Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме 'Геометрия масс'

План урока.

Название: « Геометрия масс»

Тема : « Геометрия»(элективный курс)

Место урока: 10класс , «Геометрия масс» , М.Балк, В.Болтянский

Цели в блоках достижения:

личностных результатов:

1 самопознание;

2.смыслообразование;

3.самооценка;

4.формирование целостного мировоззрения;

метапредметных результатов:

5.формирование обобщённого представления о межпредметном понятии «Центр масс»;

6. применение сформированного понятия в окружающей действительности;

7.формирование регулятивных УУД (оценка выполнения учебной задачи, формирование коммуникативной компетентности);

8.формирование познавательных УУД (умение выделять свойства, подведение под понятие, моделирование, классификация, обобщение, умение анализировать графические изображения);

предметных результатов:

9.развитие пространственного мышления;

10. формирование умения- распознавать опорные задачи;

- решать планиметрические и стереометрические задачи с привлечением свойства центра масс.

1Актуализация знаний полученных в курсе планиметрии.

Ученики работают в индивидуальных листах контроля.

Вопрос 1. На отрезке MN отметить точку Р так, что МР:РN=4:5 и точку К так, что МК:МN=2:9

Вопрос2. Что такое чевиана?

Задача 1.

В равнобедренном треугольнике АВС, с основанием АВ, чевиана АD делит боковую сторону в отношении 2:7. Треугольник разбивается на два треугольника. Найти площадь исходного треугольника, если площадь треугольника ADC равна 4 кв. ед.

Задача2. Эта чевиана является биссектрисой. Найти стороны треугольника, если периметр треугольника 22 см.

Самопроверка

Вопрос 1.Точка Р разбивает отрезок MN на два отрезка: в одном - четыре части, в другом - пять частей.

Отрезок МК это часть всего отрезка MN.

Вопрос 2. Чевиана это отрезок соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Задача 1. Опорная задача: если два треугольника имеют равные высоты, то их площади относятся, как основания.

Ваш ответ? (18)

Задача решена неправильно. У этой задачи два решения. (В качестве подсказки на индивидуальном листе два треугольника). CD:DB=2:7 либо CD:DB=7:2.

Второе решение .

Задача 2.

А вот вторая задача имеет одно решение.

В случае, когда CD:DB=2:7 получим набор отрезков длинами 4,4,17. Треугольник не существует. В случае, когда CD:DB=7:2 получим треугольник со сторонами

2

Основоположником этого метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс. В своем послании к Эратосфену «О механических теоремах» Архимед писал: «…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем».

(Слайд с портретами Архимеда и Эратосфена)

3

Показ фрагмента фильма «Геометрия масс».

Что это за метод? Это геометрия масс. Вы знакомились с этим методом в курсе планиметрии. Сегодня на уроке мы обобщим наши знания по этому вопросу и научимся применять геометрию масс при решении стереометрических задач. Запишите тему урока.

1) Что в основе метода?

Правило рычага Архимеда.

(Работаем со скриншотом фильма)

Центр масс данной системы двух точек А и В будет такая точка С отрезка АВ, что АС:СВ=m₂:m₁

2) Теорема о перегруппировке масс

Если нам дана система из нескольких материальных точек, то вместо любой пары (тройки,..) точек мы можем рассмотреть их центр масс, в котором находится суммарная масса исходных двух (трёх,…) точек.

3) Наличие радиус векторов на скриншотах говорит о том, что опорные утверждения доказываются с помощью векторов, а любая задача на центр масс имеет векторное решение.

4) В ходе решения мы ищем одну прямую, на которой лежит центр масс заданной системы материальных точек, а затем другую прямую, на которой лежит центр масс этой же системы материальных точек. Точка пересечения прямых и есть искомый центр масс.

При решении стереометрических задач центр масс можно определить как точку пересечения прямой и плоскости

4

1) Опыты с цилиндром и конусом с одинаковыми основаниями и высотами.

Опытным путём (как в фильме) определяют центр масс конуса и цилиндра (с одинаковыми основаниями и высотами), подвешенных на противоположных концах палки. Вывод: плечо до конуса примерно в три раза длиннее, чем плечо до цилиндра, следовательно, по правилу рычага цилиндр весит в три раза больше. Поскольку тела одной плотности, то объём конуса составляет одну треть объёма цилиндра с таким же основанием и высотой.

2) Демонстрация игрушки «Птичка»

Кому-то это кажется чудом. Но секрет птицы прост - она изготовлена так, что ее центр масс приходится точно на кончик клюва.

А где находится центр масс системы трёх единичных материальных точек? (Это точка пересечения медиан. Центр масс делит каждую медиану в отношении 2:1 считая от вершины.)

3) Где находится центр масс параллелограмма?

Лежит в точке пересечения его диагоналей.

4Z1D 1С

5

1А 1

Как разместить массы, чтобы центр масс находился в точке D с суммарной массой 1?

2Z1D 1С

5

1А -1В

5

В планиметрии мы выделяли две опорные задачи.

Первая опорная задача (в треугольнике проведены две чевианы).

На стороне ВС треугольника АВС взята точка D , такая что ВD:DС=5:1. В каком отношении медиана СE делит отрезок АD?

Распределим массы так, чтобы центр масс системы трёх материальных точек А,В и С находился в точке К пересечения чевиан. Заменим материальные точки 1А и 1В их центром масс 2Е. Центр масс точек А,В,С лежит на прямой СЕ. Заменим материальные точки 1В и 5С их центром масс 6D. Центр масс точек А,В,С лежит на прямой AD. Прямые пересекаются в точке К. Это центр масс материальных точек А, В, С.

1А+1В+5С=7К

1А+6D=7K

5C+2E=7K

Пусть площадь треугольника СКD равна 1. Найти площадь треугольника АВС. Найти площадь четырёхугольника ЕКDB.

S_CKD=1 S_CKA=6 S_ADC=7 S_ABD=35 S_ABC=35+7=42 S_ACE=21 S_AKE=21-6=15

S_DKEB=35-15=20

Дан прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Через центр вписанной окружности проведена прямая параллельная стороне треугольника. Найти длину отрезка секущей внутри треугольника.

Вторая опорная задача (в треугольнике пересекаются чевиана и отрезок секущей).

В треугольнике ABC точка F делит основание ВС в отношении 3:1, считая от вершины В. Точки М и Р отсекают от боковых сторон АВ и АС по одной шестой, считая соответственно от вершины А и от вершины С. В каком отношении делится каждый из отрезков MP и AF точкой их пересечения?

Решение. Загрузим точки В и С такими массами, чтобы их .центром оказалась точка F: очевидно, достаточно (в силу правила рычага) поместить в В массу 1 (т. е. рассмотреть материальную точку 1В), а в С - массу 3. Далее, имея уже м. т. 1 В, подберем для точки А такую массу х, чтобы точка М оказалась центром масс двух м. т. 1В и хА. По правилу рычага имеем 1· ВМ = х ·МА , откуда х = ВМ : МА = 5. Наконец, имея м. т. 3С, подберем для точки А еще другую массу у так, чтобы точка Р оказалась центром масс двух м. т. 3 С и у А. По правилу рычага имеем 3· CP = у· РА , откуда у = 0,6. У нас возникла новая ситуация: кроме м. т. 1В и 3С, мы имеем в точке А две различные массы 5 и 0,6. Рассмотрим систему из всех четырех м. т. IB, 5А, 3С и 0,6С. Ее центр масс обозначим через Z. Перенесем массы м. т. 1В и 5А в их центр масс М, а массы м. т. 3С и 0,6А - в их центр масс Р. Тогда Z окажется центром масс лишь двух м. т. 6М и 3,6Р. Мы могли бы и иначе сгруппировать те же четыре м. т.: перенести массы м. т. 1В и ЗС в их центр масс F, а вместо 5А и 0,6А рассмотреть одну м. т. 5,6А. Тогда Z окажется центром масс двух м. т. 4F и 5,6А. Следовательно, Z - точка пересечения отрезков MP и AF. Так как Z - центр масс м. т. 5,6А и 4F, то АZ : ZF =4:5,6= 5: 7. Аналогично убедимся, что MZ : ZP = 3: 5.

Третья опорная задача

От боковых ребер PМ, РN, PK правильной треугольной пирамиды РMNK плоскость отсекает соответственно считая от вершины Р. Какую часть отсекает секущая плоскость от высоты РE пирамиды?

Решение можно свести к применению второй опорной задачи.

1) в треугольнике NPK медиана PD пересекается с отрезком секущей ВС в точке F;

2) ) в треугольнике MDP чевиана PE пересекается с отрезком секущей АF в точке Z ;

Четвёртая опорная задача

Основанием пирамиды FABCD служит параллелограмм ABCD. Плоскость пересекает боковые ребра AF, BF, CF, DF соответственно в точках А₁,В₁,С₁,D₁ так, что АА₁:А₁F=2;

BB₁:B₁F=5; CC₁:C₁F=10 В каком отношении секущая плоскость делит четвёртое ребро? высоту?

Итоги

Если у вас есть трудная задача, отдайте ее ленивому. Он найдет более легкий способ выполнить ее.
Законы Мерфи