Статья «Использование Excel при решении математических задач» (учитель математики школы №38 г.Казани Васина Д.А., статья опубликованна на сайте Казанское образование в 2008 году и с журнале МО и НРТ от 2008 года «Информатизация образования: поиски и находки»)

Любому человеку в ходе практической деятельности приходится совершать операции над количественными данными, которые осуществляются в соответствии с математическими законами. Поэтому для человека, который не свяжет дальнейшую жизнь с математикой, наиболее важным является практический аспект математики. Для него это прикладная наука, близкая к технологии. Здесь наиболее важным является умение провести необходимые вычисления. Математическая теория изменяется сравнительно медленно, однако технология применения математических методов претерпела значительно более су­щественные изменения. Буквально за последние десятилетия пройден путь от расчетов в уме и на бумаге к применению счетов, арифмометров, калькуляторов и далее - к расчетам на компьютере. Поэтому в настоящее время специалист, даже хорошо знающий математику, но не умеющий применять математические методы на компьютере, не может считаться специалистом современного уровня.

Использование компьютера при проведении расчетов сдвигает акценты в математической подготовке специалиста. Если раньше основное внимание было сосредоточено на математических методах, которые предусматривали проведение расчетов вручную, то теперь, с появлением специализированных математических программ, необходимо научиться проводить требуемые вычисления на компьютере.

Для решения задач на компьютерах чаще всего применяется метод решения «в лоб», опирающийся на основное определение и использующий самый общий подход. Снижается значение частных случаев, различных свойств описываемых математических объектов, ориентированных на облегчение решений вручную.

Например, при решении вручную квадратного уравнения ax²+bx+c=0 помимо общего

решения требовалось знать решения для частых случаев: когда квадратное уравнение разлагается на множители, когда b -четное, когда а = 1, по формулам Виета. При этом было принято считать, что решение «рационально», если для него используется, подходящая частная формула. В настоящее время при применении компьютера, по-видимому, рациональным следует считать решение с использованием общих подходов, по общей формуле. В то же время традиционное преподавание классической математики все еще ориентировано на дальнейшую работу с карандашом и бумагой.

Наиболее важной отличительной особенностью предлагаемого материала должно являться рассмотрение основных разделов курса математики не в традиционном изложении, а с перспективой дальнейшего применения компьютера. Причем, в отличие от курсов, информатики, изложение материала должно вестись не «от пакетов программ и их возможностей», а «от математических задач к способам их решения на компьютере». При этом основное внимание должно быть сосредоточено на реализации способов решения математических задач, на том, как решать типовые задачи.

Компьютерный математический анализ данных предполагает некоторое математическое преобразование данных с помощью определенных программных средств. Следовательно, необходимо иметь представление как о математических методах обработки данных, так и о соответствующих программных средствах, то есть необходимо опираться на определенный программный пакет.

Существует значительное количество специализированных математических пакетов, таких как MatLab, MatbCad, Math, Mathematica, Maple и др. Все они охватывают основные разделы математики и позволяют производить подавляющее большинство необходимых. математических расчетов. Однако освоение этих пакетов самостоятельно - достаточно трудоемкая задача. В то же время в курс информатики в большинстве вузов включено изучение электронной таблицы Excel. Поэтому представляется оправданным реализовать в старших классах подход, основанный на применении математических методов именно с помощью пакета Excel. Конечно, Excel сильно уступает специализированным математическим пакетам. Тем не менее большое количество математических задач может быть решено с его помощью.

Изложение учебного материала в 10 - 11-х классах может осуществляться в следующей последовательности (из расчета 1час в неделю - факультативный или элективный курс) 1. Основные операции в Excel - 12 часов

Запуск Excel, окно Excel, открытие таблицы, создание новой рабочей книги, ввод данных, выделение блока ячеек, построение диаграмм, редактирование диаграмм, копирование, автозаполнение, автосуммирование, ввод математических формул, копирование формул, печать результатов, форматирование рамки таблицы, работа с простейшими базами данных, отмена действий, сохранение - результатов, закрытие рабочей книги, завершение работы, получение справочной информации, сообщение об ошибках

2. Построение графиков функций 4 часа

Линейная, квадратичная, кубическая, обратная пропорциональность, со знаком корня, модуля, дробно-рациональная, тригонометрическая, логарифмическая, показательная функции.

3. Построение кривых 2 порядка - 2 часа

Построение окружности, эллипса.

4. Графическое решение систем уравнений - 2 часа

5 Построение плоскости - 1 час

6. Построение поверхностей второго порядка в пространстве-3 часа

Построение эллипсоида, гиперболоида, параболоида, конуса.

7. Решение уравнений с одним неизвестным -2 часа

8. Элементы линейной алгебры - 10 часов

Операции с матрицами, решение систем линейных уравнений.

9 Элементы математического анализа - 8 часов

Производная, определенный интеграл, числовые и функциональные ряды.

10 Элементы теории вероятности 10 часов

Понятие случайного событии, вероятности события, условная вероятность, перестановка, сочетания, размещение

11. Элементы статистики - 10 часов

Понятие математической статистики, выборочный метод, выборочная функция распределения, выборочная характеристика, проверка статистических гипотез.

Итого - 64 часа.

В социально-гуманитарном классе можно осуществлять в следующей последовательности (из расчета 1час в неделю во 2 половине 10 класса и в 1 половине 11 класса - факультативный или элективный курс)

1. Основные операции в Excel - 12 часов

Запуск Excel, окно Excel, открытие таблицы, создание новой рабочей книги, ввод данных, выделение блока ячеек, построение диаграмм, редактирование диаграмм, копирование, автозаполнение, автосуммирование, ввод математических формул, копирование формул, печать результатов, форматирование рамки таблицы, работа с простейшими базами данных, отмена действий, сохранение - результатов, закрытие рабочей книги, завершение работы, получение справочной информации, сообщение об ошибках

2. Построение графиков функций 4 часа

Линейная, квадратичная, кубическая, обратная пропорциональность, со знаком корня, модуля, дробно-рациональная, тригонометрическая, логарифмическая, показательная функции.

3. Построение кривых 2 порядка - 2 часа

Построение окружности, эллипса.

4. Элементы теории вероятности 10 часов

Понятие случайного событии, вероятности события, условная вероятность, перестановка, сочетания, размещение

5. Элементы статистики - 10 часов

Понятие математической статистики, выборочный метод, выборочная функция распределения, выборочная характеристика, проверка статистических гипотез.

Итого - 64 часа.

К этому курсу имеется приложение, где подробно описаны разделы 2 - 6. Для лучшего восприятия материала, все названия клавиш, кнопок, диалоговых окон и их полей, команды меню в приложении выделены специальным стилем.

Приложение

Построение графика линейной функции.

Пример 1

Рассмотрим построение прямой в Ехсеl на примере у = 2х +1. Пусть необходимо построить отрезок прямой, лежащий в I квадранте (х € [0; 3] ) с шагом Δ = 0,25.

Решение. Задача построения прямой (как и любой диаграммы в Ехсеl) обычно разби­вается на несколько этапов. Пусть после запуска пакета открыт чистый рабочий лист.

Этап 1. Ввод данных. Прежде чем строить прямую необходимо составить таблицу данных (х и у) для значениями х, а второй соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 ее построения в рабочем окне таблицы Ехсеl. Для этого значе­ния х и у следует представить в виде таблицы, где столбцами являются соответ­ствующие показатели. Пусть в рассматриваемом примере первый столбец будет- слово Прямая.

Начнем с введения значений аргумента. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента - левая граница диапазона (0). В ячейку АЗ вводится второе значение аргумента - левая граница диапазона плюс шаг построения (0,25). Затем, выде­лив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за пра­вый нижний угол блока протягиваем до ячейки А14).

Далее вводим значения прямой. В ячейку В2 вводим ее уравнение: =2*А2 + 1, предварительно переключившись на английский язык (Аlt+Shift). Обращаем вни­мание, что уравнение прямой должно быть преобразовано к виду уравнения с угловым коэффициентом. Затем автозаполнением копируем эту формулу в диа­пазон В2:В14.

В результате должна быть получена следующая таблица (рис. 1.1-а).

Этап 2. Выбор типа диаграммы. На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм (обычно четвертая-пятая справа). В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указать тип диаграммы.

В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы слева приведен спи­сок типов диаграмм, справа дается вид вариантов подтипов. Для указания типа диаграммы необходимо вначале выбрать тип в левом списке (с помощью указате­ля мыши и щелчка левой кнопкой), а затем выбрать подтип диаграммы в правом окне (щелчком левой кнопки мыши на выбранном подтипе).

В рассматриваемом примере выберем тип - График, вид - График с маркерами (ле­вую среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в ди­алоговом окне.

Этап З. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон дан­ных и в поле Диапазон указать, интервал данных, то есть ввести ссылку на ячейки, содержащие данные, которые необходимо представить на диаграмме.

Определение диапазона (интервала) данных является самым ответственным мо­ментом построения диаграммы. Здесь необходимо указать только те данные, кото­рые должны быть изображены на диаграмме (в нашем примере - значения точек прямой). Кроме того, для введения поясняющих надписей (легенды), они также должны быть включены в диапазон (в примере - Прямая).

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных (В1), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на диаграмму данные (В14), затем отпустить левую кнопку мыши. В рабочем поле должна появиться запись: =Лист1!$В$1:$В$14. Здесь наиболее важным для нас является указание диапазона В1:В14, что подтверждает правильное введение ин­тервала данных Если с первого раза не удалось получить требуемую запись в поле Диапазон, дей­ствия необходимо повторить.

Если диалоговое окно закрывает столбцы с данными, его можно отодвинуть, дотя­нув за строку заголовка указателем мыши (при нажатой левой кнопке).

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. В примере значения точек прямой расположены в столбце, поэтому переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положение столбцах (черная точка должна стоять около слова столбцах).

Этап 4. Ввод подписей по оси Х (горизонтальной). В диалоговом окне Мастер диа­грамм (шаг 2 из 4); источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелк­нув на ней указателем мыши) и в поле Подписи оси Х указать диапазон подписей (в при­мере - Аргумент). Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и, наведя его на левую верхнюю ячейку подписей (А2), на­жать левую кнопку мыши, затем, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось Х подписи (А14), затем отпустить ле­вую кнопку мыши. В рабочем поле должна появиться запись: =Лист1!$А$2:$А$14. Здесь, как и для данных, наиболее важным для нас является указание диапазона A2:A14, что подтверждает правильное введение интервала подписей .

После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку Далее

Этап 5. Введение заголовков. В третьем окне Мастер диаграмм (шаг 3 из 4): параметры диаграммы требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необ­ходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле на­звание: Прямая. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось Х (категорий) Ось У (значений) соответствующие названия: Аргумент и Значения .

Далее в данном окне необходимо выбрать вкладку Легенда и указать необходима ли Легенда (расшифровка кривых). Щелчком мыши устанавливаем флажок в поле Добавить легенду.

После чего нажать кнопку Далее.

Этап 6. Выбор места размещения. В четвертом окне Мастер диаграмм (шаг 4 из 4): раз­мещение диаграммы необходимо указать место размещения диаграммы. Для этого пе­реключатель Поместить диаграмму на листе установить в нужное положение (на отдель­ном или текущем листе). В примере устанавливаем переключатель в положение имеющемся (щелчком указателя мыши черную точку устанавливаем слева от слова имеющемся).

Этап 7. Завершение. Если диаграмма в демонстрационном поле имеет желаемый вид, необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае следует нажать кноп­ку Назад и изменить установки.

Нажимаем кнопку Готово и на текущем листе должна появиться диа­грамма

1.1)

y=2x+1

А

В

1

аргумент

прямая

2

0

1

3

0,25

1,5

4

0,5

2

5

0,75

2,5

6

1

3

7

1,25

3,5

8

1,5

4

9

1,75

4,5

10

2

5

11

2,25

5,5

12

2,5

6

13

2,75

6,5

14

3

7

Пример 2

Построение прямой 3х +2у-4=0 в диапазоне х € [-1; 3] с шагом Δ = 0,25

Пример 3

Построение прямой, пересекающую ось ординат в точке А(0;2),а ось абсцисс в точке В(3;0), в диапазоне . х € [-1; 4] с шагом Δ = 0,25

Пример 4

Построение прямой , проходящую через точки А(0;3) и В(2;2), в диапазоне х € [-1; 4] с шагом Δ = 0,25

Построение квадратичной параболы

Пример 1.

В качестве примера рассмотрим построение параболы вида у = х² в диа­пазоне х € [-3; 3] с шагом Δ = 0,5.

2.1)

y=x²

A

B

1

аргумент

парабола

2

-3

9

3

-2,5

6,25

4

-2

4

5

-1,5

2,25

6

-1

1

7

-0,5

0,25

8

0

0

9

0,5

0,25

10

1

1

11

1,5

2,25

12

2

4

13

2,5

6,25

14

3

9

Пример 2

Построение параболы х² =8у в диапазоне х € [-2,25; 2,25] с шагом Δ = 0,25.

Пример 3

Построение параболы у =х² +2 х -3 в диапазоне х € [-6; 4] с шагом Δ = 0,5

Пример 4

Построение параболы у=( х +2) ² -3 в диапазоне х € [-7; 3] с шагом Δ = 0,5

Построение кубической параболы

Пример 1

В качестве примера рассмотрим построение кубической параболы у = х³ в диапазоне х € [-2; 2] с шагом Δ = 0,25.

3.1)

y=x³

A

B

1

аргумент

куб.парабола

2

-2

-8

3

-1,75

-5,359375

4

-1,5

-3,375

5

-1,25

-1,953125

6

-1

-1

7

-0,75

-0,421875

8

-0,5

-0,125

9

-0,25

-0,015625

10

0

0

11

0,25

0,015625

12

0,5

0,125

13

0,75

0,421875

14

1

1

15

1,25

1,953125

16

1,5

3,375

17

1,75

5,359375

18

2

8

Пример 2

Построение кубической параболы у =( х-2)³ в диапазоне х € [-2; 6] с шагом Δ = 0,25.

Пример 3

Построение кубической параболы у = -х³ +1 в диапазоне х € [-2; 2] с шагом Δ = 0,25.

Построение графика обратной пропорциональности

Пример 1. В качестве примера рассмотрим построение гиперболы y=1/x в диапазоне х € [0,1; 10,1] с шагом ∆= 0,5.

4.1)

у=1/х

A

B

1

аргумент

гипербола

2

0,1

10

3

0,6

1,6666667

4

1,1

0,9090909

5

1,6

0,625

6

2,1

0,4761905

7

2,6

0,3846154

8

3,1

0,3225806

9

3,6

0,2777778

10

4,1

0,2439024

11

4,6

0,2173913

12

5,1

0,1960784

13

5,6

0,1785714

14

6,1

0,1639344

15

6,6

0,1515152

16

7,1

0,1408451

17

7,6

0,1315789

18

8,1

0,1234568

19

8,6

0,1162791

20

9,1

0,1098901

21

9,6

0,1041667

22

10,1

0,0990099

Пример 2

Построение гиперболы у =2/х в диапазоне х € [0,1; 5,1] с шагом Δ = 0,25

Пример 3

Построение гиперболы у =-3/(4х) в диапазоне х € [0,1; 4,6] с шагом Δ = 0,3

Построение графика функции y=ⁿ√x

Пример 1

В качестве примера рассмотрим построение графика у =√6х в диапазоне х € [0; 4] с шагом Δ = 0,25.

5.1)

у2=6х

у=√6х

А

В

1

аргумент

корень

2

0

0

3

0,25

1,2247449

4

0,5

1,7320508

5

0,75

2,1213203

6

1

2,4494897

7

1,25

2,7386128

8

1,5

3

9

1,75

3,2403703

10

2

3,4641016

11

2,25

3,6742346

12

2,5

3,8729833

13

2,75

4,0620192

14

3

4,2426407

15

3,25

4,4158804

16

3,5

4,5825757

17

3,75

4,7434165

18

4

4,8989795

Пример 2

Построение графика у =3√х в диапазоне х € [0; 8] с шагом Δ = 0,5

Пример 3

Построение графика у =√(х+2) в диапазоне х € [-2; 14] с шагом Δ = 0,5

Пример 4

Построение графика у =-√х+2 в диапазоне х € [0; 8] с шагом Δ = 0,5

Построение графика функции y=│x│

Пример 1

В качестве примера рассмотрим построение графика у = ‌х‌ в диапазоне х € [-7; 7] с шагом Δ = 1.

6.1)

y=‌‌‌ x ‌

A

B

1

аргумент

модуль

2

-7

7

3

-6

6

4

-5

5

5

-4

4

7

6

-3

3

7

-2

2

8

-1

1

9

0

0

10

1

1

11

2

2

12

3

3

13

4

4

14

5

5

15

6

6

16

7

7

Пример 2

Построение графика у =│‌‌х-1│ ‌ в диапазоне х € [-4; 6] с шагом Δ = 0,5

Пример 3

Построение графика у =│х‌ +2│ в диапазоне х € [-5; 7] с шагом Δ = 0,5

Пример 4

Построение графика у = ‌│х²-1‌│ в диапазоне х € [-4,5; 4,5] с шагом Δ = 0,5.

Построение графика дробно-рациональной функции

Пример 1

Рассмотрим построение графика функции у=( х² -1)/( х-1) в диапазоне х € [-5; 5] с шагом Δ = 0,5.

Решение. Открываем чистый рабочий лист (команда Вставка ►Лист).

Этап 1. Ввод данных. Для построения необходимо составить таблицу данных (х и у) для значениями х, а второй соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 ее построения в рабочем окне таблицы Ехсеl. Для этого значе­ния х и у следует представить в виде таблицы, где столбцами являются соответ­ствующие показатели. Пусть в рассматриваемом примере первый столбец будет- слово Прямая.(Заметим, что этот график можно легко построить, если упростить правую часть . Но в Ехсеl мы этого делать не будем.)

Начнем с введения значений аргумента. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента - левая граница диапазона (-5). В ячейку АЗ вводится второе значение аргумента - левая граница диапазона плюс шаг построения (-4,5). Затем, выде­лив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за пра­вый нижний угол блока протягиваем до ячейки А22).

Далее вводим значения прямой. В ячейку В2 необходимо ввести ее уравнение: =(A2^2-1)/(A2-1), предварительно переключившись на английский язык (Аlt+Shift). Затем автозаполнением копируем эту формулу в диа­пазон В2:В22.

В результате должна быть получена таблица

В ячейке В14 появляется # ДЕЛ/О! (при х=1, у - не существует, так как на ноль делить нельзя).

Этап 2. Выбор типа диаграммы. На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм (обычно четвертая-пятая справа). В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указать тип диаграммы.

В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы слева приведен спи­сок типов диаграмм, справа дается вид вариантов подтипов. Для указания типа диаграммы необходимо вначале выбрать тип в левом списке (с помощью указате­ля мыши и щелчка левой кнопкой), а затем выбрать подтип диаграммы в правом окне (щелчком левой кнопки мыши на выбранном подтипе).

В рассматриваемом примере выберем тип - График, вид - График с маркерами (ле­вую среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в ди­алоговом окне

.Этап 3. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон дан­ных и в поле Диапазон указать, интервал данных, то есть ввести ссылку на ячейки, содержащие данные, которые необходимо представить на диаграмме.

Определение диапазона (интервала) данных является самым ответственным мо­ментом построения диаграммы. Здесь необходимо указать только те данные, кото­рые должны быть изображены на диаграмме (в нашем примере - значения точек прямой). Кроме того, для введения поясняющих надписей (легенды), они также должны быть включены в диапазон (в примере - Прямая).

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных (В1), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на диаграмму данные (В22), затем отпустить левую кнопку мыши. В рабочем поле должна появиться запись: =Лист1!$В$1:$В$22. Здесь наиболее важным для нас является указание диапазона В1:В22, что подтверждает правильное введение ин­тервала данных

Если с первого раза не удалось получить требуемую запись в поле Диапазон, дей­ствия необходимо повторить.

Если диалоговое окно закрывает столбцы с данными, его можно отодвинуть, дотя­нув за строку заголовка указателем мыши (при нажатой левой кнопке).

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. В примере значения точек прямой расположены в столбце, поэтому переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положение столбцах (черная точка должна стоять около слова столбцах).

Этап 4. Ввод подписей по оси Х (горизонтальной). В диалоговом окне Мастер диа­грамм (шаг 2 из 4); источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелк­нув на ней указателем мыши) и в поле Подписи оси Х указать диапазон подписей (в при­мере - Аргумент). Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и, наведя его на левую верхнюю ячейку подписей (А2), на­жать левую кнопку мыши, затем, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось Х подписи (А22), затем отпустить ле­вую кнопку мыши. В рабочем поле должна появиться запись: =Лист1!$А$2:$А$22. Здесь, как и для данных, наиболее важным для нас является указание диапазона A2:A22, что подтверждает правильное введение интервала подписей .

После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку Далее

Этап 5. Введение заголовков. В третьем окне Мастер диаграмм (шаг 3 из 4): параметры диаграммы требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необ­ходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле на­звание: Прямая. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось Х (категорий) Ось У (значений) соответствующие названия: Аргумент и Значения .

Далее в данном окне необходимо выбрать вкладку Легенда и указать необходима ли Легенда (расшифровка кривых). Щелчком мыши устанавливаем флажок в поле Добавить легенду.

После чего нажать кнопку Далее.

Этап 6. Выбор места размещения. В четвертом окне Мастер диаграмм (шаг 4 из 4): раз­мещение диаграммы необходимо указать место размещения диаграммы. Для этого пе­реключатель Поместить диаграмму на листе установить в нужное положение (на отдель­ном или текущем листе). В примере устанавливаем переключатель в положение имеющемся (щелчком указателя мыши черную точку устанавливаем слева от слова имеющемся).

Этап 7. Завершение. Если диаграмма в демонстрационном поле имеет желаемый вид, необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае следует нажать кноп­ку Назад и изменить установки.

Нажимаем кнопку Готово и на текущем листе должна появиться диа­грамма

7.1)

y=(x²-1)/(x-1)

A

B

1

аргумент

прямая

2

-5

-4

3

-4,5

-3,5

4

-4

-3

5

-3,5

-2,5

6

-3

-2

7

-2,5

-1,5

8

-2

-1

9

-1,5

-0,5

10

-1

0

11

-0,5

0,5

12

0

1

13

0,5

1,5

14

1

#ДЕЛ/0!

15

1,5

2,5

16

2

3

17

2,5

3,5

18

3

4

19

3,5

4,5

20

4

5

21

4,5

5,5

22

5

6

Пример 2

Построение графика у=( х-1)/( х² -1) в диапазоне х € [0; 4] с шагом Δ = 0,2

Построение графиков тригонометрических функций.

Пример 1

В качестве примера рассмотрим построение графика у =sinx в диапазоне х € [-5; 5] с шагом Δ = 0,5

8.1)

y=sinx

А

В

1

аргумент

синусоида

2

-5

0,9589243

3

-4,5

0,9775301

4

-4

0,7568025

5

-3,5

0,3507832

6

-3

-0,14112

7

-2,5

-0,5984721

8

-2

-0,9092974

9

-1,5

-0,997495

10

-1

-0,841471

11

-0,5

-0,4794255

12

0

0

13

0,5

0,4794255

14

1

0,841471

15

1,5

0,997495

16

2

0,9092974

17

2,5

0,5984721

18

3

0,14112

19

3,5

-0,3507832

20

4

-0,7568025

21

4,5

-0,9775301

22

5

-0,9589243

Пример 2

Построение графика у = cosx в диапазоне х € [-5; 5] с шагом Δ = 0,5

Пример 3

Построение графика у=tgx в диапазоне х € [-1,5; 1,5] с шагом Δ = 0,15

Пример 4

Построение графика у=ctgx в диапазоне х € [0,1; 2,95] с шагом Δ = 0,15

Построение графика логарифмической функции

Пример 1

Построение графика у=log₅x в диапазоне х € [0,1; 5,1] с шагом Δ = 0,25

9.1)

у=log₅x

A

B

1

аргумент

логарифм

2

0,1

-1,4306766

3

0,35

-0,6522912

4

0,6

-0,3173938

5

0,85

-0,1009787

6

1,1

0,0592195

7

1,35

0,1864655

8

1,6

0,2920297

9

1,85

0,3822363

10

2,1

0,4609916

11

2,35

0,5308781

12

2,6

0,5936926

13

2,85

0,6507359

14

3,1

0,7029797

15

3,35

0,7511693

16

3,6

0,7958889

17

3,85

0,8376049

18

4,1

0,8766955

19

4,35

0,9134716

20

4,6

0,9481921

21

4,85

0,9810746

22

5,1

1,0123041

Пример 2

Построение графика у=lg(x+2) в диапазоне х € [0,1; 4,1] с шагом Δ = 0,25

Пример 3

Построение графика у=2log_¼x в диапазоне х € [0,1; 5.1] с шагом Δ = 0,25

Построение графика показательной функции.

Пример 1

Построение графика у=2^x в диапазоне х € [-5; 5] с шагом Δ = 0,5

10.1)

y=2^x

A

B

1

аргумент

показат.функция

2

-5

0,03125

3

-4,5

0,0441942

4

-4

0,0625

5

-3,5

0,0883883

6

-3

0,125

7

-2,5

0,1767767

8

-2

0,25

9

-1,5

0,3535534

10

-1

0,5

11

-0,5

0,7071068

12

0

1

13

0,5

1,4142136

14

1

2

15

1,5

2,8284271

16

2

4

17

2,5

5,6568542

18

3

8

19

3,5

11,313708

20

4

16

21

4,5

22,627417

22

5

32

Пример 2

Построение графика у=(¼)^x в диапазоне х € [-5; 5] с шагом Δ = 0,5

Построение кривых второго порядка на плоскости

1.Построение окружности.

Пример 1

В качестве примера рассмотрим построение верхней полуокружно­сти х² + у² = 4 в диапазоне х € [-2; 2] с шагом ∆ = 0,25.

Решение. Открываем чистый рабочий лист (команда Вставка ►Лист).

Этап 1. Ввод данных. Составляем таблицу данных (х и у). Пусть первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями у. Для этого в ячей­ку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 - слово Окружность. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента - левая граница диапазона (-2). В ячейку АЗ вводится второе значение аргумента - левая граница диапазона плюс шаг постро­ения (-1,75). Затем, выделив блок ячеек А2.-АЗ, автозаполнением получаем все зна­чения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А18).

Далее вводим значения верхней полуокружности. В ячейку В2 необходимо ввести ее уравнение, разрешенное относительно у = √4 - х². Для этого табличный курсор необходимо поставить в ячейку В2 и на панели инструментов Стандартная нажать кнопку Вставка функции (f_x). В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем вид Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию Корень. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Корень. В рабочее поле вводим подкоренное выражение: 4 -А2^2 Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В 18.

В результате должна быть получена таблица данных для построения верхней по­луокружности.

Этап 2. Выбор типа диаграммы. На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы выберем тип - График, вид - График с маркерами (левую среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

Этап 3. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных.

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести указатель на левую верхнюю ячейку данных (В1), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на диаграмму данные (В 18), затем отпустить левую кнопку мыши.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положе­ние столбцах (черная точка должна стоять около слова столбцах).

Этап 4. Ввод подписей по оси Х (горизонтальной). В диалоговом окне Мастер ди­аграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелкнув на ней указателем мыши) и в поле Подписи оси Х указать диапазон под­писей (в примере - Аргумент). Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и, наведя указатель мыши на левую верх­нюю ячейку подписей (А2), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протя­нуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось Х подписи (А18), затем отпустить левую кнопку мыши.

После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку Далее.

Этап 5. Введение заголовков. В третьем окне требуется ввести заголовок диаг­раммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелк­нув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указа­телем мыши, ввести с клавиатуры в поле название: График полуокружности. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось Х (категорий) и Ось У (значений) соответствующие названия: Аргумент и Значения.

После чего нажать кнопку Далее.

Этап 6. Завершение. Необходимо нажать кнопку Готово.

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма

1.1)

х²+у²=4

у=√(4-х²)

А

В

1

аргумент

окружность

2

-2

0

3

-1,75

0,968245837

4

-1,5

1,322875656

5

-1,25

1,5612495

6

-1

1,732050808

7

-0,75

1,854049622

8

-0,5

1,936491673

9

-0,25

1,984313483

10

0

2

11

0,25

1,984313483

12

0,5

1,936491673

13

0,75

1,854049622

14

1

1,732050808

15

1,25

1,5612495

16

1,5

1,322875656

17

1,75

0,968245837

18

2

0

Пример 2

Построение окружности х² + у² = 4 в диапазоне х € [-2; 2] с шагом ∆ = 0,25

2.Построение эллипса.

Пример 1

В качестве примера рассмотрим построение верхней половины эл­липса х² /9+ у² /4= 1

. и диапазоне х € [-3,5; 3,5] с шагом ∆ = 0,5.

2.1)

х²/9+у²/4=1

у=√(4(1-х²/9))

А

В

1

аргумент

эллипс

2

-3,5

#ЧИСЛО!

3

-3

0

4

-2,5

1,1055416

5

-2

1,490712

6

-1,5

1,7320508

7

-1

1,8856181

8

-0,5

1,9720266

9

0

2

10

0,5

1,9720266

11

1

1,8856181

12

1,5

1,7320508

13

2

1,490712

14

2,5

1,1055416

15

3

0

16

3,5

#ЧИСЛО!

Пример 2

Построение эллипса х² /4+ у² = 1 в диапазоне х € [-2,25; 2,25] с шагом ∆ = 0,25

Графическое решение систем уравнений.

Пример 1.Пусть необходимо найти решение системы

Y=sinx

Y=cosx

в диапазоне х € [0; 3] с шагом ∆ == 0,2.

Решение. Для построения диаграмм прежде всего необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово Аргумент. Затем в ячейку А2 - первое значение аргумента - 0. Далее будем вводить приращения аргумента с шагом 0,2. Введем в ячейку АЗ сумму левой границы диапазона плюс шаг (0,2). Затем, выде­лив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за пра­вый нижний угол блока протягиваем до ячейки А17).

Далее требуется ввести значения функции (в примере синуса). В ячейку В1 вво­дим слово Синус и устанавливаем табличный курсор в ячейку В 2. Здесь должно оказаться значение синуса, соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения синуса воспользуемся специальной функцией: нажмем на панели инструментов кнопку Вставка функции (f_x). В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций.

Выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию SIN. Нажи­маем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно SIN. Наведя указатель мыши на се­рое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем его вправо, чтобы открыть стол­бец данных (А). Указываем значение аргумента синуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2 в ячейки ВЗ:В17. Осуществляем это автоза­полнением (за правый нижний угол ячейки В2 протягиваем до ячейки В 17). Значе­ния синуса получены.

Аналогично получаем значения косинуса. В ячейку С1 вводим имя функции Косинус. Устанавливаем табличный курсор в ячейку С2. Для получения значения косинуса нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (f_x). В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию С0S. Нажимаем ОК. Появляется диалоговое окно С0S. Наведя указатель мыши на серое поле при нажатой левой кнопке сдвигаем его вправо, чтобы открыть столбец аргумента (А). Указываем значение аргумента косинуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке С2 появляется 1. Автозаполнением копируем формулу (за правый нижний угол ячейки С2 протягиваем до ячейки С17). Значения косинуса получены.

Далее по введенным в рабочую таблицу данным необходимо построить диаграмму. Щелчком указателя мыши по кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы График, вид - левый верхний. После нажатия кнопки Далее с помощью мыши указываем диапазон данных - В1:С17. Проверяем положение переключателя Ряды в: столбцах- выбираем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси x:А2:А17.Нажав кнопку Далее, вводим название диаграммы - Система, название осей х и у: Аргумент и Значения, соответственно. Нажимаем кнопку Готово. Получена диаграмма кривых синуса и косинуса (рис. 1.23). Как видно из диаграммы, система имеет решение (есть точка пересечения), и оно единственное (в заданном диапазоне имеется только одна точка пересечения). Таким образом, решением системы в заданном диапазоне являются координаты точки пересечения кривых. Для их нахождения необходимо навести указатель мыши на точку пересечения и щелкнуть левой кнопкой. Появляется надпись с указанием искомых координат: Ряд «Косинус». Точка «0,8». Значение: 0,69670671. Здесь Точка «0,8» соответствует х, а Значе­ние: 0,69670671 -у. Таким образом, приближенное решение системы х= 0,8; у = 0,697

1)

у=sinx

y=cosx

A

B

C

1

аргумент

синус

косинус

2

0

0

1

3

0,2

0,1986693

0,9800666

4

0,4

0,3894183

0,921061

5

0,6

0,5646425

0,8253356

6

0,8

0,7173561

0,6967067

7

1

0,841471

0,5403023

8

1,2

0,9320391

0,3623578

9

1,4

0,9854497

0,1699671

10

1,6

0,9995736

-0,0291995

11

1,8

0,9738476

-0,2272021

12

2

0,9092974

-0,4161468

13

2,2

0,8084964

-0,5885011

14

2,4

0,6754632

-0,7373937

15

2,6

0,5155014

-0,8568888

16

2,8

0,3349882

-0,9422223

17

3

0,14112

-0,9899925

Пример 2. Найти решение системы графически:

y =lnx

y =-2x+1

в диапазоне х € [0.2; 3] с шагом ∆ == 0,2

Построение плоскости

Пример

Рассмотрим построение плоскости в Ехсе! на примере уравнения 2х+4у- 2z + 2 = 0. Пусть необходимо построить часть плоскости, лежащей в I квадранте (х € [0; 6] с шагом ∆ = 0,5, у € [0; 6] с шагом ∆ = 1).

Решение. Вначале необходимо разрешить уравнение относительно переменной z. В примере z = х + 2y + 1.

Введем значения переменной х в столбец А. Для этого в ячейку А1 вводим х. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента - левая граница диапазона(0). В ячейку АЗ вводится второе значение аргумента - левая граница диапазона плюс шаг построения (0,5). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А14).

Значения переменной у вводим в строку 1. Для этого в ячейку В1 вводится значение переменной - левая граница диапазона (0). В ячейку С1 вводится значение переменной - левая граница диапазона плюс шаг построения (1). Затем, выделив блок ячеек В1;С1, автозаполнением получаем все значения аргументав правый нижний угол блока протягиваем до ячейки Н1).

Далее вводим значения переменной г. В ячейку В2 вводим ее уравнение = $А2 + 2*В$1 + 1, предварительно переключившись на английский язык . Обращаем внимание, что символы $ предназначены для фиксации адреса столбца А - переменной х: и строки 1 - переменной у. Затем автозаполнением (протягиванием вправо) копируем эту формулу вначале в диапазон В2:Н2, после чего в диапазон ВЗ:Н14 (протягиванием вниз).

В результате должна быть получена таблица.

На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграмм указываем тип диаграммы - Поверхность, и вид - Проволочная (прозрачная) поверхность (правую верхнюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4); источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных В2:Н14.

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Это определит ориентацию осей х и у. В примере переключатель Ряды в с помощью указателя мыши установим в положение столбцах. Выбираем вкладку Ряд и в поле Подписи оси Х указываем диапазон подписей. Для этого следует активизировать поле Подписи оси X, щелкнув в нем указателем мыши, и ввести диапазон подписей оси х - А2:А14.

Далее вводим значения подписей оси у. Для этого в рабочем поле Ряд указываем первую запись Ряд 1 и в рабочее поле Имя, активировав его указателем мыши, вво­дим первое значение переменной у - 0. Затем в поле Ряд указываем вторую запись Ряд 2 и в рабочее поле Имя вводим второе значение переменной у - 1. Повторяем таким образом до последней записи - Ряд 7. В результате вкладка Ряд будет иметь следующий вид (рис. 13.1-а) После появления требуемых записей необходимо нажать кнопку Далее. В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осе этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы, ввести с клавиатуры в данное поле название: Плоскость. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось х (категорий), Ось y (рядов данных) и Ось z (значений) соответствующие названия: х, у и z. Далее нажать кнопку Готово, и после небольшого редактирования будет по, следующая диаграмма

2х+4у-2z+2=0

z=x+2y+1

A

B

C

D

E

F

G

H

1

x\y

0

1

2

3

4

5

6

2

0

1

3

5

7

9

11

13

3

0,5

1,5

3,5

5,5

7,5

9,5

11,5

13,5

4

1

2

4

6

8

10

12

14

5

1,5

2,5

4,5

6,5

8,5

10,5

12,5

14,5

6

2

3

5

7

9

11

13

15

7

2,5

3,5

5,5

7,5

9,5

11,5

13,5

15,5

8

3

4

6

8

10

12

14

16

9

3,5

4,5

6,5

8,5

10,5

12,5

14,5

16,5

10

4

5

7

9

11

13

15

17

11

4,5

5,5

7,5

9,5

11,5

13,5

15,5

17,5

12

5

6

8

10

12

14

16

18

13

5,5

6,5

8,5

10,5

12,5

14,5

16,5

18,5

14

6

7

9

11

13

15

17

19

15

6,5

7,5

9,5

11,5

13,5

15,5

17,5

19,5

Построение поверхностей второго порядка в пространстве.

1. Построение эллипсоида.

Пример

Рассмотрим построение эллипсоида в Ехсе! на примере уравнения:

X²/9+y²/4+z²=1

Пусть необходимо построить верхнюю часть эллипсоида, лежащую в диапазонах:

x € [-3; З], у € [-2; 2] с шагом ∆= 0,5 для обеих переменных.

1.)

х²/9+у²/4+z²=1

z=√(1-x²/9-y²/4)

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

1

x

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2

-3

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

0

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

3

-2,5

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

0,2357023

0,4930066

0,5527708

0,4930066

0,235702

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

4

-2

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

0,5527708

0,7021791

0,745356

0,7021791

0,552771

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

5

-1,5

#ЧИСЛО!

0,433013

0,7071068

0,8291562

0,8660254

0,8291562

0,707107

0,433013

#ЧИСЛО!

6

-1

#ЧИСЛО!

0,571305

0,7993053

0,9090593

0,942809

0,9090593

0,799305

0,571305

#ЧИСЛО!

7

-0,5

#ЧИСЛО!

0,640095

0,8498366

0,9537936

0,9860133

0,9537936

0,849837

0,640095

#ЧИСЛО!

8

0

0

0,661438

0,8660254

0,9682458

1

0,9682458

0,866025

0,661438

0

9

0,5

#ЧИСЛО!

0,640095

0,8498366

0,9537936

0,9860133

0,9537936

0,849837

0,640095

#ЧИСЛО!

10

1

#ЧИСЛО!

0,571305

0,7993053

0,9090593

0,942809

0,9090593

0,799305

0,571305

#ЧИСЛО!

11

1,5

#ЧИСЛО!

0,433013

0,7071068

0,8291562

0,8660254

0,8291562

0,707107

0,433013

#ЧИСЛО!

12

2

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

0,5527708

0,7021791

0,745356

0,7021791

0,552771

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

13

2,5

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

0,2357023

0,4930066

0,5527708

0,4930066

0,235702

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

14

3

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

0

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

2.Построение гиперболоида.

Пример

Рассмотрим построение двухполостного гиперболоида вида X²/9+y²/4-z²=-1

2.)

х²/9+у²/4-z²=-1

z=√(1+x²/9+y²/4)

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

1

x

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2

-3

1,732051

1,600781

1,5

1,436141

1,414214

1,436141

1,5

1,600781

1,732051

3

-2,5

1,641476

1,502313

1,394433

1,325498

1,301708

1,325498

1,394433

1,502313

1,641476

4

-2

1,563472

1,416667

1,301708

1,227577

1,20185

1,227577

1,301708

1,416667

1,563472

5

-1,5

1,5

1,346291

1,224745

1,145644

1,118034

1,145644

1,224745

1,346291

1,5

6

-1

1,452966

1,293681

1,166667

1,083333

1,054093

1,083333

1,166667

1,293681

1,452966

7

-0,5

1,424001

1,261062

1,130388

1,044164

1,013794

1,044164

1,130388

1,261062

1,424001

8

0

1,414214

1,25

1,118034

1,030776

1

1,030776

1,118034

1,25

1,414214

9

0,5

1,424001

1,261062

1,130388

1,044164

1,013794

1,044164

1,130388

1,261062

1,424001

10

1

1,452966

1,293681

1,166667

1,083333

1,054093

1,083333

1,166667

1,293681

1,452966

11

1,5

1,5

1,346291

1,224745

1,145644

1,118034

1,145644

1,224745

1,346291

1,5

12

2

1,563472

1,416667

1,301708

1,227577

1,20185

1,227577

1,301708

1,416667

1,563472

13

2,5

1,641476

1,502313

1,394433

1,325498

1,301708

1,325498

1,394433

1,502313

1,641476

14

3

1,732051

1,600781

1,5

1,436141

1,414214

1,436141

1,5

1,600781

1,732051

3.Построение параболоида.

Пример

Рассмотрим построение гиперболического параболоида вида X²/9-y²/4=2z

3.)

х²/9-у²/4=2z

z=x²/18-y²/8

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

1

x

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2

-3

0

0,21875

0,375

0,46875

0,5

0,46875

0,375

0,21875

0

3

-2,5

-0,152778

0,065972

0,222222

0,315972

0,347222

0,315972

0,222222

0,065972

-0,152778

4

-2

-0,277778

-0,059028

0,097222

0,190972

0,222222

0,190972

0,097222

-0,059028

-0,277778

5

-1,5

-0,375

-0,15625

0

0,09375

0,125

0,09375

0

-0,15625

-0,375

6

-1

-0,444444

-0,225694

-0,06944

0,024306

0,055556

0,024306

-0,069444

-0,225694

-0,444444

7

-0,5

-0,486111

-0,267361

-0,11111

-0,01736

0,013889

-0,017361

-0,111111

-0,267361

-0,486111

8

0

-0,5

-0,28125

-0,125

-0,03125

0

-0,03125

-0,125

-0,28125

-0,5

9

0,5

-0,486111

-0,267361

-0,11111

-0,01736

0,013889

-0,017361

-0,111111

-0,267361

-0,486111

10

1

-0,444444

-0,225694

-0,06944

0,024306

0,055556

0,024306

-0,069444

-0,225694

-0,444444

11

1,5

-0,375

-0,15625

0

0,09375

0,125

0,09375

0

-0,15625

-0,375

12

2

-0,277778

-0,059028

0,097222

0,190972

0,222222

0,190972

0,097222

-0,059028

-0,277778

13

2,5

-0,152778

0,065972

0,222222

0,315972

0,347222

0,315972

0,222222

0,065972

-0,152778

14

3

0

0,21875

0,375

0,46875

0,5

0,46875

0,375

0,21875

0

4.Построение конуса.

Пример

Построение верхней части конуса

X²/4+y²/9-z² /4=0

лежащую в диапазонах:

x € [-6; 6], у € [-4; 4] с шагом ∆= 1 для обеих переменных

4.)

х²/4+у²/9-z²/4=0

z=√(4*(x²/4+y²/9))

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

1

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2

-6

6,565905

6,324555

6,146363

6,0369234

6

6,036923

6,146363

6,324555

6,565905

3

-5

5,666667

5,385165

5,174725

5,0442487

5

5,044249

5,174725

5,385165

5,666667

4

-4

4,807402

4,472136

4,21637

4,055175

4

4,055175

4,21637

4,472136

4,807402

5

-3

4,013865

3,605551

3,282953

3,0731815

3

3,073181

3,282953

3,605551

4,013865

6

-2

3,333333

2,828427

2,403701

2,1081851

2

2,108185

2,403701

2,828427

3,333333

7

-1

2,848001

2,236068

1,666667

1,2018504

1

1,20185

1,666667

2,236068

2,848001

8

0

2,666667

2

1,333333

0,6666667

0

0,666667

1,333333

2

2,666667

9

1

2,848001

2,236068

1,666667

1,2018504

1

1,20185

1,666667

2,236068

2,848001

10

2

3,333333

2,828427

2,403701

2,1081851

2

2,108185

2,403701

2,828427

3,333333

11

3

4,013865

3,605551

3,282953

3,0731815

3

3,073181

3,282953

3,605551

4,013865

12

4

4,807402

4,472136

4,21637

4,055175

4

4,055175

4,21637

4,472136

4,807402

13

5

5,666667

5,385165

5,174725

5,0442487

5

5,044249

5,174725

5,385165

5,666667

14

6

6,565905

6,324555

6,146363

6,0369234

6

6,036923

6,146363

6,324555

6,565905

Решение систем линейных уравнений

3x+2y=7

4x-5y=40

проверка

А

В

С

D

1

3

2

7

7

2

4

-5

40

40

3

0,2173913

0,0869565

5

4

0,173913

-0,1304348

-4

x=5, y=-4

x1+2x2+3x3-2x4=6

2x1+4x2-2x3-3x4=18

2x1+4x2-2x3-3x4=19

2x1+4x2-2x3-3x4=20

проверка

A

B

C

D

E

F

1

1

2

3

-2

6

6

2

2

4

-2

-3

18

18

3

3

2

-1

2

4

4

4

2

-3

2

1

-8

-8

5

-0,0299145

0,1538462

0,0811966

0,2393162

1

6

0,1538462

-0,0769231

0,1538462

-0,2307692

2

7

0,2521368

-0,1538462

0,0299145

-0,017094

-1

8

0,017094

-0,2307692

0,2393162

-0,1367521

-2

(1;2;-1;-2)

Элементы теории вероятности

Перестановка

Пример 1 Сколькими способами можно расставить шесть различных книг на полке?

Решение 1. Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например в А1. Здесь должно оказаться значение числа перестановок

2. Для получения значения числа перестановок воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции (f_x).

3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем функцию ФАКТР. Нажимаем на кнопку ОК.

4.. Появляется диалоговое окно ФАКТР. В рабочее поле Число вводим с клавиатуры число переставляемых объектов (в примере - 6). Нажимаем на кнопку ОК.

5. В ячейке А1 появляется искомое число перестановок - 720. Следовательно П₆ = 6! = 1x2x3x4x5x6 = 720.

Пример 2

1. Сколькими способами можно .рассадить за столом 7 человек гостей?

2. Сколько различных восьмизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, 6/7,8?

3. Сколько различных комбинаций букв можно составить из всех букв слова «бух­галтер»?

4. Сколько различных слов можно составить из всех букв слова: 1) колобок;

. 2) пудель (если принять, что с «ь» слова не начинаются).