Практическая работа Комплексные числа и действия над ними

Практическая работа

Тема: Комплексные числа и действия над ними.

Цель: закрепить навыки действий над комплексными числами в разных формах.

Теоретическая часть: Комплексным числом называется выражение - действительные числа, - мнимая единица, которая определяется соотношением: .

Число называется действительной частью числа , а - мнимой частью.

Числа

Два комплексных числа и , называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части :

алгебраическая форма комплексного числа

тригонометрическая форма

показательная форма

Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

1. Сложение и вычитание комплексных чисел:

2. Произведение комплексных чисел:

3. Деление комплексных чисел:

Тригонометрическая форма комплексного числа

Z = r(

Модуль комплексного числа r можно найти по формуле r =

Величину угла можно найти по формуле

Показательная форма комплексного числа Z = r

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

)

1. Произведение комплексных чисел:

2. Деление комплексных чисел:

3. Возведение в степень:

4. Извлечение корня

Примеры и решения

№1 Решить квадратное уравнение:

Х² - 6х + 13 = 0

Решение: а=1, в=-6, с=13. Найдем D=; D= (-6)²- 4

Корни уравнения находим по формулам х_1,2=

х_1,2=

х₁=3+2i x₂=3 - 2i

Ответ: х₁=3+2i; x₂=3 - 2i.

№2 Найти значения х и у из равенства (2x+3y) + (x-y)i = 7 + 6i

Решение: из условия равенства комплексных чисел следует

Умножив второе уравнение на 3, и сложив результат с первым уравнением, имеем

5х=25,т.е. х=5. Подставим это значение во второе уравнение: 5 - у = 6,откуда

у = -1. Итак, получаем ответ: х = 5,у = -1.

Даны комплексные числа z₁ = 5 + 3i , z₂ = 7 - 4i

Найти

а)

Решение:

а)

б)

в)

г).

№4 Выполнить деление :

Решение:

№5 Записать число Z = 3 - 3i в тригонометрической и показательной формах.

Решение: 1.Так как а=3, в=-3,то r= =

2. Геометрически определяем, что числу z соответствует точка Z,лежащая в 4 четверти

3. Составим отношения .Отсюда следует, что

4. Итак, z = 6( - тригонометрическая форма числа

Z = 6 - показательная форма числа.

№6 Даны комплексные числа

Найти:

а) в)

Решение:

а) (

б)

в)

Используем формулы приведения

г)

Если

Если

Если

Задание для самостоятельного решения:

1.Решить уравнение:

2.Найти действительные числа из условия равенства двух комплексных чисел:

3.Даны комплексные числа:

Найти: а)

4.Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах:

5.Найти:

Действия произвести, предварительно записав комплексные числа в тригонометрической форме.

Критерии оценки

«5»-выполнены правильно все задания

«4»-выполнены правильно любые четыре задания

«3»-выполнены правильно любые три задания

«2»-выполнено правильно только два задания

Рекомендуемая литература

1. В.Т. Лисичкин, И.Л.Соловейчик. Математика: учебное пособие для техникумов

2.Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергеенко. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.

3. Алгебра и начала анализа под ред. Г.Н.Яковлева «Математика для техникумов».