Разработка урока внеурочной деятельности Арифметические ребусы

Урок №

Логика 5 класс

Тема: «Арифметические ребусы, решение арифметических ребусов»

Целеполагания:

• Познакомить ребят с понятием арифметические ребусы - что это такое

• познакомить ребят с правилами расшифровки ребусов;

• научить их решать ребусы;

• способствовать развитию умений анализировать, сравнивать, обобщать, выделять главное; развивать осознанную математическую речь; развитие познавательного интереса учащихся;

• содействовать воспитанию таких качеств как: самостоятельность, целеустремленность, настойчивость, целенаправленность, трудолюбие, аккуратность, ответственность

Задачи:

- Продолжить формирование навыков контроля результатов деятельности.

- Способствовать развитию коммуникативных навыков. Развивать умение анализировать, обобщать материал, выступать перед аудиторией, развивать интеллектуальные, творческие и исследовательские способности, активизировать интерес к учебным предметам.

- Формирование логического, абстрактного, эвристического, системного мышления.

Оборудование: проектор, экран, компьютер, презентации

План урока.

1. Организационные моменты

Сообщение темы и целей урока.

2. Что такое ребус.

Ребус - это шифровка, носящая развлекательный характер. Ребусы - рисованные загадки. В ребусах текст зашифровывается с помощью рисунков предметов, букв, цифр и т.д.

Ребусы появились в период зарождения письменности

(рисунчатое письмо).

В ХV -ХVI веках ребусы становятся модным увлечением у народа и при королевских дворах во Франции, Германии, Англии, Италии, а с 1845 г. и в России.

Составление ребуса - это умственный труд. Иногда для этого требуется много времени. Но какое удовольствие получаешь, когда ребус разгадан.

Знание правил составления и расшифровки ребусов позволяет разгадать любой ребус.

Арифметические ребусы (общее название) - примеры обычных арифметических действий (на сложение, вычитание, умножение и деление), в которых все или большая часть цифр заменены звездочками, кружочками, буквами.

В «буквенном» ребусе каждая буква означает одну определенную цифру. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры. По-другому эти ребусы называют еще криптоарифметическими задачами или криптарифмами. В ребусах со звездочками, квадратиками и т. д. каждый значок может обозначать любую из десяти цифр - от 0 до 9. Одни цифры могут повторяться несколько раз, а другие вообще оставаться неиспользованными.

В ребусах с буквами и значками (звездочками, квадратиками, кружочками, точками и т. п.) вместо значков могут стоять любые цифры, в том числе и зашифрованные буквами.

Помните: ни одно число не начинается нулем.

Расшифровать ребус - это значит восстановить первоначальную запись примера.

При решении задач такого типа требуется внимательность к очевидным арифметическим действиям и умение вести нить логических рассуждений. Рассмотрим решение некоторых арифметических ребусов.

1. ПРИМЕР

Число палиндром

Умножив два числа, получаем число, обратное первому множителю. Что это за числа?

Решение.

Замечаем, что

Получили:

3. Так как при умножении четырехзначного числа (первая цифра, которого равна 1) на 9, получаем четырехзначное число первая цифра, которого равна 9, следовательно, вторая цифра (первого множителя) может быть только 0 или 1 при умножении на 9 (иначе число-результат будет пятизначным числом ). Но 1 мы уже использовали, поэтому буква О - это цифра 0. Т.е. получаем

4. Осталось найти букву Р. Начнем умножать столбиком: 9*9=81.

1 пишем в разряд единиц, 8 переносим в следующий разряд

т. е. при умножении Р на 9 число единиц равно 2. Следовательно Р=8. Таким образом, получаем:1089*9=9801.

2. ПРИМЕР

Каникулярный

Решение.

8947+8947=17894

Разгадывание шифров нашло свое воплощение в одном из видов математических головоломок -арифметических ребусах. В этих задачах требуется заменить буквы цифрами так, чтобы получаемое равенство оказывалось верным. При этом одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, разным - разные. Таким образом, это дешифровка наоборот.

3. ПРИМЕР

Рассмотрим решение одной из таких головоломок.

КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА.

Сначала обратим внимание на букву А. Из условия следует, что цифра, скрывающаяся под буквой А, вновь оканчивается на А, если ее утроить. Таким свойством обладают лишь две цифры: 0 и 5.

Теперь обратимся к букве Н. Из рассмотрения первой цифры суммы заключаем, что Н больше трех, значит, нам надо перебрать шесть значений для Н от 3 до 9. При этом обратим внимание на сложение в четвертом разряде. Сумма трех Н и, может быть, еще одной или двух единиц, переходящих из предыдущего разряда, должна равняться либо нулю, либо пяти.

• Если Н = 3, то А = 0 и единица переходит в пятый разряд, и мы получаем в пятом разряде суммы число, большее трех.

• Если Н = 4, то 3*Н = 12, и, даже добавляя одну или две единички, мы не получим в четвертом разряде суммы ни 0, ни 5.

• Если Н = 5, то А не равняется 5, а равняется 0, а в этом случае мы не сможем получить в четвертом разряде суммы 0.

• Если Н = 6, то А = 0, в пятый разряд переходит 2, поэтому 2 + 3*К = 6, что невозможно при целом К.

• Если Н = 7, то 3*Н = 21 и мы не сможем получить в четвертом разряде суммы ни 0, ни 5.

• Если Н = 8, то 3*Н = 24, значит, должна прийти единичка из третьего разряда и А = 5, а из рассмотрения пятого разряда получаем, что 2 + ЗК = 8. Значит, К = 2. Рассмотрим второй разряд. Число 3*Г + 1 оканчивается на 2. Это может быть только при Г = 7. Осталось найти значения для букв И и У из оставшихся возможных значений, причем 3*И + 2 больше девяти, но меньше двадцати и оканчивается на цифру, означающую У. Здесь оказывается только одна возможность: И = 3, У = 1. Искомое выражение запишется как 28 375 + + 28 375 + 28 375 = 85 125.

• Если Н = 9, то вновь невозможно получить в четвертом разряде суммы 0 или 5. Значит, полученное решение единственно.

Арифметические ребусамы - занимательная игра школьников: отгадывание задуманного слова решением задачи. Загадывающий задумывает слово, состоящее из 10 неповторяющихся букв, - например, "трудолюбие", "специально", "просвещать". Приняв буквы задуманного слова за цифры, загадывающий изображает посредством этих букв какой-нибудь случай деления. Если задумано слово "просвещать", то можно взять такой пример деления:

Можно взять и другие слова:

Буквенное изображение определенного случая деления вручается отгадчику, который и должен по этому, на первый взгляд бессмысленному, набору букв угадать задуманное слово. Как следует в подобных случаях доискиваться числового значения букв, читатель уже знает: мы объяснили это, когда решали задачу предыдущей статьи. При некотором терпении можно успешно разгадывать эти арифметические ребусы, если только пример достаточно длинен и дает необходимый материал для догадок и испытаний. Если же выбраны слова, дающие чересчур короткий случай деления, например:

то разгадывать очень трудно. В подобных случаях надо просить загадывающего продолжить деление до сотых или тысячных долей, то-есть получить в частном еще два или три десятичных знака. Вот пример деления до сотых долей:

Если бы в этом случае мы остановились на целом частном (со), отгадка задуманного слова едва ли была бы возможна.

Что касается слов, пригодных в качестве "ключа" для подобных ребусов, то выбор их не так беден, как может казаться; кроме прежде указанных, можно использовать слова:

республика, пятидневка,

демократия, струбцинка.

Как далеко может идти изобретательность в этом направлении, показывает следующий пример. Один из читателей прислал мне остроумно составленный арифметический ребус, разгадка которого представляет собой... лозунг для пропаганды идеи межпланетных путешествий. Ребус состоит из трех частей, последовательно развертывающих этот близкий мне лозунг. Вот они:

Читатель, который пожелает разгадать этот тройной (и весьма нелегкий) ребус, узнает в итоге, что

Предлагаю далее читателю самостоятельно разгадать следующий ряд ребусов:

¹ (Хотя в этой задаче ключ состоит из 12 букв и включает в себя повторяющиеся буквы, тем не менее задача вполне разрешима.)

Ответы к ребусам.

К ребусу № 1 - экспертиза. К ребусу № 2 - ракетомобиль. К ребусу № 3 - республика.

Последовательность работы с арифметическими ребусами, где

нужно заменить * недостающими цифрами и выполнить действие.

Постановка задачи.

Учитель предлагает внимательно рассмотреть примеры, записанные на доске, и найти «секрет» этих примеров.

4 + 2 = 6 6 - 5 = 1 1 + 7 = 8 8 - 3 = 5

Дети без труда выясняют, что результат каждого примера является началом следующего («цепочка» примеров). Тогда учитель предлагает решить головоломку, которая называется «распутай клубок».

56 - Δ =

- 15 =

18 + 6 = Δ

+ 1 = ►

Дети фиксируют свои вопросы: как решить примеры, в которых нет двух чисел? Почему задание называется «распутай клубок», о каком клубке речь? С этими вопросами учитель отправляет их работать в группах. Поиск ответов на вопросы ведется совместно.

Этап моделирования.

В групповой работе учащиеся выясняют, что один пример решить все же можно. Таким образом, будет найдено значение Δ. Подставив его в первый пример, находим следующее число и т.д. Теперь детям понятно, почему назвали задание «распутай клубок». Учитель предлагает сравнить это задание с цепочкой примеров. Дети выясняют, что в обоих заданиях цифра результата подставляется в следующий пример, т.е. принцип одинаков. В любой условной форме моделируют этот принцип: Δ + . = . . - . = Δ

Этап контроля.

Учитель предлагает детям последовательно решить следующие задания:

1. Распутать еще один «запутанный клубок», пользуясь выведенным принципом (здесь для усложнения изменена последовательность примеров).

82 + = ►

+ 8 = Δ

Δ - 39 =

94 - 45 =

2. Превратить цепочку примеров, записанную на доске ранее, в «запутанный клубок» (для этого некоторые цифры заменить геометрическими фигурами).

В качестве «ловушки» учитель предлагает такой вариант выполненного задания (одинаковые цифры заменены не одинаковыми, а разными фигурами):

4 + 2 = 6 6 - 5 = 1 1 + 7 = 8 8 - 3 = 5

4 + 2 = Δ Δ - 5 = ■ + 7 = - 3 = ►

≠

Дети находят «ловушку» и фиксируют основное правило: одинаковые цифры должны быть заменены одинаковыми значками (и наоборот). Например, так:

7 = 7

Δ = Δ

3. Придумать самостоятельно «запутанный клубок». Для этого дети сначала должны составить цепочку примеров.

4. Вставить вместо Δ одну и ту же цифру, чтобы равенство было верным.

1Δ + 3Δ + 5Δ = 111

Дети выполняют это задание путем перебора вариантов:

1 + 1 + 1 = 3 не подходит; 2 + 2 + 2 = 6 не подходит

3 + 3 + 3 = 9 не подходит; 4 + 4 + 4 = 12 не подходит

5 + 5 + 5 = 15 не подходит; 6 + 6 + 6 = 18 не подходит

7 + 7 + 7 = 21 подходит - 21 + (10 + 30 + 50) = 111

Выполняя это задание, учащиеся, кроме того, моделируют алгоритм выполнения такого задания и форму записи: последовательный перебор возможных вариантов с фиксацией, подходит или нет такой вариант.

Этап преобразования модели.

Учитель предлагает детям следующее задание: Восстановить пример:

7 3 Δ 739 можно дать более сложный

+2 6 +236 вариант Δ

Δ 7 5 975 + 2 6

Δ 5

Дети могут выполнять задание в парах, группах либо индивидуально. После выполнения задания обсудить, с чего начинали, где была та ниточка, за которую потянули, чтобы распутать весь клубок. Выяснить, что, чтобы сложить многозначные числа, нужно сосчитать несколько примеров с однозначными числами, своеобразную цепочку. А такие задания мы выполнять умеем. Главное - найти подсказку, где «начинается клубок».

Итак, «секреты», которые помогают решать арифметические ребусы:

№1. Одинаковые знаки (буквы) обозначают одинаковые цифры.

7 = 7

Δ = Δ

№2. Чтобы решить такой пример, нужно найти начало «клубочка» (откуда будет раскручиваться логическое рассуждение).

? !

№3. Нужно учитывать «переполнение» из соседнего разряда.

₁

7 3 Δ

+ 2 6

Δ 7 5

Этап контроля.

1. Детям предлагается ряд примеров на сложение и вычитание со *. В третьем и четвертом классе это могут быть примеры на умножение и деление.

3 7 0 * * * 5 9 * _* 2 * 4 8 .

+ * 9 * 8 8 0 0 3 * * * *

9 * 4 0 5 0 8 * 2 * * * _ 2 *

* *

0

2. Запиши суммы обычными цифрами:

Ỵ Ỵ 0 Ỵ Ỵ Ŧ Ŧ Ŧ Ŧ Ұ Ұ 0 Ұ Ұ

+ Ỵ 0 Ỵ Ỵ Ỵ + Ŧ Ŧ Ŧ Ŧ + Ұ Ұ Ұ Ұ Ұ

. . . 6 6 . . . 9 8 . . . . 5 4

Решая такие задания, дети выясняют еще два «секрета» арифметических ребусов, связанные с «переполнениями» из соседнего разряда:

• откуда берется еще один разряд в сумме, и какая цифра там может быть? (только 1).

• почему при сложении одинаковых знаков (букв) написаны (а значит, получаются) разные цифры? (виновато «переполнение» из соседнего разряда).

Открытия дополняют составленный ранее перечень «секретов»:

№4. На месте «свободного» старшего разряда в сумме может быть только цифра 1, которая получается из переполнения соседнего разряда.

₁

. . . .

+ . . . .

1 . . . .

№5. При сложении двух одинаковых букв могут получиться разные результаты. Виновато в этом «переполнение» из соседнего разряда.

нет переполнения _{1 есть переполнение}

Ŧ Ŧ Ŧ Ŧ

+ Ŧ Ŧ + Ŧ Ŧ

8 8 . 9 8

цифры одинаковые цифры разные

Значит, Ŧ может быть равно 4, а может быть равно 9. Об этом обязательно следует помнить.

Последовательность работы с арифметическими ребусами, которые составлены только из * либо из букв (обычных и «сказочных»).

Постановка задачи.

Учитель предлагает детям решить следующие арифметические ребусы:

* * * + * = * * * * ӨӨӨ + Ψ = ΨĦĦĦ Ответ: (999+1=1000)

* * * * * = * ΨĦĦ - ӨӨ = Ψ (100-99=1)

* * * * * = * * * ΨĦĦĦ - Ψ = ӨӨӨ (1000-1=999)

Дети сначала теряются, но потом быстро находят решение. Учитель спрашивает, почему была заминка? В чем (предположительно) ожидалась трудность? Учащиеся сообщают, что в этих ребусах нет ни одной известной цифры, только буквы или звездочки. Но смогли найти решение, потому что «секреты» арифметических ребусов, выведенные на предыдущем занятии, все равно работают.

ӨӨӨ + Ψ = ΨĦĦĦ работает «секрет» № 4 - в свободном старшем разряде1;

- затем «секрет» № 2 - найти начало клубочка, цифра 1 в старшем разряде и есть это начало;

- затем «секрет» № 1 - одинаковые буквы = одинаковые цифры.

Этап анализа и моделирования.

Учитель спрашивает, почему ребусы записаны на доске именно таким образом: в строчку сначала со звездочками, а затем с буквами. Дети быстро приходят к выводу, что второй ребус, имеющий такое же решение, служил подсказкой для первого. Ребусы, в которых есть только *, почти не имеют подсказок-«секретов», кроме № 4) - цифра 1 в старшем свободном разряде. Поэтому решать их труднее, они больше основаны на сообразительности и воспроизведения из памяти готовых решений.

Далее учитель предлагает детям несколько арифметических ребусов с буквами. Ребусы нужно решить и перечислить, какие «секреты» из уже известных использовались (для того, чтобы замоделировать их перечень для такого вида работы). Отдельно учитель предлагает фиксировать трудные моменты для поиска новых «секретов».о х о х о

+ а х а х а

о х о х о х

1 0 1 0 1

+9 0 9 0 9

1 0 1 0 1 0

«Секреты» № 4,2,1,3.

т р и

+ т р и

т р и

д ы р а

403

+ 403

403

1209

«Секреты» № 4, 2, 1.

Новый «секрет» №6 - если при сложении трех одина-ковых цифр получается такая же, то это могут быть только цифры 0 или 5. Все зависит от того, нужно ли отсюда переполнение в более старший разряд.

р 0 р 5

+ р +0 + р +5

р 0 р 5

р 0 . р 15

г а

+ г о

у г у

9 5

+ 9 6

1 9 1

«Секреты» № 4, 2, 1.

Новые «секреты» :

1. №7: если при сложении двух одинаковых цифр получается такая же, то это могут быть только цифры 0.

2. №8: если же есть переполнение в этот разряд, то это может быть и цифра 9. Все зависит от того, нужно ли переполнение в более старший разряд. В данном ребусе не может ноль стоять в начале числа, значит, только 9.

р 0

+ р +0

р 0

₁

9 .

+ 9 .

. 9 .

Таким образом, перечень подсказок-«секретов» увеличивается еще на 3 пункта.

Этап контроля и оценки.

1. Учитель предлагает детям буквенные ребусы на отработку всех известных «секретов». Обязательно обсуждать результат после нахождения решения: ввести форму записи «последовательности распутывания клубка».

к о ш к а 5 6 3 5 0

+ к о ш к а + 5 6 3 5 0

к о ш к а 5 6 3 5 0

с о б а к а 1 6 9 0 5 0

с - только1.

а + а + а = а только 0, так как из этого разряда не нужно переполнение.

к + к + к = к только 5.

к + к + к = о 5 + 5 + 5 (+ 1 из переполнения)= 6 - это о.

о + о + о = б 6 + 6 + 6 = либо 8 , либо 9.

Остаются цифры 2, 3, 4.

ш + ш + ш = 0 2 + 2 + 2 (+ 1 из переполнения) = 7 не подходит.

3 + 3 + 3 (+ 1 из переполнения) = 10 подходит, ш - 3.

Значит, если есть переполнение, то б - 9.

2. Учитель предлагает детям ребусы с * (частично применяются «секреты»).

- Найди два натуральных числа, разность и частные которых - одно и то же число.

* - * = * : * (Ответ: 4 - 2 = 4 : 2)

- Вставь вместо звездочки одну и ту же цифру, чтобы равенство было верным.

*4 + *1 + *3 + *0 + *1 = 259 (Ответ: 54 + 51 + 53 + 50 + 51= 259)

• Расшифруй запись,

* * + * * * = * * * * , если известно, что оба слагаемых и сумма не изменяются, если прочесть их справа налево. (Ответ: 22 + 979 = 1001)

3. Задания из игры- конкурса «Кенгуру»:

- Какое самое большое количество нечетных цифр может оказаться в сумме

к е н г у р у

+ к е н г у р у (Ответ: 6).

- Реши ребус, если к = 2.

к е н г = у р у (Ответ: 217 4 = 868).

Арифметические ребусы

В 3 классе рассматриваются арифметические ребусы, в которых разрешается поставить между цифрами знаки любых арифметических действий и скобки так, чтобы получилось верное равенство. Разберем несколько таких заданий.

Задача 1. Поставь знаки действий между некоторыми цифрами так, чтобы равенства стали верными:

а) 3 3 3 = 30

б) 3 3 3 3 = 30

в) 3 3 3 3 3 = 30

г) 3 3 3 3 3 3 = 30

Решение:

В равенстве а) достаточно поставить минус между второй и третьей тройками:

33-3 = 30.

В равенстве б) можно перемножить первые три тройки и к полученному результату прибавить четвертую тройку:

3 • 3 • 3 + 3 = 30.

Равенства в) и г) получаются из равенства а) и б) добавлением четного числа троек. Из четного числа троек можно получить выражение, значение которого равно нулю: 3-3 = 0, 3-3 + 3-3 = 0, и т. д. Поэтому из любого набора троек, большего двух троек, можно с помощью знаков действий получить выражение, значение которого равно 30:

33-3 + 3-3 = 30,

3•3•3 + 3+ 3-3 = 30

Задача 2. Поставь между всеми цифрами знаки действий так, чтобы равенства стали верными.

а) 1 2 3 4 5 6 7 = 8;

б) 1 2 3 4 5 6 7 8 = 9;

в) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 10.

Решение:

Каждый из этих ребусов имеет несколько решений. Приведем одно решение для ребуса а), два - для ребуса б) и три решения для ребуса в):

а) 1 + 2-3 + 4 + 5 + 6-7 = 8;

б) 1 + 2-3-4 + 5-6-7-8 = 9;

1 + 2-3 + 4 + 5-6 + 7-8 = 9;

в) 1 - 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7-8-9 = 10;

1+2-3 + 4 + 5-6-7-8-9= 10;

1-2-3-4-5:6 + 7-8-9 = 10.

Задача 3. С помощью четырех семерок, знаков арифметических действий и скобок составь выражения, значения которых равны 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Решение:

В этом задании знаки арифметических действий можно ставить между некоторыми цифрами. Для некоторых из семи значений можно составить несколько выражений. Приведем по одному выражению для каждого значения от 1 до 7.

77: 77= 1;

7:7 + 7:7 = 2;

(7 + 7 + 7) : 7 = 3;

77 : 7 - 7 = 4;

7-(7+ 7): 7 = 5;

(7•7-7): 7 = 6;

7 + (7-7)•7 = 7.

Задача 4. Поставь между цифрами знаки действий так, чтобы равенства стали верными. Можно использовать скобки.

а) 1 2 3 = 5;б) 1 2

3 4 = 5;

в) 1 2

3 4 5 = 5;

г) 1 2

3 4 5 6 = 5;

д) 1 2

3 4 5 6 7 = 5;

е) 1 2

3 4 5 6 7 8=5.

Решение:

а) 1 • 2 + 3 = 5;

б) (1 + 2): 3 + 4 = 5;

в) (1•2 + 3-4) •5 = 5;

г) (1 + 2•3-4 +5): 6 = 5;

д) (1•2•3•4 + 5 + 6): 7 = 5;

е) (1 + 2•3 + 4•5 + 6 +7): 8 = 5.

Задача 5. С помощью пяти двоек, знаков арифметических действий и скобок составь несколько различных выражений, значение каждого из которых равно 10.

Решение:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10;

2•2 + 2 + 2 + 2 = 10;

2•2 + 2•2 + 2 = 10;

(2•2 + 2: 2) •2 = 10;

(2 + 2 + 2 : 2)•2 = 10;

(2 + 2 + 2) • 2 - 2 = 10;

(2•2+ 2) •2-2 = 10;

22 : 2-2 : 2 = 10;

(22 + 2) : 2 - 2 = 10.

Задачи на переливание

Рассмотрим задачи двух типов: задачу, в которой требуется разлить поровну с помощью двух сосудов определенное количество жидкости, и задачу, в которой требуется с помощью двух сосудов набрать определенное количество воды из реки (то есть можно в процессе переливания любое количество воды вылить в реку и любое количество воды набрать из реки).

Задача 1. Степашка с Филей приготовили в кастрюле 8 л морса. С помощью трехлитровой и пятилитровой банок они разлили весь морс поровну. Как они смогли это сделать?

Решение:

Каждый шаг переливания фиксируем в таблице 1:

Таблица 1

1

шаг

2 шаг

3 шаг

4 шаг

5 шаг

6 шаг

7 шаг

Кастрюля 8 л

8

3

3

6

6

1

1

4

Банка 5 л

-

5

2

2

-

5

4

4

Банка 3 л

-

-

3

-

2

2

3

-

После каждого переливания надо следить за тем, чтобы не возвращаться в прежнюю ситуацию. Скажем, если бы на четвертом шаге Степашка с Филей перелили 3 л морса из кастрюли в пятилитровую банку, то они вернулись бы в ситуацию, которая уже была после первого шага: в кастрюле осталось бы 3 л воды, пятилитровая банка была бы полной, а трехлитровая пустой. Поэтому на четвертом шаге надо перелить 2 л морса из пятилитровой банки в трехлитровую.

Задача 2. Как набрать из реки б л воды, если имеется 2 ведра: одно емкостью 4 л, а другое - 9 л?

Решение:

Решение оформляется в виде таблицы 2:

Таблица 2

1

шаг

2 шаг

3 шаг

4 шаг

5 шаг

6 шаг

7 шаг

8 шаг

Ведро 4 л

0

4

0

4

0

1

1

4

Ведро 9 л

9

5

5

1

1

0

9

6

Река

4

4

8

8

8

8

Сумма трех чисел одна и та же

Задача 1. В ряду из 7 чисел сумма любых трех соседних чисел равна 15. Первое число равно 7. Чему равно последнее число?

Решение:

Сумма первых трех чисел равна 15, первое число равно 7. следовательно, сумма второго и третьего чисел равна 8.

Сумма второго, третьего и четвертого чисел ряда равна 15, сумма второго и третьего чисел ряда равна 8, следовательно, четвертое число равно 7.

Сумма четвертого, пятого и шестого чисел ряда равна 15, четвертое число равно 7, следовательно, сумма пятого и шестого чисел равна 8.

И наконец, сумма пятого, шестого и седьмого чисел ряда равна 15, сумма пятого и шестого чисел ряда равна 8, следовательно, седьмое (последнее) число ряда равно 7 .

Задача 2. Вставь в квадратики такие числа, чтобы сумма любых трех, взятых подряд, чисел равнялась 20 .

Решение:

В ряду чисел первое число равно 3, а сумма любых трех, взятых подряд, чисел равна 20. Рассуждая тек же, как и при решении задачи 1, получим, что четвертое число равно 3 и седьмое число равно 3.

Сумма шестого, седьмого и восьмого чисел равна 20, восьмое число равно 9, седьмое число равно 3, следовательно, шестое число равно 20 - 9 - 3 = 8.

Сумма пятого, шестого и седьмого чисел равна 20, шестое число равно 8, седьмое число равно 3, следовательно, пятое число равно 20 - 8-3 = 9 Продолжая рассуждать таким: же способом, получим, что третье число ряда равно 8, а второе число ряда равно 9 .

Задача 3. В трех вазах стоят 27 тюльпанов. Когда из первой вазы переставили 5 тюльпанов во вторую, а из второй в третью - 3 тюльпана, то во всех вазах цветов стало поровну. Сколько тюльпанов было первоначально в каждой вазе?

Решение:

Количество всех тюльпанов не менялось в результате их перекладывания из одной вазы в другую, поэтому после всех перекладываний в каждой вазе стало 27:3 = 9 цветков. Следовательно, в третьей вазе первоначально было

9-3 = 6 тюльпанов, во второй 9 + 3 - 5 = = 7 тюльпанов, а в первой 9 + 5 = 14 тюльпанов.

Задача 4. Трем Толстякам принесли 30 пирожных, поровну каждому. Первый Толстяк съел несколько пирожных, второй съел столько, сколько пирожных осталось у первого, а третий съел столько пирожных, сколько съели первый и второй вместе. Сколько всего пирожных осталось у Трех Толстяков?

Решение:

Трем Толстякам принесли 30 пирожных, поровну каждому. Следовательно, каждому Толстяку досталось 30 : 3 = 10 пирожных.

Первый Толстяк съел несколько пирожных, а второй съел столько, сколько пирожных осталось у первого. Следовательно, количество пирожных, которое съели первый и второй Толстяки вместе, равно количеству пирожных, которое досталось первому Толстяку, то есть 10 пирожных.

Третий Толстяк съел столько пирожных, сколько съели первый и второй вместе. Следовательно, третий Толстяк съел тоже 10 пирожных.

Таким образом, Три Толстяка съели всего 10 + 10 = 20 пирожных, и у них осталось 30 - 20 = 10 пирожных.

Задача 5. Каждый из трех мальчиков имеет некоторое количество яблок. Первый мальчик дает двум другим столько яблок, сколько яблок имеет каждый из них. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. В свою очередь, и третий мальчик дает каждому из двух других столько яблок, сколько яблок есть у каждого в этот момент. После этого у каждого мальчика оказалось 8 яблок. Сколько яблок было в начале у каждого мальчика?

Решение:

Задачу будем решать с конца. У каждого мальчика оказалось 8 яблок после того, как третий мальчик дал первому и второму столько яблок, сколько у каждого из них было. Следовательно, у первого и второго мальчиков к этому моменту было по 4 яблока, и по 4 яблока они получили от третьего. Третий мальчик к этому моменту имел 8 + 4 + 4 = 16 яблок (3 шаг в таблице 1).

Когда второй мальчик дал первому и третьему мальчику столько яблок, сколько у каждого из них было, то у первого мальчика оказалось 4 яблока, а у третьего 16 яблок. Следовательно, они получили от второго мальчика 2 яблока и 8 яблок соответственно. У второго мальчика осталось 4 яблока, значит, до этого момента у него было 4 + 2 + 8 = 14 яблок (2 шаг, таблица 1).

Итак, после того как первый мальчик дал второму и третьему мальчику столько яблок, сколько у каждого из них было, у второго мальчика оказалось 14 яблок, а у третьего 8 яблок.

Следовательно, они получили от первого мальчика 7 яблок и 4 яблока соответственно. У первого мальчика осталось 2 яблока, значит, до этого момента у него было 2 + 7 + 4 = 13 яблок (1 шаг, таблица 1).

Таким образом, вначале у первого мальчика было 13 яблок, у второго 7 яблок, а у третьего 4 яблока.

Комбинаторика

Задача 1. Сколько существует двузначных записи, в записи которых все цифры нечетные?

Решение:

В разряде десятков может стоять любая из пяти нечетных цифр, и для каждой цифры десятков в разряде единиц может стоять тоже любая из пяти нечетных цифр. Таким образом, всего получается 5•5 = 25 чисел.

Задача 2. Сколько существует двузначных чисел, которые записываются различными нечетными цифрами?

Решение:

В разряде десятков может стоять любая из пяти нечетных цифр, и для каждой цифры десятков в разряде единиц может стоять любая из оставшихся четырех нечетных цифр. Всего получается 5 • 4 = 20 чисел.

Можно было сосчитать количество двузначных чисел, которые записываются различными нечетными цифрами, по-другому. Из количества всех двузначных чисел, в записи которых все цифры нечетные (их, как мы уже знаем, 25) вычесть количество двузначных чисел, записанных одинаковыми нечетными цифрами (их 5 - столько, сколько нечетных чисел). Получится тот же результат: 25 - 5 = 20.

Задача 3. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых все цифры четные?

Решение:

В разряде сотен может стоять любая четная цифра, кроме 0, и для каждой из четырех цифр сотен в разряде десятков может стоять любая из пяти четных цифр, получается 4 • 5 = 20 вариантов заполнения четными цифрами разрядов сотен и десятков трехзначного числа. Для каждого такого варианта в разряде единиц может стоять любая из пяти четных цифр. Таким образом, всего получается 4 • 5 • 5 = 100 чисел.

Задача 4. Сколько существует трехзначных чисел, которые записываются различными четными цифрами?

Решение:

В разряде сотен может стоять любая четная цифра, кроме 0, и для каждой из четырех цифр сотен в разряде десятков может стоять любая из оставшихся четырех четных цифр (включая 0). Получается 4 • 4 = 16 вариантов заполнения различными четными цифрами разрядов сотен и десятков. Для каждого такого варианта в разряде единиц может стоять любая из трех оставшихся четных цифр.

Всего получается 4 • 4 • 3 = 48 чисел.

Задача 5. Сколько существует трехзначных чисел, в записи каждого из которых присутствуют цифра 1 и 2 и какая-то цифра, отличная от них?

Решение:

Будем выполнять задание по такому плану:

1) сосчитаем количество трехзначных чисел, в разряде сотен которых стоит цифра, отличная от 0, 1 и 2, а в разряде десятков и единиц стоят цифры 1 и 2 или 2 и 1;

2) сосчитаем количество трехзначных чисел, в разряде десятков которых стоит цифра, отличная от 1 и 2, а в разрядах сотен и единиц стоят цифры 1 и 2 или 2 и 1;

3) точно такое же (как в пункте 2) будет количество трехзначных чисел, в разряде единиц которых стоит цифра, отличная от 1 и 2, а в разрядах сотен и десятков стоят цифры 1 и 2 или 2 и 1;

4) найдем сумму этих трех чисел - искомое количество трехзначных чисел.

Переходим к осуществлению нашего плана.

1) В разряде сотен трехзначного числа может стоять любая цифра, отличная от 0, 1 и 2, и для каждой цифры сотен в разрядах десятков и единиц могут стоять цифры 1 и 2 или 2 и 1. Получается 7 • 2 = 14 чисел.

2) В разряде десятков трехзначного числа может стоять любая цифра, отличная от 1 и 2 и для каждой из цифры десятков, в разрядах сотен и единиц могут стоять цифры 1 и 2 или 2 и 1. Получается 8 • 2 = 16 чисел.

3) Столько же трехзначных чисел получается, когда в разряде единиц стоит любая цифра, отличная от

1 и 2, а в разрядах сотен и десятков стоят цифры 1 и

2 или 2 и 1.

4) Складывая числа, полученные в пунктах 1)-3), найдем, что всего существует 14 + 16 + 16 = 46 трехзначных чисел, в записи каждого из которых присутствуют цифры 1 и 2 и какая-то цифра, отличная от них.

Задача 6. В 4 «Б» учится 25 детей. Сколькими способами можно назначить двух дежурных по классу?

Решение:

Одного дежурного можно выбрать 25 способами, второго к нему в пару можно выбрать любого из оставшихся 24 учеников. Получается 25 • 24 = 600 способов. Но при этом каждая пара дежурных была посчитана 2 раза: например, у Волкова был в паре Лисицын, а у Лисицына был в паре Волков. Следовательно, на самом деле, способов составить дежурные пары в 2 раза меньше, то есть 300 способов.

Задача 7. В понедельник у 4 «Б» на пяти уроках пять различных предметов. Сколькими способами можно для 4 «Б» составить расписание на понедельник?

Решение: На первом уроке может быть любой из пяти предметов, и каждый раз на втором уроке может изучаться любой из четырех оставшихся предметов. Следовательно, расписание на первые 2 урока может быть составлено

5 • 4 = 20 способами, и для каждого такого способа на третьем уроке может быть любой из трех оставшихся предметов. Следовательно, расписание на первые три урока может быть составлено 5 • 4 • 3 = 60 способами, и для каждого такого способа на четвертом уроке может быть любой из двух оставшихся предметов, то есть расписание на первые 4 урока может быть составлено 5 • 4 • 3 • 2 - 120 способами.

На пятом уроке будет изучаться оставшийся пятый предмет.

Таким образом, расписание на понедельник для 4 «Б» можно составить 120 способами.

3. Решение ребусов.

1. Здесь зашифровано стихотворение. Путём перестановки букв в каждом слове и изменения порядка слов в строке расшифруй его:

КООРГМ АНАШ ЧПЕТАЛ ЯТНА

РЛИУНАО ЧКЯИМ УКЧРЕ В

ЕН ШЕИТ НАЧТЕАК ЧАЬПЛ

ТНТУОЕ ЕН В ЧРЕЕК ЧМЯ.

Всё не так сложно, как кажется на первый взгляд. Стишок на самом деле знаком и взрослым и детям. Убедитесь сами:

НАША ТАНЯ ГРОМКО ПЛАЧЕТ

УРОНИЛА В РЕЧКУ МЯЧИК

ТИШЕ ТАНЕЧКА НЕ ПЛАЧЬ

НЕ УТОНЕТ В РЕЧКЕ МЯЧ.

2. Мишу спросили: «Три да три да три - что будет?» Он ответил: «Дыра». Это записали так:

ТРИ + ТРИ + ТРИ = ДЫРА.

Какие цифры зашифрованы в этой записи, если одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы - разные цифры, и, если известно, что:

(Ы + Ы) : Ы = Ы?

Сразу предположила, что Ы = 2

(2 + 2) : 2 = 2

Стала размышлять дальше и методом подбора определила, что Р = 0.

Соответственно, числовое выражение может быть только одно:

403 + 403 + 403 = 1209

3. Арифметические ребусы:

а) ОХОХО + АХАХА = ОХОХОХ

Решение: методом подбора заменили буквы цифрами: О = 1, Х = 0, А = 9. Получили: 10101+90909=101010.

б) АВ х А = ССС

Решение: и снова мой любимый метод подбора 37 х 3 = 111.

4. Игры со словами. Палиндромы.

Палиндромы (перевёртыши) - это слова и предложения, которые читаются одинаково слева направо и справа налево.

Например:

НАГАН

А РОЗА УПАЛА НА ЛАПУ АЗОРА

Я НЕ МИЛ И НЕ ЖЕНИЛИ МЕНЯ

АРГЕНТИНА МАНИТ НЕГРА

Среди слов, приведённых ниже, найди палиндромы, которые имеют оси симметрии:

ПОП, ДОВОД, ДОХОД, ПОТОП, ТОПОТ, ЗАКАЗ, КАЗАК.

Придумай свои палиндромы.

Чтобы узнать, имеют ли оси симметрии указанные выше слова, необходимо знать, что:

Буквы А, Д, Ж, Л, М, Н, О, П, Т, Ф, Х, Ш симметричны вертикально.

Буквы В, Е, Ж, З, К, Н, О, С, Ф, Х, Э, Ю симметричны горизонтально.

Существуют буквы, имеющие одновременно и вертикальную, и горизонтальную симметрию: Ж, Н, О, Ф, Х.

К тому же, если изобразить букву О в виде эллипса, то осей симметрии будет два, а, если в виде круга, то - бесконечно.

Мы пробовали поднести лист с написанными словами: «поп, довод, доход, потоп, топот, заказ, казак» к зеркалу, чтобы увидеть оси симметрии.

Для сведения: асимметричные буквы отражаются не так, как мы привыкли их видеть. В них нельзя провести ось симметрии: Б, Г, И, Й, Р, У, Ц, Ч, Щ, Я.

Значит, слов, имеющих вертикальную ось симметрии - 4: поп, доход, потоп, топот.

Наши палиндромы я писАть не стану, вспомните или придумайте свои, это просто.

5. Спектакль закончился в 10 ч 50 мин вечера. Когда он начался, если продолжался 3 ч 20 мин?

Ответ лежит перед глазами, стоит лишь внимательнее взглянуть на циферблат часов:

10.50 - 3.20 = 7.30

Спектакль начался в 7 ч 30 мин вечера или в 19 ч 30 мин.

6. Одно яйцо варится 4 минуты. За какое наименьшее время можно сварить 6 яиц?

Очевидно, автор учебника хотела бы видеть развёрнутый ответ. Мы не поленились его написать.

Поскольку все 6 яиц можно сварить в одной посудине, значит, вариться они будут те же 4 минуты, что и одно яйцо. А если посудина слишком мала и вмещает лишь одно яйцо, значит, варить нам придётся 6 яиц поочерёдно, то есть 6 яиц х 4 мин. = 24 минуты.

7. Из спичек сложена фигура, показанная на рисунке. Требуется убрать 3 спички и переложить 1 спичку так, чтобы осталось 5 равных треугольников. Как это сделать?

Ответ на ФОТО:

</ 8. Можно ли, имея лишь два сосуда, объём которых 7 л и 5 л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?

Ответ: можно. Нужно полностью наполнить водой сосуд ёмкостью 7 л. Затем перелить воду в 5-литровый сосуд. В 7-литровом сосуде остаётся 2 литра. Полностью вылив воду из 5-литрового сосуда, заполняем его двумя литрами, оставшимися в 7-литровом. Сосуд большей ёмкостью вновь заполняем полностью водой. Переливаем воду в 5-литровый сосуд. В 7-литровом сосуде остаётся ровно 4 л. Что и требовалось получить.

4. Итоги урока

5. Домашнее задание.

Придумать арифметический ребус.

20