Урок – исследование в 5 классе по теме «Прямая. Отрезок. Точка»

Урок - исследование в 5 классе по теме «Прямая. Отрезок. Точка.»

Цели урока:

1. Проверка теоретических знаний по данной теме.

2. Развитие активной творческой деятельности и исследовательских навыков.

3. Воспитание любознательности, стремления к исследовательской деятельности.

Наглядность: высказывание о математике, портреты великих математиков.

Ход урока.

1. Актуализация знаний. Слово учителю:

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Д.Пойа.

Доказательство - это рассуждение, которое убеждает. Ю.А.Шиханович.

- Ребята, мы сегодня проведем не совсем обычный урок, а урок - исследование.

Исследовать мы будем точки на отрезках. В ходе урока вы должны научиться навыкам логического мышления, овладеть навыками решения таких задач,

то есть научиться хорошо решать похожие задачи.

Рассмотрим выше сказанное на примере решения следующей задачи на существование и построение конфигураций.

Задача. Расположите 10 точек на 5 отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки (отрезки не принадлежат одной прямой).

( Дети, никогда ранее не встречавшиеся с подобными задачами, не знают, с чего начать решение, и задача учителя - указать, в каком направлении следует им работать.) Учителю необходимо задать такие вопросы, чтобы все учащиеся вынуждены были принимать участие в поисках идеи решения.

Вопрос: «Если на каждом отрезке расположить по 4 точки, то на 5 отрезках должно быть 20 точек (4 • 5 = 20). Нам же, согласно условию задачи, требуется расположить 10 точек. Куда девать «лишние» 10 точек?»

Наиболее сообразительные ученики догадаются, что 10 точек должны быть точками пересечения данных отрезков. Чтобы идею поиска решения поняли все учащиеся, целесообразно вместе с ними провести небольшое исследование: предложить им серию вспомогательных задач. Еще лучше побудить учащихся к тому, чтобы вспомогательные задачи они подобрали сами, а затем обобщить идею решения.

Задача №1. Какое число точек можно расположить на двух отрезках, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки (отрезки не лежат на одной прямой)?

Найти правильное решение сможет каждый учащийся (8 точек, если отрезки не пересекаются, и 7 точек, если отрезки пересекаются). На доске обязательно делается рисунок. К доске вызывается тот, кто первый догадался и правильно сделал рисунок у себя в тетради.

Задача №2. Какое число точек можно расположить на трех отрезках, если на каждом отрезке должно быть по 4 точки (отрезки не лежат на одной прямой)?

Возможны несколько случаев:

1) Отрезки не пересекаются. Тогда на трех отрезках можно расположить 12 точек (4•3=12). Ответ проговаривается вслух, а затем рисунок делается на доске. (Аналогично и в следующих случаях)

2) Отрезки имеют одну точку пересечения, тогда возможны варианты:

а) пересекаются только два отрезка, можно расположить 11 точек;

б) все три отрезка пересекаются в одной точке, можно расположить 10 точек.

3)Отрезки имеют две точки пересечения. В этом случае количество точек, удовлетворяющих условию задачи, 10.

4) Отрезки имеют три точки пересечения. В этом случае имеем 9 точек, удовлетворяющих условию задачи.

Учащиеся, рассмотрев все возможные случаи (рисунки остаются на доске), должны заметить следующую закономерность: чтобы уменьшить количество точек, принадлежащих всем отрезкам, необходимо или увеличить число точек пересечения отрезков, или увеличить число отрезков, пересекающихся в одной точке. Минимальное число точек, принадлежащих одновременно трем отрезкам - 9, получаем в том случае, когда отрезки имеют три точки пересечения.

Тем учащимся, у которых в результате решения задачи появился вкус к исследовательской работе (для учащихся 5 класса приведенное выше решение - действительно исследовательская работа), учитель может предложить более сложную задачу (еще лучше, если такую задачу предложат сами учащиеся).

Задача № 3. Какое число точек можно расположить на четырех отрезках, если на каждом отрезке должно быть по 4 точки (отрезки не лежат на одной прямой)?

В результате решения задач 1 и 2 учащиеся устанавливают закономерность: чтобы число точек, удовлетворяющих условию задачи (на каждом отрезке - 4 точки), было наименьшим, необходимо, чтобы число точек пересечения отрезков было наибольшим.

Теперь, после проведения небольшого исследования, учащиеся должны понять не только идею решения, но и как возникла сама задача. В результате такой систематической работы учащиеся сами смогут составить или хотя бы понять, как можно составить ту или иную задачу. Конструирование задач - один из верных способов научиться решать задачи.

Вернемся теперь к решению исходной задачи. Подсчет показывает, что отрезки должны иметь 10 точек пересечения (4•5-10=10). Следовательно, задача свелась к следующей: «Расположить 5 отрезков так, чтобы они имели 10 точек пересечения». Небольшой опыт, приобретенный учащимися в решении вспомогательных задач, поможет им легко найти решение. Ответом к данной задачи служит пятиконечная звезда.

В курсе геометрии такого вида навыки будут востребованы. Поскольку, формулировки задач на построение не содержат указания на то, что рассматриваемая конфигурация существует, поэтому необходимо исследование.

Домашнее задание: решить задачу №3.