Методические указания для студентов по теме 'Тригонометрические функции'

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Пензенской области «Пензенский многопрофильный колледж»

отделение строительства

МАТЕМАТИКА

Тригонометрические функции

Методические указания для студентов

Баннова О.В.

Пенза, 2014

Определение тригонометрических функций углов

Углы поворота на единичной окружности изображаются точками. Каждая точка в системе координат имеет абсциссу и ординату, которые приняты за косинус и синус угла α.

Определение 1. Синусом угла называется (число) ордината точки В, полученной поворотом точки А(1;0) вокруг начала координат на угол α:

.

Определение 2. Косинусом угла называется (число) абсцисса точки В, полученной поворотом точки А(1;0) вокруг начала координат на угол α:

.

Определение 3. Тангенсом угла называется число, равное отношению ординаты точки В к её абсциссе или отношению синуса угла к косинусу того же угла:

.

.

Область определения и значения элементарных тригонометрических функций - следующие интервалы:

Формулы перевода градусной меры угла в радианную и наоборот.

→ и

Значения тригонометрических функций некоторых углов.

α

0

π

0

1

0

-1

0

1

0

-1

0

1

0

1

--

-1

0

--

0

-

1

0

-1

--

0

--

Четность и нечетность тригонометрических функций, периодичность.

Чётность тригонометрических функций

sin (-α)=-sin α

tg(-α)=-tg α нечётные

ctg(-α)=-ctg α

cos (-α)=cos α -чётная

Периодичность тригонометрических функций

sin(α+2πk)=sin α

cos(α+2πk)=cos α

tg(α+πk)=tg α

ctg(α+πk)=ctg α

Примеры

Пример 1.Найти область определения функции .

Решение. так как функция не определена в этих точках. , так как в этих точках значение тангенса равно 0.

Пример 2. Доказать, что функция- чётная.

Решение., так как функции синус, тангенс и котангенс - нечётные функции, а косинус - чётная.

Пример 3. Определить знак выражения

Решение. , так как косинус в 3-й четверти - величина отрицательная; , так как косинус в 4-й четверти - величина положительная; , так как синус в 3-й четверти - величина отрицательная.

Ответ:

При изучении свойств обратных тригонометрических функций следует знать, что обратная функция существует, если прямая функция монотонна. Поэтому областями определений и соответствующих им значений обратных тригономтерических функций являются интервалы:

так как в указанных промежутках элементарные функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x монотонны. Следует также знать, что функции y=arcsin x, , y=arctg x - нечетные функции.

Для функций y=arccos x и y=arcctg x справедливо следующее свойство:

.

Напомним, что

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. →.

Пример 5. Найти область определения функции

Решение.

;

.

Значения обратных тригонометрических функций используют для нахождения наименьшего угла по заданному значению тригонометрической функции.

Пример 6. Вычислить .

Решение.

=2(

Окончательно находим.

Пример 7. Вычислить .

Решение. Воспользовавшись приведенными выше формулами, получим:

Окончательно находим:.

Для вычисления значений тригонометрических функций по значениям одной из них необходимо знать основные тригонометрические тождества:

Пример 8. Пусть . Вычислить .

Решение. Угол α принадлежит 4-й четверти.

Так как косинус в 4 четверти - величина положительная, то

Пример 9. Известно, что tgα=. Найти sinα и cosα.

Решение. Угол α∊3 четверти, поэтому косинус и синус угла α будут отрицательными величинами.

,

,

,

.

Для приведения функции произвольного угла к функции острого угла рекомендуется использовать следующий алгоритм:

1) произвольный угол преобразовать так, чтобы он принял одну из следующих форм: или , где острый угол;

2) для углов вида название функции сохранить, а для углов вида функцию поменять на кофункцию (синус заменить на косинус, тангенс на котангенс и т.д.);

3) Знак в правой части формулы ставить тот, который принадлежит исходной функции, считая угол х острым.

Пример 10. Привести к функции острого угла:

1) sin 245^o, 2) cos(-108^o), 3) tg(-500^o), 4) ctg(-205^o).

Решение. Получаем:

1) sin 245^o=sin(180^o+65^o)= - sin65^o

2) cos(-108^o)= cos108^o=cos(90^o+18^o)= - sin18^o

3) tg(-500^o)= - tg500^o= - tg(3∙180^o-40^o)=tg40^o

4) ctg(-205^o)= - ctg205^o= - ctg(180^o+25^o)=-ctg25^o.

Пример 11. Привести к функции острого угла:

1) , 2) 3) .

Решение. Получаем:

1)

.

3).

Примечание. Угол, равный 1,44 радиана принадлежит 1 четверти, так как 0 или .

Задания для самостоятельного решения.

1. Используя преобразования графиков элементарных тригонометрических функций, построить графики функций:

1.1. .

1.14.

1.2.

1.15.

1.3.

1.16.

1.4.

1.17.

1.5. .

1.18.

1.6.

1.19.

1.7.

1.20.

1.8. .

1.21.

1.9.

1.22.

1.10.

1.23.

1.11.

1.24.

1.12. .

1.25.

1.13.

2. Вычислить значения тригонометрических функций по значению одной из них:

2.1.

2.12.

2.2.

2.13.

2.3.

2.14.

2.4.

2.15.

2.5.

2.16.

2.6.

2.17.

2.7.

2.18.

2.8.

2.19.

2.9.

2.20.

2.10.

2.21.

2.11.

2.22.

2.23.

2.27.

2.24.

2.28.

2.25.

2.29.

2.26.

2.30.

3. Привести к функции острого угла:

3.1. .

3.11..

3.21.

3.2.

3.12.

3.22.

3.3..

3.13..

3.23.

3.4..

3.14..

3.24.

3.5.

3.15.

3.25.

3.6.

3.16.

3.26.

3.7.

3.17.

3.27.

3.8.

3.18.

3.28.

3.9.

3.19.

3.29.

3.10.

3.20.

3.30.

4. Вычислить:

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8. .

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19. .

4.20

4.21.

4.22.

4.23.

4.24.

4.25.

4.26.

4.27.

4.28.

4.29.

4.30.

5. Найти область определения:

5.1.

5.7.

5.2.

5.8.

5.3.

5.9.

5.4.

5.10.

5.5.

5.11.

5.6.

5.12.

5.13.

5.22.

5.14 .

5.23.

5.15 .

5.24.

5.16.

5.25.

5.17.

5.26.

5.18.

5.27.

5.19.

5.28.

5.20.

5.29.

5.21

5.30.