Задания для олимпиады по математике

Олимпиадные задания по математике 10 класс

Задача 1.

Найдите все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из следующих четырех утверждений верны, а два - неверны:

а) A делится на 5,

б) A делится на 23,

в) A+7 есть точный квадрат,

г) A-10 есть точный квадрат. (2 балла)

Задача 2.

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см. (5 баллов)

Задача 3.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии. (7 баллов)

Задача 4.

При каких значениях параметра а уравнения и имеют общий корень? (7 баллов)

Задача 5.

Решите в целых числах уравнение: . (7 баллов)

Олимпиадные задания по математике с решениями 10 класс

Задача 1.

</<font size="4">Найдите все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из следующих четырех утверждений верны, а два - неверны:

а) A делится на 5,

б) A делится на 23,

в) A+7 есть точный квадрат,

г) A-10 есть точный квадрат. (2 балла)

Ответ: 35 и 74.

Решение. Нужно перебрать все возможные варианты. Их всего 6: 1) а, б;

2) а, в; 3) а, г; 4) б, в; 5) б, г; 6) в, г. Верны только 3) и 6).

1б, если выбраны числа, соответствующие, хотя бы трем признакам.

Задача 2.

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см. (5 баллов)

Ответ: 5.

Решение. См. рисунок. , где .

Откуда получаем

.

Значит, .

Задача 3.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии. (7 баллов)

Ответ: 0.

Решение. Обозначим через - первый член прогрессии, а d - разность прогрессии. По условию задачи , то есть справедливо равенство , из которого, учитывая, что , получаем . Подставляя полученное выражение для в формулу суммы первых членов той же прогрессии, получим .

Примечание. Верный ответ без обоснования - 1 балл.

Задача 4.

При каких значениях параметра а уравнения и имеют общий корень? (7 баллов)

Ответ: При .

Решение. Если уравнения имеют общий корень, то имеет решение система уравнений . Вычитая из первого уравнения системы второе, получим , или . Если , то x - любое действительное число. Но при уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, не подходит. Если , то . Подставляя найденное значение в любое из уравнений, найдем .

Комментарий. Приведен ответ - 1 балл. Если выписываются корни квадратичных уравнений и рассмотрены все возможные варианты равенства корней с верным полученным ответом - 7 баллов, рассмотрены не все возможные равенства корней, но получен верный ответ -3 балла, в остальных случаях - 1 балл.

Задача 5.

Решите в целых числах уравнение: .(7 баллов)

Ответ: (0; 1); (6; −1); (0; −1); (−6; 1).

Решение. Разложим на множители левую часть уравнения

. Так как число 5 - это 5⋅1, 1⋅5, −5⋅(−1), −1⋅(−5) , то мы получаем совокупность четырех систем:

или

Решая системы, получаем, x₁ = 0, y₁ = 1; x₂ = 6, y₂ = −1; x₃ = 0, y₃ = −1;

x₄ = −6, y₄ = 1.