Решение линейных и квадратных неравенств

1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

1.1. Теоретический материал

НеравенстваРешение:

значение переменной, обращающее неравенство в верное числовое неравенство.

Решить:

найти все решения или доказать, что их нет.

Равносильные:

неравенства, имеющие одно и то же множество решений.

неравенство

можно переносить слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком

можно умножать (делить) обе части на одно и то же положительное число

можно умножать (делить) обе части на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Название неравенства

Общий вид

Линейное неравенство с одной переменной

1) ax>b

3) ax<b

2) ax≥b

4) ax≤b

Квадратное неравенство с одной переменной

1) ax² + bx + c>0 (а≠0)

3) ax² + bx + c<0 (а≠0)

2) ax² + bx + c≥0 (а≠0)

4) ax² + bx + c≤0 (а≠0)

Свойства числовых неравенств

1. если a>b, то b<a;

2. если a>b, b>c, то a>c;

3. если a>b, с - любое число, то a+c>b+c;

4. если a>b, c>0, то ac>bc;

5. если a>b, c<0, то ac<bc;

6. если a>b, c>d, то a+c >b+d;

7. если a>0, b>0, c>0, d>0, a>b и c>d, то ac>bd;

8. если a>b>0, n - натуральное число, то aⁿ>bⁿ;

9. если a>0, b>0, a>b, то ˂.

1.2. Решение линейных неравенств

Цели и задачи блока

- обобщить, систематизировать и несколько расширить знания;

- учащихся о решении линейных неравенств;

- повторить виды числовых промежутков, их иллюстрации;

- обозначение и запись.

Таблица 1.1

Числовые промежутки

Интервал

a< x< b

Отрезок

a≤ x≤ b

Полуинтервал

a< x≤ b

Полуинтервал

а≤ x <b

Луч

x≥a

Луч

x≤b

Открытый луч

x>a

Открытый луч

x<b

1.3 Упражнения по закреплению знаний и умений

Для работы в классе, а также для индивидуальной самостоятельной работы можно предложить учащимся следующий набор упражнений, а так же контрольную работу.

1.Решите неравенства:

а) 4 + 6р < 2(5р - 4), б) 4(3 - 4q) - 6(2 - 3q) < 0,

в) -(6а +2) + 6(а - 1) > 0, г) 7 - 16с < -2(8с - 1) + 5,

д) е) ,

ж) , з)

м) , и) а (а - 2) - а² > 5 - 3а,

к) 0,2х² - 0,2(х - 6)(х+6) > 3,6х, л) (4q - 1)² > (2q + 3)(8q - 1).

2.Найдите наименьшее целое решение неравенства:

а) 6(у - 2) - 8 ≥ 4(у + 3), б)

3.Решите двойные неравенства:

а) -1≤ 2х-7 ≤ 2, б) -14.

Ключевым элементом содержания в этих заданиях является решение линейных неравенств. Вспомогательный элемент: упрощение неравенств с помощью основных свойств неравенств.

2.КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

2.1.Решение квадратных неравенств

Цели и задачи блока

- продолжить формирование умений решать квадратные неравенства;

- коррекция умений и навыков, полученных на уроках;

- развитие самостоятельности, самоконтроля.

Теоретический материал.

Квадратные неравенства - это неравенства вида

ax²+bx+c>0, ax²+bx+c<0,ax²+bx+c≤0, ax²+bx+c≥0, где а0.

Если квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет два различных корня, то решение соответствующих квадратных неравенств можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители.

Например:-3х²-5х+2>0,

3х²+5х-2<0,

3х²+5х-2=0,

x_1,2 =

x₁=, x₂= -2;

3х²+5х-2=3(x-)(x+2);

Ответ: (-2; )

Решить квадратное неравенство можно графически. Квадратичная функция задается формулой у=ax²+bx+c, где a0.

Поэтому решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Таблица 2.1

Графическое изображение

D<0

D=0

х_1,2=

х_1,2=

D>0

х_1,2=

х_1,2=

2.2. Упражнения по закреплению знаний и умений

Для работы в классе, а также для индивидуальной самостоятельной работы можно предложить учащимся следующий набор упражнений, а так же контрольную работу.

1. Решите квадратные неравенства двумя способами:

а) (х-1)(х+2)>0, в) x²-3x+2<0,

б) (x-6)(x+10)<0, г) 2 x²-4x-6>0.

2. Решите неравенства (любым способом):

а) х² -3х > 0, д) 2х ≤ -х²

б) х² > 25х, е)

в) х² - 36 < 0, ж)

г) 3h² + h + 2 > 0, з)

3. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенств: 2х² + 14х ≤-60.

4. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства: 3х - х² > -40.

5. Установите, при каких значениях х имеют смысл выражения:

а) в)

б) г)

6. Сколько целочисленных решений имеют неравенства:

а) 15 - х² + 10х ≥ 0, б) х² + 5х - 8 < 0.

7. При каких значениях параметра р квадратное уравнение 3х² - 2рх - р + 6 = 0

а) имеет два различных корня; б) имеет один корень; в) не имеет корней.

Ключевым элементом содержания в этих заданиях является решение квадратных неравенств. Вспомогательный элемент: решение квадратных уравнений, построение графика квадратичной функции.