Урок по алгебре и началам анализа Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений

Урок по алгебре и началам анализа

на тему "Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений»

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

Обучающая:

повторить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний;

научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний;

решить простейшие комбинаторные задачи с помощью формул для нахождения числа размещений, перестановок, сочетаний.

Воспитывающая:

воспитывать аккуратность выполнения записей в тетради и на доске;

воспитывать умение работать самостоятельно.

Развивающая:

способствовать развитию внимания.

Оборудование: карандаш, линейка, тетрадь, дидактический материал (карточки-задания).

Методы обучения: словесно-информационный (рассказ), словесно-репродуктивный (опрос), практически-репродуктивный (выполнение заданий), наглядно-иллюстративный (карточки, учебник, раздаточный материал).

Формы обучения: коллективная, индивидуальная.

Этапы урока:

1. Организационно-мотивационный (сообщение темы урока, организация обстановки способствующей усвоению материала) - 2 мин

2. Проверка домашнего задания (проверка тетрадей) - 3 мин

3. Актуализация знаний (актуализация опорных знаний учащихся) - 5мин

4. Обобщение знаний (повторить определения размещений, перестановок, сочетаний и формулы для их нахождения) - 15 мин

5. Закрепление и проверка усвоения материал решить простейшие комбинаторные задачи с помощью формул для нахождения числа размещений, перестановок, сочетаний. - 10 мин

6. Домашняя работа - 3 мин

7. Итог урока - 2 мин

I этап: Организационно-мотивационный

Сообщение темы урока, организация обстановки способствующей усвоению материала.

В практике часто встречаются задачи, при решении которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называется комбинаторикой.

Рассмотрим такие задачи:

1) Перестановки

Задача №1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

В задаче нам нужно составить комбинации из трех цифр и подсчитать их число. В процессе решения этой задачи постараемся выяснить структуру полученных комбинаций (чем одна комбинация отличается от другой), способ рассуждений и правило подсчета комбинаций.

135, 153, 315, 351, 513, 531.

При решении этой задачи мы составили 6 комбинаций из трех цифр. Обратим внимание, что каждая из полученных комбинаций отличается друг от друга только порядком расположения элементов. Такие комбинации называются перестановками.

Определение. Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения.

Число перестановок из n элементов обозначается . Для любого натурального числа n справедлива формула

Задача №2. Сколькими способами можно поставить на полке рядом 5 разных книг?

Решение:

Задача №3. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлены 6 приборов?

Решение:

2) Размещения

Задача №4. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

На первом месте в комбинации из двух может стоять любая из цифр 1,3,5. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр двумя способами. Перечислим все комбинации: 13; 15; 31; 35; 51; 53.

Обратим внимание, что каждая из полученных комбинаций отличается друг от друга самими элементами или порядком их расположения. Такие комбинации называются размещениями.

Определение. Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений из n элементов по k обозначают и вычисляют по формуле:

Задача №5. Учащиеся 5 класса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 5 различных предметов?

Решение: Любое расписание на один день, составленное из 5 различных предметов, отличается от другого либо предметами, либо порядком следования. Значит, речь идет о размещениях из10 по 5:.

3) Сочетания

Задача №6. Пусть имеются цифры 1,3,5. Из них нужно составить комбинации по 2 элемента, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Решение 13; 15; 35.

Алгоритм: сначала отбрасываем последнюю цифру в исходной записи (5), потом вторую в исходной записи (3), потом третью (1). Каждая из этих комбинаций отличается от любой другой, хотя бы одним входящим в нее элементом. Нет ни одной комбинации с одинаковым составом элементов. Такие комбинации называются сочетаниями.

Определение. Сочетаниями из данных n элементов по k называют любую группу из k этих элементов.

Понятие сочетания не связано с расположением (порядком) элементов.

Число сочетаний из n элементов по k обозначают и вычисляют по формуле:

Задача №7. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 2 карты?

Решение:

Рассмотрим различные комбинаторные задачи.

Задача №8. Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3,5,7,9.Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр один раз?(12)

Типичные задачи, в которых обычно путаются учащиесяСочетания

Размещения

1. Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек?

{Вася, Петя} = {Петя, Вася} - одно и тоже.

Значит, порядок неважен, значит это подмножество по два элемента из 5, значит это сочетание из пяти по два.

1. Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями?

{Вася, Петя} ≠ {Петя, Вася} - разные обмены.

Значит, порядок важен, значит это последовательность по два элемента из 5, значит это размещение из пяти по два.

Перестановки

1. Сколькими способами n человек могут сесть на одной скамейке?

P_n = n!

2. Сколькими способами n человек могут сесть за круглым столом?

Рассмотрим различные комбинаторные задачи.

Задача №8. Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3,5,7,9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр один раз?

Задача №9. Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет? (24)

Задача №10. Из 30 участников собрания необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? (870)

Задача №11. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если есть материал 7 разных цветов? (210)

Задача №12. Сколькими способами 4 мужчины могут расположиться на четырехместной скамейке?

Задача №13. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Задача №14. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Задача №15. В классе 7-м учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Задача №16. В магазине "Филателия" продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Задача №17. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Самостоятельная работа по вариантам1 вариант

2 вариант

3 вариант

1. Сколько различных экзаменационных комиссий по 3 человека можно составить, если на кафедре 20 преподавателей?

1. В нашем распоряжении есть 5 разноцветных флагов. Сколько различных сигналов, состоящих из 3 флагов, можно поднять на флаг штоке?

1. Сколькими способами можно выбрать 6 различных пирожных в кондитерской, где имеется 11 сортов пирожных?

2. Сколькими способами можно окрасить трехкомнатную квартиру (каждая комната окрашивается одной краской, все комнаты окрашиваются в разные цвет), если имеется 10 различных красок?

2. Имеется 7 путевок в различные дома отдыха и 7 кандидатов. Сколькими способами можно распределить эти путевки?

2. В шахматном турнире участвуют 12 человек. Каждый из участников должен сыграть с каждым из остальных по две партии. Сколько всего партий должны сыграть участники турнира?

3. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке?

3. В колоде 52 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?

3. Сколькими способами из 30 человек может выбрать собрание председателя и секретаря?

Домашняя работа

№ 1. Бригадир должен откомандировать на работу бригаду из 5 человек.

Сколько бригад по 5 человек в каждой можно организовать из 12 человек?

№ 2. Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями.

Сколько всего фотографий необходимо было для этого?

№ 3. Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?