Урок математики на тему Прогрессии

ПРОГРЕССИИ

Составила Лисейцева Ирина Михайловна

План урока дан для сильного, думающего, увлеченного математикой класса, обучающегося в обычной школе. Изучение арифметической и геометрической прогрессий проводится параллельно.

Эпиграф к уроку: "Сравнение есть основа всякого понимания и всякого мышления, чтобы какой-нибудь предмет был понят ясно, отличайте его от самых сходных с ним предметов и находите сходство с самыми отдельными от него предметами, тогда только вы выясните себе все существенные признаки, а это значит - понять предмет". (К.Д. Ушинский)

Сравнение - сопоставление объектов с целью выявления черт сходства и черт различия между ними. Суждения, выражающие результат сравнения, служат цели раскрытия содержания понятий сравниваемых объектов". (Философский словарь)

Цели урока:

1. Образовательные -продолжить работу над определениями арифметической, геометрической прогрессий; формулами n-го члена, суммы n первых членов, суммы бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1; характеристическими свойствами, которым обладают члены прогрессий; выработать общие рекомендации по выполнению заданий, содержащих данные прогрессии.

2. Развивающие - продолжить дальнейшую работу по выработке умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.

3. Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний.

Форма проведения урока:

Индивидуальное выполнение учебных заданий; фронтальная проверка, коррекция и формулировка выводов, составляющих новый материал.

Структура урока:

1. Подготовительный этап ( мотивация изучения нового, выявление целей урока и ориентация учащихся в учебной деятельности на уроке).

2. Актуализация ЗУН

3. Отработка ЗУН по теме

4. Самостоятельная работа

5. Сравнение и решение задач практического направления

6. Применение свойств прогрессий к решению уравнений

7. Подведение итогов урока и домашнее задание.

Ход урока

I Подготовительный этап

Тему сегодняшнего урока мы узнаем , отгадав кроссворд

1. Как называется график квадратичной функции?

1. Математическое предложение, справедливость которого доказывается.

2. Упорядоченная пара чисел, задающая положение точки на плоскости.

3. Наука, возникшая в глубокой древности в Вавилоне и Египте, а учащиеся России начинают её изучать с 7 класса.

4. Линия на плоскости, задаваемая уравнением Y=кх+b

5. Числовой промежуток

6. Предложение, принимаемое без доказательства

7. Прямая, к которой неограниченно приближаются точки кривой при удалении в бесконечность

8. Название второй координаты на плоскости

9. Французский математик 19 века, «отец» алгебры, юрист, разгадал шифр, применяемый испанцами в войне с французами, а нам помог в быстром решении квадратных уравнений.

Итак, тема урока «Прогрессии». «Прогрессия" - латинское слово, означающее "движение вперед", было введено римским автором Боэцием (VI век) и понималось в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность

А почему во множественном числе, какие знаете прогрессии, дать определение.

Сегодня на уроке мы подведем итог по теме «Прогрессии», решая задачи, определить к какому виду прогрессии она относится, и какие свойства надо применить.

II.Актуализация знаний

1)Но прежде проверим знания по теме. Заполнить таблицу (за отворотом доски, потом проверить)

Арифметическая

прогрессия ( )

Геометрическая

Прогрессия ( )

Определение

Формула n-го члена

Характеристическое свойство

Формула суммы n членов

2) Остальные учащиеся устно выполняют задания:

Каждой из предложенных последовательностей дать характеристику (задание на узнавание последовательности)

(a_n): a_n=5n арифмет.прогрессия.

(b_n): b_n=1; b_n+1=5b_n геометр.прогрессия.

(с_n): с₁=1; c_n+1=c_n-5 арифмет.прогрессия

(d_n): 1;2;4;8;… геометр.прогрессия.

(x_n): 1;4;9;16;… числовая последовательность

(y_n): 1;-2;4;-8;… геометр.прогрессия.

(z_n): z_n=103^n-1 геометрич.прогрессия

3)

Это ошибочное мнение. График прогрессии это множество точек плоскости на множестве натуральных чисел

Появление верных графиков.

4) 1.Дана геометрическая прогрессия (b_n): b₁ = 25, q = .Не решая задачи, выяснить:

Может ли среди членов этой прогрессии находиться число 50?

2.Дана арифметическая прогрессия: 1, 4, 7, 10, 13, ... .Не решая задачи, выяснить:

Может ли на сотом месте стоять число 297. Сделайте вывод.

5) Проверить таблицу.

III. Отработка ЗУН

1)Петя довольный пришел из школы и предложил папе

заключить сделку: в учебном году 34 недели; за 1 неделю Петя получит

1 копейку, за вторую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д.

Как вы думаете, в каком классе

учится Петя, и что нового он узнал

в школе

Петя в 9 классе, на уроке алгебры была тема «Сумма членов геометрической прогрессии»и на уроке рассматривалась задача :

Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат, ученого Сету, и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью - еще в два раза больше и т.д. Сколько зерен должен получить изобретатель шахмат?"

2 ⁶⁴-1

18 446 744 073 709 551 615

Масса такого числа зерен больше триллиона тонн.

Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Петя должен получить 2³⁴-1 или 171798691,83руб

1в. 1

2в.1

1в.2

2в2 IV Самостоятельная работа

Выполнить задание, выбрать соответствующую букву и заполнить таблицу

Первый получает приз

I вариант 2 вариант.

1.Дано: (а_n) арифметическая прогрессия 1. Дано: (а_n) арифметическая прогрессия

а₁=20, d=4. а₁=1,7, d=-0,2.

Найти: а₅ (36) Найти: а₈ (0.3)

2. Дано: (b_n) геометрическая прогрессия 2. Дано: (b_n) геометрическая прогрессия

b₂= 8; b₃= -32 b₂= -8; b₃= 32

Найти: S₄ (102) Найти: S₄ (-102)

Выбрать буквы соответствующие ответу:

102

3.5

36

0,3

33

-2.5

-102

0.7

С

Г

Х

А

О

М

И

Ф

В Японии палочки для еды называются хаси. Одной из традиций является вручение палочек детям на 100 с момента рождения день, т.к. считается, что использование их для еды детьми влияет на интеллектуальное развитие. Первым вручить приз - хаси

V. Сравнение и решение задач практического направления

3)Задачи 1 и 2 обсудить, выяснив алгоритм решения и свойства прогрессий, которые надо применить:

Задача 1.При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Задача2

Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько плиток понадобиться для 7 ряда

Решение у доски

Задача 3. Отдыхающий, следуя совету врача, загорал первый день 5 мин., а в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 мин. В какой день недели время его пребывания на солнце будет равно 40 мин., если он начал загорать в среду.

Решение:

а₁=5, d=5, а_n=40  n=8. Т.е. на восьмой день, т.е. опять в среду.

Задача 510. (Задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича) Клиент взял в банке кредит в размере 50 000 рублей на 5 лет под 20% годовых. Какую сумму клиент должен вернуть банку в конце срока?

Решение:

b₁=50000, q=1,2 Найти b₆ . b₆= b₁*q⁵ =124416 рублей.

Задача 472 (Задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича) За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 у.е., а за каждое следующее кольцо платили на 2 у.е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того в конце работы заплатили еще 40 у.е.. Сколько колец в колодце, если потом выяснили, что средняя стоимость одного кольца оказалась 22 у.е?

Решение:

а₁=26 d= -2, а_n=28-2n, S_n=27n-n², , 9n²-41n-360=0, n=9 (nN)

Ответ: 9 колец

Задача 526. (Задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича)

Два приятеля положили в банк по 10 000 рублей каждый, причем первый положил деньги на вклад с ежеквартальным начислением 10%, а второй - с ежегодным начислением 45%. Через год приятели получили деньги вместе с причитающимися им процентами. Кто получил большую прибыль?

Решение: вклад изменяется в одно и тоже число т.е. геометрическая прогрессия

1 приятель 2 приятель

b₁=10 000 b₁=10 000

4 квартала, т.е. найти b₅ вконце года, т.е. найти b₂

q=1,1 q=1,45

b₅=14 641 рубль, b₂= 14 500

Ответ: первый больше.

VI. Применение свойств прогрессий к решению уравнений

Прочти задачу.

Вычислить: 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 256 + 512.

Расставь этапы решения задачи в правильном порядке:

1. найти номер последнего члена прогрессии;

2. найти знаменатель или разность прогрессии;

3. вычислить искомую сумму;

4. определить вид прогрессии.

1. определить вид прогрессии.

2. найти знаменатель или разность прогрессии;

3. найти номер последнего члена прогрессии;

4. вычислить искомую сумму;

S₉=2*(2⁹ - 1)=2*511=1022

Решить уравнение

1) (x² + x + 1) + (x² + 2x + 3) + (x² + 3x + 5) + . . . + (x² + 20x + 39) = 4500

Каждое слагаемое отличается на (х+2), следовательно арифметическая прогрессия, где а₁= x² + x + 1

a_n= x² + 20x + 39 , a_n= а₁+(x+2)(n-1), n=20,

(x² + x + 1+ x² + 20x + 39)*20:2=4500

(2x² +21 x + 40)10=4500,

2x² +21 x + 40=450,

2x² +21 x - 410 =0,

Ответ: 10; - 20,5 x=10, x=-20,5

Решить уравнение

2) + x + x² + x³ + . . . = , x < 1.

+1+ x + x² + x³ + . . . = 1+3,5 ,

Бесконечная убывающая прогрессия с q=x, q<1, тогда S=, т.е. =4,5 и т.д.

Ответ:,

VII. Подведение итогов и домашнее задание:

Решить уравнение

1). (обсудить характеристическое свойство ариф.прогрессии)

2). 2x + 1 + x²  x³ + x⁴  x⁵ + . . . = , x < 1 (обсудить преобразование левой части и её вид)

3)№ 521, 522 (Задачник по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мордковича)