Учителю
Разработка системы уроков повторения по алгебре для 10-11 классов по теме: «Решение неравенств алгебраическим методом»

Разработка системы уроков повторения по алгебре для 10-11 классов по теме: «Решение неравенств алгебраическим методом»

Автор публикации: Большедворская С.Э.

Дата публикации: 10.06.2013

Краткое описание: Содержание: 1. Примерное планирование учебного времени. 2. План-конспект урока по теме «Рациональные и дробные рациональные неравенства». 3. Проверочная работа (в одном варианте). Примерное планирование учебного времени. Всего 15ч."№ "Тема "Всего часов "Содержание "Форма

предварительный просмотр материала

Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ

по математике по теме

«Решение неравенств алгебраическим методом».

Содержание.

1. Примерное планирование учебного времени.

2. План-конспект урока по теме «Рациональные и дробные рациональные неравенства».

3. Проверочная работа (в одном варианте).

1. Примерное планирование учебного времени. Всего 15ч.

№

Тема

Всего часов

Содержание

Форма контроля

Равносильные неравенства

Равносильные преобразования неравенств, тождественные преобразования выражений, входящих в неравенство, посторонние решения, потеря решений.

Обобщённый метод интервалов

Классический метод интервалов. Обобщённый метод интервалов. Точки чётной и нечётной кратности. Нетрадиционный алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Рациональные и дробные рациональные неравенства

Целые рациональные неравенства. Дробные рациональные неравенства. Алгоритм решения целых рациональных неравенств и дробных рациональных неравенств методом интервалов. Решение рациональных и дробных рациональных неравенств обобщённым методом интервалов.

Тест для проверки теоретических знаний

Контрольный тест.

Неравенства, содержащие иррациональные выражения.

Решение иррациональных неравенств, основанное на свойствах числовых неравенств. Схема решения неравенств обобщённым методом интервалов. Некоторые нюансы в определении знака и особенности упрощенной записи.

Тест для проверки теоретических знаний.

Неравенства, содержащие выражения под знаком модуля.

Геометрический смысл модуля. Решение неравенств разбиением ОДЗ на подмножества. Решение неравенств, содержащих модули обобщенным методом интервалов и особенности упрощённой записи.

Проверочная работа.

Показательные неравенства

Решение показательных неравенств. Метод замены. Показательно-степенные неравенства и логарифмирование обеих частей неравенства. Метод интервалов для решения показательно-степенных неравенств.

Самостоятельная работа

Взаимоконтроль.

Логарифмические неравенства

Схемы решения логарифмических неравенств и потенцирование обеих частей неравенства. Метод замены и использование метода интервалов для упрощения решений.

Самостоятельная работа.

Самоконтроль.

Смешанные неравенства

Решение смешанных неравенств обобщённым методом интервалов. Решение сложных комбинированных неравенств. Решение неравенств с параметрами методом интервалов.

Контрольный тест

Контрольная работа

2. План-конспект одного из уроков.

Рациональные и дробные рациональные неравенства

( 2 часа)

Цель. Формирование умения применять алгоритм обобщённого метода интервалов для решения рациональных и дробных рациональных неравенств.

Целым рациональным неравенством называют неравенство вида

f(x) - алгебраический многочлен.

Дробным рациональным неравенством называют неравенство вида

- алгебраические многочлены. Очевидно, что множество решений дробно-рационального неравенства не должно содержать корней многочлена

Решая целые рациональные неравенства методом интервалов, будем следовать алгоритму:

1) запишем неравенство в виде f(x) и рассмотрим функцию f(x);

2) найдём нули функции, решая уравнение f(x)=0;

3) нанесём нули функции на координатную прямую и определим знаки функции на полученных промежутках, учитывая точки чётной и нечётной кратности ;

4) запишем решение неравенства, учитывая его смысловой знак.

Решая дробные рациональные неравенства методом интервалов, будем следовать алгоритму:

1) запишем неравенство в виде и рассмотрим функцию F(x)=

2) найдём нули и точки разрыва функции, решая уравнения f(x)=0 и=0;

3) нанесём нули и точки разрыва функции на координатную прямую и определим знаки функции на полученных промежутках, учитывая точки чётной и нечётной кратности;

4) запишем решение неравенства, учитывая его смысловой знак.

При решении неравенств вида и корни числителя будем отмечать на координатной прямой «заштрихованными» точками, а корни знаменателя - «пустыми».

Пример 1. Решить неравенство

1) Рассмотрим функцию f(x)=.

2) Найдём нули функции, решая уравнение

Получим х_1,2 = 2, х_3,4,5 = - 3, х₆ = 7.

3) Корни нечётной кратности: - 3 и 7, а 2 - корень нечётной кратности.

+ - - +

-3 2 7

4) Объединив промежутки, в которых функция отрицательна, запишем ответ

Ответ: (-3;2) U(2;7).

Пример 2. Решить неравенство

1) Рассмотрим функцию f(x)=

2) Найдём нули функции, решая уравнение Получим х_1,2 = 0, х₃ = - 1.

Найдём точки разрыва, решая уравнение Получим х₄ = - 2, х₅ = 2.

- + - - +

-2 -1 0 2 х

4) Так как функция f(x)= может быть как положительной, так и равной нулю (на это указывает смысловой знак неравенства), то решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция неотрицательна и изолированная точка 0.

Ответ: (-2; 1] U (2; +) U {0}.

Тест для проверки теоретических знаний по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».

Укажите все необходимые действия(1,2)

1. Чтобы решить целое рациональное неравенство вида необходимо:

1) найти нули функции ;

2) найти точки разрыва функции ;

3) нанести нули функции на координатную прямую и определить знаки функции на полученных промежутках;

4) нанести точки разрыва функции на координатную прямую и определить знаки функции на полученных промежутках;

5) записать промежутки, на которых функция не положительна;

6) записать промежутки, на которых функция отрицательна;

7) записать промежутки, на которых функция положительна.

2. Чтобы решить дробное рациональное неравенство вида необходимо:

1) найти нули функции ;

2) найти нули функции ;

3) отметить на координатной прямой нули функции «заштрихованными» кружочками, а нули функции - «пустыми»;

4) отметить на координатной прямой нули функции «пустыми» кружочками, а нули функции - «заштрихованными»;

5) отметить на координатной прямой нули функции и нули функции «заштрихованными» кружочками;

6) записать промежутки, на которых функция положительна;

7) записать промежутки, на которых функция не отрицательна.

3 Установите соответствие:

Неравенство

1) х(х-1)(х+2)>0;

3) ;

2) 0

рисунок

решение (ответ)

Ответы

Номер задания

Вариант правильного отвена

1; 3; 5.

1; 2; 3; 7.

1 - б - и, 2 - г - к,

3 - а - л, 4 - в - ж.

Самостоятельная работа по карточкам с последующей проверкой по листам самопроверки по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».

Карточка 1.

№1 Найти целые решения неравенства

№2 Решить неравенство

Карточка 2.

№1 Решить неравенство

№2 Решить неравенство

Карточка 3.

№1 Решить неравенство

№2 Решить неравенство

Карточка 4.

№1 Решить неравенство

№2 Решить неравенство

Лист самопроверки к карточке 1.

№1 Найти целые решения неравенства

Решение:

Рассмотрим функцию:

Найдём нули:

Точки разрыва:

Так как функция не положительна, то решением данного неравенства является промежуток: .

Запишем целые решения неравенства: - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Ответ:

№2 Решить неравенство

Решение. Преобразуем неравенство следующим образом: . Числитель и знаменатель нужно разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: ,. Корни первого уравнения 2 и 3. Второе уравнение корней не имеет. Значит, числитель раскладывается на множители следующим образом: , а знаменатель на линейные множители не раскладывается. Запишем неравенство в таком виде: . Отмечаем на числовой прямой точки и и выбираем нужные промежутки.

Ответ: (2;3).

Лист самопроверки к карточке 2.

№1 Решить неравенство

Решение. Пункты 1), 2), 3) уже выполнены. Отмечаем на числовой прямой точки. При выражение отрицательно, положительны все сомножители, кроме одного: При переходе через точки знак выражения меняется (линейные сомножители в нечетной степени), а при переходе через точкузнак не меняется (особая точка).

Включаем в ответ все промежутки, на которых левая часть неравенства отрицательна.

Ответ:

№2 Решить неравенство

Решение. Числитель и знаменатель нужно разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: ,. Корни первого уравнения -1 и -6, второе уравнение имеет один корень -2. Но правильнее в данном случае говорить, что оно имеет два одинаковых корня, поэтому, данный квадратный трехчлен разлагается на два одинаковых сомножителя. В этом случае, что уравнение имеет корень чётной кратности. Получаем: - . Отмечаем на числовой прямой точки: -6, -2, -1.

Расставим знаки, учитывая, что при выражение отрицательно, а при переходе через точку -2 знак не меняется. Остается выбрать нужные промежутки.

Ответ: (-6;-2)(-2;-1).

Лист самопроверки к карточке 3.

№1 Решить неравенство

Решение. Числитель и знаменатель нужно разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: ,. Первое уравнение имеет два одинаковых корня, -1, корни второго уравнения -2 и 3.Разкладываем числитель и знаменатель на множители: ,

Получаем неравенство: . Отмечаем на числовой прямой "выколотые" точки -2 и 3 и особую точку -1.

Расставим знаки, учитывая, что при выражение положительно, а при переходе через точку -1 знак не меняется. Не забудем включить в ответ особую точку -1. Ответ:

№2 Решить неравенство

Решение. Переносим все члены неравенства в левую часть и приводим к общему знаменателю. После приведения подобных членов получаем следующее дробно-рациональное выражение:

Раскладывая числитель на множители, получим: .

Теперь отмечаем на числовой прямой точки: -2, , , , нули знаменателя, "выколотые" точки, нули числителя, так как неравенство нестрогое.

При>5 выражение положительно. Так как все сомножители первой степени, то знак меняется во всех точках.

Осталось выбрать нужные промежутки.

Ответ:

Лист самопроверки к карточке 4.

№1 Решить неравенство

Запишем неравенство в виде ,

Рассмотрим функцию:

Найдём нули функции, решив уравнение

Ответ:

№2 Решить неравенство

Решение. Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю, разложив предварительно квадратные трехчлены на сомножители: и после преобразований получим . Отметим нули числителя и знаменателя на числовой прямой: точки 0 и 4 - «заштрихованные», точки -1,-3, и 2 - "выколотые". Расставим знаки, учитывая, что на самом правом промежутке левая часть положительна, и знак меняется во всех отмеченных точках, кроме -1.