет к исходной точке: в ноль.



Как о порог, об этот ноль споткнешься.

Но как бы ни был прежний путь тернист,

Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)

Путь в бесконечность - Мёбиуса лист!

Стихотворение Вадима Соколова:

Как замыкается пространство

В бессрочной ленте бытия,

Где не мешает слов убранство,

Поступков лживости змея.

Бескомпромиссно, непорочно,

Бесстрастно в вечности своей.

Одностороннее построчно,

Объемно в матрице полей.

Незрима грань ума и сердца.

Её попробуй пересечь…

Придется только там вертеться,

Где точка всех разлук и встреч.

Как странна точка перегиба,

Что отделяет жизнь и смерть….

В жизнь прибегаешь торопливо,

Боясь, наверно, не успеть

Пройти весь длинный путь до срока…

Бежишь, не видя ничего,

И в том, что выбрал ты, нет прока…

И счастье-то - несчастливо,

Беда, ведь, в сущности, не горе,

А горе - вовсе не беда…

Вот, себялюбие - в позоре,

А глупость - горе навсегда.

И всё бежишь, не зная меры.

Дверь приоткрыта, вечность ждёт…

Ты здесь один, и всё без веры….

А благодать к тебе сойдет?

Да полно ждать благословенья,

Когда граница всех дорог

Уж пред тобой. Одно мгновенье -

И вот уже нажат курок,

Не пистолета, не винтовки,

Судьба-оружие бьет цель.

И, как всегда, наизготовку,

Кладет на черную постель.

Преодолев земные страсти,

Пути другие ты пройдешь.

Ты будешь прежним лишь отчасти,

Когда сюда ты вновь придешь.

Так замыкается пространство

В бессрочной ленте бытия.

Всегда наш путь - дорога странствий

И поиск именно себя.

29

Заключение

Выполняя работу по изучению удивительного листа Мёбиуса, я узнал о жизни самого учёного, об истории уникального открытия. Не зря говорят: «Всё гениальное рядом». Открытие положило начало новому направлению в математике. Мною была изучена большая разнообразная информация. Она анализировалась и перерабатывалась.

Я получил удовольствие, когда выполнял опыты. Результаты были очевидны, поскольку эксперименты проводились с обычным кольцом и листом Мёбиуса. Так я узнал об удивительных свойствах листа Мёбиуса. Для меня это были маленькие открытия.

Все поставленные задачи были выполнены. Предположение, что лента Мёбиуса обладает удивительными свойствами, подтвердилось.

Используя источники сети Интернет, я обратил внимание на широкое применение Листа Мёбиуса. Он так нужен в практической жизни!

Я сумел получить интересный математический материал.

Своими результатами исследования о листе Мебиуса я поделился с учениками школы в ходе проведения недели математики и информатики. Думаю, что это их заинтересовало. Вообще я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

С листом Мёбиуса можно провести ещё много опытов и убедиться в открытых свойствах. Количество опытов зависит от собственного интереса и терпения. К тому же, в ходе эксперимента я узнал лишь некоторые свойства листа Мёбиуса. Кроме того, свойства мало получить и увидеть в результате эксперимента, они требуют математического обоснования, доказательства.

Мною не исчерпаны опыты с листом Мебиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения. Я обязательно буду возвращаться к опытам с листом Мебиуса.

Эх, Мёбиус, ты создал чудо! Простой всего лишь лист в пол оборота, Он подарил красоту и необычность. Здесь нет пределов и нет ограничений! (Ерохин М. А «Необыкновенный лист Мёбиуса»)

30

Литература

1. В.А.Гусев, А.П.Комбаров «Математическая разминка»

2. А.П.Савин, В.В.Станцо, А.Ю.Котова «Я познаю мир математика»

3. Газета «Математика» приложение к издательскому дому «Первое сентября»,№14 1999г., № 24 2006г.

4. Гарднер М.Математические досуги. М. Мир,1972.

5. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Наука, 1978.

6. Энциклопедия для детей. Математика. Аванта +, 2001 г., стр. 111-112.

7. Барр С. Россыпи головоломок. Москва, Мир, 1987.

8. Левитин К. Геометрическая рапсодия. Издательство «Знание», Москва,1984

9. Газета «Математика». № 3, 2007г. Изд. «Первое сентября»

10. В.А. Гусев, А.И. Орлов, А.Л. Розенталь / Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. М., «Просвещение»1977г

11. И.Я. Депман «За страницами учебника математики». Москва, изд. «Просвещение», 1989г.

Интернет ресурсы

1. www.vlink.ru/~v-design/mebius.htm.

2. ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса

3. oriart.ru/publ/3-1-0-11

4. www.smartvideos.ru/mebius-transfor

5. www.sola.narod.ru/top.htm

6. arbuz.uz/t_lenta.html

7. www.frei.ru/golos/books/

8. umiranie.chat.ru/sphere.htm

9. school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm1.htm

10. www.kvant.info/

</ 31

Приложение

В анкетировании приняло участие 110 учеников, обработав анкету, получил следующие результаты:

1. Знаете ли вы что такое «Топология»? - ответили: Нет, не знаю - 77 человек = 70 %. Да, это - 2 человека = 2 %. Слышал (а) об этом понятии - 31 человек = 28 %.

2.Знаете ли вы что такое «лист Мёбиуса»?- ответили: Нет, не знаю - 64 человека = 58 %. Да, это - 8 человек = 7 %. Слышал (а) об этом понятии - 38 человек = 35 %.

3. Сколько сторон у «листа Мёбиуса»?-ответили: Одна - 22 человека = 20 %. Две - 75 человек = 68 %. Три -13 человек = 12 %.

4. Знаете ли вы, где применяются свойства «листа Мёбиуса»? - ответили: Нет, не знаю - 109 человек = 99 %. Да, они применяются - 1 человек = 1 %.

5. Если раскрасить две стороны обычного листа и положить на одну сторону муравья, а на другую - жука, то встретятся ли они, не переползая границы и с одинаковой скоростью? - ответили: Да - 5 человек = 5 %. Нет - 105 человек = 95 %.

6. Если отправить этих же муравья и жука только по листу Мебиуса встретятся ли они, не переползая границы и с одинаковой скоростью? - ответили: Да - 23 человека = 21 %. Нет - 87 человек =79 %.

Из анкетирования видно, что большинству опрошенных не знаком лист Мёбиуса, а это подтверждает, что тема актуальна. Ведь простой лист, с одной стороны перевернутый на 180 градусов, несет в себе множество свойств, тайн, а самое главное многозначное применение. А, увидев вопрос: «Где применяются свойства листа Мёбиуса» ответило всего 1 % опрошенных, а это говорит о том, что почти никто не знает ответ на поставленный вопрос. И моей, после анкетирования, целью стало расширить знание учеников о листе Мёбиуса.