Интегрированный урок "Применение производной при решении физических задач" (11-й класс)

Учитель математики Куц Федор Иванович

Учитель физики Овчар Сергей Александрович.

Цели:

• Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной.

• Закрепить навыки нахождения производных.

• Проверить уровень сформированности навыка нахождения производных, способствовать выработке навыков в применении производной к решению физических задач.

• Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.

Оборудование: Мультимедийный экран, карточки с задачами по физике.

Ход урока

Организационный момент

Учитель математики: Здравствуйте. У нас сегодня необычный урок. Он будет объединять математику с физикой.

Тема нашего урока "Применение производной при решении физических задач"

Учитель физики - Перед тем, как перейти к решению задач, давайте повторим теоретические вопросы кинематики и динамики.

Актуализация знаний

(Фронтально, ответить на вопросы и записать формулы на доске):

1. Что такое мгновенная скорость?

2. Что такое ускорение?

3. Записать уравнение зависимости координаты от времени для равномерного движения x(t) = x ₀+t

4. Записать уравнение зависимости проекции вектора перемещения от времени для равномерного движения s_x(t) = _xt

5. Записать уравнение зависимости координаты от времени для равнопеременного движения x(t) = x₀+_0xt + a_xt²/2

6. Записать уравнение зависимости проекции скорости от времени для равнопеременного движения _x (t)= _0x + a_xt

7. Записать формулы проекции перемещения для равнопеременного движения s _x(t) = _0xt+a_xt²/2

8. Записать формулу кинетической энергии E = .

9. Записать формулу работы F = ma.

Учитель физики: Повторив вопросы, давайте решим задачу по теме «кинематика».

Учитель физики обращает внимание на экран, где спроектирована задача:

№1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -2 + 4t + 3t². Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 2с. (х - координата точки в метрах, t - время в секундах).

Решим задачу физическим способом: x(t) = x₀ + _0xt+a_xt²/2

1) x₀ = - 2м;_0x= 4 м/с; a_x= 3∙2 = 6(м/с)².

2) _x(t)= v_0x+ a_xt; _x(t) = 4+ 6t; _x(2) = 4+ 6∙2 = 16(м/с).

Ответ:_x=16м/с; a_x= 6 м/с².

Учитель математики: А теперь я хочу забрать инициативу и предложить ребятам вопрос, который мы изучали на уроках математики.

Пусть тело движется по закону S(t) = f(t). Рассмотрим пройденный телом путь за время от t₀ до t₀+ t, где t- приращение аргумента. В момент времени t₀ телом пройден путь S(t₀), в момент t₀ + t - путь S(t₀+ t). Поэтому за время t тело прошло путь S(t₀+ t) - S(t₀), т.е. мы получили приращение функции. Средняя скорость движения за этот промежуток времени = = . Чем меньше промежуток времени t, тем точнее мы можем узнать с какой скоростью движется тело в момент t. Устремив t 0, получим мгновенную скорость - числовое значение скорости в момент t этого движения:

= = Sʹ(t). Скорость - производная от пути по времени.

Еще раз вспомним определение ускорения: a(t) = .

Применив выше изложенный материал, можно сделать вывод: при t 0 a(t) = ʹ (t) Ускорение - есть производная от скорости по времени.

Итак, в чем состоит физический смысл производной? Ведь не даром у нас урок физики и математики (сформулировать: физический смысл производной заключается в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости есть ускорение.)

- Так с помощью чего можно найти мгновенную скорость?

Теперь вернемся к решенной на доске задаче. Мы ее решили, используя только знания физики, а т.к. мы вспомнили, в чем же заключается физический смысл производной, давайте решим эту же задачу, используя производную:

x(t) = - 2 + 4t + 3t².

(t) = xʹ(t) = 4 + 6t.

(2) = 4 + 6∙2 = 16 (м/с).

a(t) = ʹ (t) = 6 м/с².

Ответ: =16м/с; a = 6 м/с².

Вопрос: Какое решение вам больше нравится? Почему?

Вывод учащихся.

№ 2 .На доске в условии задачи № 1 заменить t² на t³: x(t) = -2 + 4t + 3t³ и задать вопрос:

А смогли бы вы решить эту задачу физическим способом, используя тот теоретический материал, который мы повторили в начале урока? Почему нет?

x(t) = -2 + 4t + 3t³.

(t) = xʹ(t) = 4 + 9t².

(2) = 4+ 6∙2² = 4 + 24 = 28(м/с).

a(t) = ʹ (t) =18t.

a(2) = 9 ∙2 = 18( м/с²).

Ответ. (2) = 28м/с; a(2) = 18м/с².

Учитель физики: Рассмотрим различные виды физических величин, которые удобнее находить через производную. ( Таблица проецируется на экран)

t - время

S- перемешение

№ 3. Два тела совершают прямолинейное движение по законам:

S₁ (t) = 3t- 2t+10, S₂ (t) = t+ 5t + 1, где t - время в секундах, а S₁ (t), S₂ (t) - пути в метрах, пройденные, соответственно, первым и вторым телами. Через сколько секунд, считая от t=0, скорость движения первого тела будет в два раза больше скорости движения второго тела?

На доске задачу 3 решает средний ученик,

Решение. ₁ (t) = S₁ʹ(t) = 6t - 2; ₂ (t) = S₂ʹ(t) = 2t + 5.

Составим уравнение, отвечающее вопросу задачи: ₁ (t) = 2₂ (t), т. е. 6t - 2 = 2(2t + 5).

6t - 2 = 4t + 10; 2t = 12; t = 6(с).

Ответ. t = 6(с).

№ 4.Маховик вращается вокруг оси по закону (t) = t⁴- 5t. Найдите его угловую скорость в момент времени 2с ( - угол вращения в радианах, - угловая скорость в рад/с).

Решение.

) = (t⁴- 5t)ʹ = 4t³- 5.

) = 4∙2³- 5= 32 - 5 = 27 (рад/с).

Ответ.) = 27 (рад/с).

№ 5.Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t) = 2- 3t + 2t². Найдите скорость тела и его кинетическую энергию через 3с после начала движения. Какая сила действует на тело в этот момент времени? (t измеряется в секундах, х - в метрах).

Решение.

Учитель математики: (t) = xʹ(t)

(t) = (2- 3t + 2t²) ʹ= - 3 + 4t.

(3)= - 3 + 4∙3 = 9(м/с).

Учитель физики: E =

E = = 81Дж.

F = ma.

Учитель математики: a(t) = ʹ (t).

a(t) = (- 3 + 4t)ʹ = 4 (м/с²).

Учитель физики F = 2кг ∙ 4 м/с² = 8 Н.

Ответ. E = 81Дж, F = 8 Н.

№ 6. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента , задается формулой q = 3t² + t + 2. Найдите силу тока в момент времени t = 3c.

Решение. I(t) = qʹ(t) ; I(t) =(3t² + t + 2)ʹ = 6t +1; I(3) = 6∙3 +1 =19(A)

Ответ: 19А.

№7. В тонком неоднородном стержне длиной 25см его масса (в г) распределена по закону m = 2l² + 3l , где l - длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти линейную плотность в точке:

1. отстоящей от начала стержня на 3см;

2. в конце стержня.

Решение. = mʹ( l); = (2l² + 3l)ʹ = 4l +3; = 4∙3+3= 15(г/см).

= 4∙25+3= 103(г/см)

Ответ: 15г/см; 103г/см.

№ 8.Электрическая цепь состоит из источника тока и реостата. ЭДС источника = 6 В, его внутреннее сопротивление r = 2 Ом. Сопротивление реостата можно изменять в пределах от 1 Ом до 5 Ом. Чему равна максимальная мощность тока, выделяемая на реостате?

Решение.

Учитель физики:

Максимальная мощность достигается в том случае, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника тока, т.е. при R= r. В нашем случае с данным реостатом это возможно.

Закон Ома для полной цепи: I = .

Мощность тока, выделяемая на реостате: P = IU= I²R = .

При R= r имеем: P = .= . =

P= = 4,5 (Вт).

Учитель математики:

Исследуем выражение для мощности на экстремум по сопротивлению:

Pʹ(R) == = = = .

Решив уравнение Pʹ(R) = 0,т.е. = 0, имеем R= r = 2.

При 1 ≤ R ≤ 2, Pʹ(R) 0, при 2 ≤ R ≤ 2, Pʹ(R) 0,следовательно, при R = 2 Ом мощность P достигает наибольшего значения. P (2) = = 4,5 (Вт).

Ответ. 4,5 (Вт).

№ 9. Частица совершает гармонические колебания по закону x(t) = 24 cos t см. Определите проекцию скорости частицы и ее ускорения на ось Ох в момент времени t = 4с.

Решение. (t) = xʹ(t) = (24 cos t)ʹ = -24∙ sin t = -2sin t;

(4) = -2 sin (∙ 4) = -2∙ = - .

a(t) = ʹ (t) =(-2 sin t)ʹ = -2 ∙ cos t = - cos t;

a(4) = - cos ( ∙ 4) = - ∙ = - ∙

Ответ. (4) = - , a(4) = - ∙

Учитель математики:

Теперь переходим к решению небольшой самостоятельной работы. В ней вы должны показать свое умение решать задачи, которые мы сегодня рассмотрели.

Самостоятельная работа в двух вариантах

Задания 1 варианта:

1.Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2t³ + t - 3. В какой момент времени ускорение будет равно 24 м/с². (х - координата точки в метрах, t- время в секундах)

2.Колебательное движение точки описывается уравнением x = 0,05 cos 20t .Найти проекцию скорости и проекцию ускорения спустя с.

Задания 2 варианта

Материальная точка движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна x(t) = t⁴- 2t. Найдите ускорение точки в момент времени t =3 с.

Колебание маятника совершается по закону x = 0,2sin10t . Определите проекцию скорости маятника и ускорение через с.

Итог урока

- Мы сегодня повторили применений производной в кинематике, но возможности применения производной намного шире, в чем мы сегодня и убедились: ее можно применять при изучении многих вопросов по динамике, так же при изучении электромагнитных явлений, в оптических явлениях, при решении задач по ядерной физике. Те вопросы, которые мы сегодня рассмотрели, помогут вам при решении задач по математике и физике на экзаменах

Учитель математики: А я хочу закончить наш урок высказыванием русского ученого Михаила Васильевича Ломоносова, в котором как нам кажется, мы сегодня убедились

«Слеп физик без математики»