Сборник Координатный метод в решениях задач ЕГЭ

Глава 1. «Симпатичные» фигуры.

Согласимся с Бунеевой Н.А. и Каргаполовым А.М. - авторами сборника «Задачи по стереометрии (координатный метод)» [1], и фигуры (мы будем иметь в виду геометрические тела), которые «удобно» расположить в прямоугольной системе координат, назовем «симпатичными». z

0 y

x

Это в первую очередь, куб (1) (рис.1) и прямоугольный параллелепипед (2) (рис.2)

A₁

D C

A B

Рис.1. Рис.2.

Если длина ребра куба равна 1, то координаты вершин записываются просто. Например,

A(1; 0; 0), B(1; 1; 0), C(0; 1; 0), D(0; 0; 0), A₁(1; 0; 1) и так далее.

Фигуры (3) и (4) - четырёхугольные пирамиды с основанием квадрат (рис.3 ) и прямоугольник (рис.4). Фигура (3) (рис.3) - правильная четырехугольная пирамида, у которой основание ABCD- квадрат и высота SF попадает в центр описанной (около основания) окружности, т.е. в точку пересечения диагоналей основания.

S S

D A D A

F F

C B C B

Рис.3. Рис.4.

Следующей нашей фигурой (5) является пирамида, у которой основание ABCD также квадрат, одно боковое ребро (например, SD) перпендикулярно основанию. Следовательно, ребро SD является высотой пирамиды. Фигура (6) аналогична фигуре (5), только основание у этой фигуры не квадрат, а прямоугольник.

S

D C

A B

Рис.5. Рис.6.

Понятно, что для фигуры (2), (3), (4), (5) и (6) координаты вершин вычисляются легко (при заданных рёбрах). Рассмотрим, например, фигуру (4). Пусть AD=4, AB=10, высота SF=6. Очевидно, что координаты вершин пирамиды:

A (4; 0; 0), B (4; 10; 0), C (0; 10; 0), D (0; 0; 0), S (2; 5; 6).

Теперь рассмотрим треугольные пирамиды. D

фигура (7) (рис. 7) - треугольная пирамида, которая в основании имеет

правильный треугольник ABC (cо стороной равной 1) и одно боковое А С

ребро, (например AD=H), перпендикулярно основанию. В

Понятно, что A(0;0;0), C(0;1;0), D(0;0;H). Рис.7.

Найдем координаты вершины B. Сделаем следующий чертеж А К С

(рис. 8)(вид сверху). Ясно, что z_B=0, y_B=AK=, x_B=BK==

Заметим, что x_B равен длине высоты в правильном треугольнике В

ABC (этот факт можно использовать для запоминания x_B =). Рис.8.

В итоге имеем координаты точки B(). D

Фигура (8) (рис.9.) - правильный тетраэдр. Известно, что высота

тетраэдра DF попадает в центр описанной (около основания ABC) A C

окружности. F

Найдём координаты вершины D для фигуры (8). Пусть DF- высота. B

Тогда F - пересечение медиан в треугольнике ABC. Рис.9.

Сделаем следующий чертеж (рис.10) (вид сверху). Так как медианы в A К С

треугольнике делятся в отношении 2:1, считая от вершины, значит, F

KF=BK. Следовательно, х_F=, у_F=. Очевидно, что х_D=х_F, у_D=у_F, B

т.е. осталось найти z_D. Рис.10

Сделаем дополнительный чертеж (рис.11). D

Зная, что z_D=DF= и FB=BK==, вычислить

z_D просто: z_D== = . F B

В итоге имеем D(). Рис.11.

Рассмотрим также и фигуру (9) (рис.12) - правильную треугольную пирамиду, у которой основание ABC - правильный треугольник, боковые ребра равны между собой (DA=DB=DC).

Высота пирамиды DF попадает в центр правильного треугольника ABC.

Если задана высота H=DF, то координаты вершины D выглядят следующим D

образом: D (). Обратим внимание, если в основании фигуры

находится правильный треугольник ABC со стороной а, то имеем A C

следующие координаты: B

A (0; 0; 0), C (0; а; 0), ВD. Рис.12

Далее рассмотрим пирамиды, у которых основания - прямоугольные треугольники. Фигура (10) (рис.13) имеет вид: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине A, ребро AD перпендикулярно основанию ABC. Другими словами, ребра AB, AC, и AD попарно перпендикулярны. Фигура (11) (рис.14) имеет вид: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине A, ребро CD перпендикулярно основанию ABC. Другими словами, ребра AB, AC и CD попарно перпендикулярны. Следующая фигура (12) (рис.15) имеет в основании прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине A и её боковые ребра равны между собой. Это означает, что высота DF пирамиды попадает в центр описанной (около основания ABC) окружности, т.е. точка F - середина гипотенузы BC.

D D D

A C A C A C

F

B B B

Рис. 13. Рис.14. Рис.15.

Зная соответствующие измерения, нетрудно записать координаты вершин пирамид.

Например, рассмотрим фигуру (12). Пусть AB=6, AC=8, AD=BD=CD=13. Введём систему координат, как показано на рисунке (15). Имеем A(0; 0; 0), B (6; 0; 0), C (0; 8; 0). Очевидно, что BC=10. Пусть точка F - середина BC. Тогда просто найти координаты точки F (3; 4; 0). Так как FC= BC=5, тогда DF= =12. Следовательно, координаты точки D (3; 4; 12).

Осталось рассмотреть треугольные призмы. Фигура (13) (рис.16) - правильная призма,

основаниями являются правильные треугольники, боковые ребра перпендикулярны основанию. Фигура (14) (рис.17) также прямая призма, но в основании лежит прямоугольный треугольник.

Рис.16. Рис.17.

Рассмотренные фигуры действительно «симпатичны»: есть простая возможность введения системы координат и, как следствие, решения задач, содержащих в условии «симпатичную» фигуру, методом координат.

Понятно, что множество «симпатичных» фигур содержит и не только фигуры (1-14). Например, шестиугольная пирамида SABCDEF (где основание ABCDEF - правильный шестиугольник, а высота попадает в центр, описанной вокруг основания окружности) или же шестиугольная прямая призма, также являются «симпатичными» фигурами. Нетрудно убедиться, что можно ввести систему координат и легко вычислить координаты всех вершин. Кстати, для этих фигур можно поместить начало координат в центр основания, что мы и сделаем для решения задач в главе 4 п.4.3. и п.4.4.

Глава 2. Основные формулы и определения.[1]

1. Расстояние ρ между точками A₁(x₁; y₁; z₁) и А₂(x₂; y₂; z₂), равно

ρ

2. Координаты середины K(х;у;z) отрезка AB равны средним арифметическим координат его концов. Таким образом, если A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂), то

К(;;).

3. Координаты вектора AB равны разности соответствующих координат конца B и начала A данного вектора. Таким образом, если A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂), то

.

4. Длина вектора , имеющего координаты (a₁; a₂; a₃), равна =.

5. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

6. Ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат на одной плоскости, либо на параллельных плоскостях; нулевой вектор считается компланарным любому вектору.

7. Для того чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало некоторое ненулевое число λ, такое что = λ.

8. Для того чтобы три вектора , и , были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы любой из них можно было представить в виде линейной комбинации двух других, т.е.

=α+β, где α, β - некоторые числа.

9. Любой вектор можно единственным образом разложить по трем некомпланарным векторам.

10. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Таким образом,

·=··cos φ.

11. Скалярное произведение векторов (a₁; a₂; a₃), и (b₁; b₂; b₃) равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

·= a₁ b₁+ a₂ b₂ + a₃ b_3.

12. Ненулевые векторы (а₁; a₂; a₂) и (b₁; b₂; b₃) перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е. a₁ b₁+ a₂ b₂ + a₃ b₃= 0

13. Если φ - угол между ненулевыми векторами (a₁; a₂; a₃) и (b₁; b₂; b₃),

то =

14. Всякое уравнение первой степени аx+by+cz+d=0 задает в координатном пространстве единственную плоскость, которая перпендикулярна вектору (a, b, c). Вектор называется вектором нормали к данной плоскости.

15. Если p - расстояние от точки M (m₁; m₂; m₃) до плоскости аx+by+cz+d=0 , то

16. Если α - угол между плоскостями, заданными уравнениями a₁x + b₁y + c₁z + d₁=0 и a₂x + b₂y + c₂z + d₂=0, то

соs=

17. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

18. Если α - угол между прямой, направляющий вектор которой (m₁; m₂; m₃), и плоскостью ax+by+cz+d=0, то

sinα=

19. Если α - угол между прямыми, направляющие векторы, которых (m₁, m₂, m₃) и

(n₁, n₂, n₃), то

соsα=

20. Параметрическое уравнение прямой, которая проходит через точку M(x₀, y₀, z₀) и имеет направляющий вектор (a, b, c), имеет вид:

21. Уравнение сферы с центром O(a, b, c) и радиусом R

22. Если - длина перпендикулярной проекции вектора на плоскость β: ax+by+cz+d=0, то =, где φ - угол между вектором и плоскостью β.

23. Если - площадь сечения заданного многогранника плоскостью α и - площадь проекции этого сечения на плоскость β, то =, где φ - угол между плоскостями α и β.

Глава 3. Уравнение плоскости.

Конечно, для того, чтобы научиться решать задачи с помощью координатного метода, умения находить координаты вершин недостаточно. Очень часто условие задачи содержит некоторую плоскость. В одних задачах плоскость задается тремя точками, в других, - точкой и перпендикулярной плоскости прямой, и другими способами. Давайте научимся писать уравнения плоскостей заданных различными способами, которые чаще всего встречаются в задачах.

3.1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

Дано: точка K (0; 2; 4); точка M (2; 0;0); точка Р (2; 2; 2).

Найти: общее уравнение плоскости KMР.

Решение:

Запишем общее уравнение плоскости β: ax+by+cz+d=0.

1. Так как точка M принадлежит плоскости MKP, значит, координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки M в уравнение вместо x, y, z. Получаем следующее уравнение:

a∙0+b∙2+c∙4+d=0, или проще: 2b+4c+d=0

2. Так как точка K принадлежит плоскости MKP, значит, координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки K в уравнение вместо x, y, z. Получаем следующее уравнение:

a∙2+b∙0+c∙0+d=0, или проще: 2a+d=0.

3. Так как точка P принадлежит плоскости MKP, значит, координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки P в уравнение вместо x, y, z, Получаем следующее уравнение:

a∙2+b∙2+c∙2+d=0, или проще: 2a+2b+2c+d=0.

В итоге получаем систему уравнений, составленную из (1), (2) и (3) уравнений:

.

Так как система состоит из трех уравнений, но содержит четыре неизвестных a, b, c, d, давайте попробуем все неизвестные, выразить через какую-нибудь одну. Наиболее «легким» нам кажется второе уравнение, из которого можно выразить d: d=-2a.

Далее, подставляя вместо d в третье уравнение -2a, получаем 2a+2b+2c-2a=0. Откуда, выражаем b через c: b=-c.

Аналогично, делая подстановку в первое уравнение, получаем: a=c

В итоге имеем:

(т.е. все неизвестные выражены через с)

Возвращаясь к общему уравнению плоскости, получаем

cx-cy+cz-2c=0.

Полагая с=1, получаем искомое уравнение плоскости KMP:

x-y+z-2=0.

Ответ: общее уравнение плоскости KMP: x+y+z-2=0.

2. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно ненулевому вектору.

Дано: точка T (-2; 6; 1); (2; -3;5).

Найти: общее уравнение плоскости β, проходящей через точку Т и перпендикулярно .

Решение:

1. Вектор нормали плоскости (т.е. вектор перпендикулярный плоскости) ax+by+cz+d=0

имеет координаты (a, b, c).

Так как вектор (2; -3; 5) перпендикулярен плоскости TKN, значит, он является вектором нормали к плоскости TKN. Следовательно, уравнение искомой плоскости можно переписать в виде:

2x-3y+5z+d=0. (1)

2. Так как точка Т принадлежит плоскости β, значит, координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости. Следовательно, можно подставить координаты точки M в уравнение (1) вместо x, y, z:

2∙(-2)-3∙6+5∙1+d=0.

Откуда находим d: d=17

Следовательно, искомое уравнение плоскости TKN: 2x+3y+5z+17=0.

Ответ: общее уравнение плоскости TKN: 2x+2y+5z+17=0.

2. Уравнение плоскости, проходящей через две точки, параллельно ненулевому вектору.

Дано: точка T (3; 1; 1) и точка R (0; 2; 1), вектор (0; 3; -1).

Найти: общее уравнение плоскости β, проходящей через точки T и R, параллельно вектору .

Решение: Запишем общее уравнение плоскости β:

ax+by+cz+d=0.

1. Так как точка T принадлежит плоскости β, значит, координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки T в уравнение вместо x, y, z. Получаем следующее уравнение:

a∙3+b∙1+c∙1+d=0.

Или проще:

3a+b+c+d=0.

2. Так как точка R принадлежит плоскости β, значит, координаты этой точки удовлетворяет общему уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки R в уравнение плоскости вместо x, y, z. Получаем следующее уравнение:

a∙0+b∙2+c∙1+d=0.

Или проще:

2b+c+d=0.

3. Так как вектор (0; 3; -1) параллелен плоскости β, значит он перпендикулярен вектору нормали (a; b; c) плоскости β. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно 0, т.е. ∙=0. Получаем третье уравнение:

0∙a+3∙b-1∙c=0.

Или проще:

3b-c=0.

В итоге мы получаем систему из трех уравнений:

Решение аналогично изложенному в пункте 3.1.

Ответ: x+3y+9z-15=0.

2. Уравнение плоскости, проходящей через точку, параллельно двум ненулевым векторам.

Дано: точка K(3; 0; 2), вектор (2; 0; 1), вектор (1; 2; 0).

Найти: общее уравнение плоскости β, проходящей через точку К, параллельно векторам и .

Решение: Запишем общее уравнение плоскости β:

1. Так как точка К принадлежит плоскости β, значит координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости ax+by+cz+d=0. Следовательно можно подставить координаты точки К в уравнение плоскости вместо x, y, z. Получаем следующее уравнение: 3а+0·b+2с+d=0 или проще 3а+2с+d=0.

2. Вектор (2;0;1), параллельный плоскости β, перпендикулярен вектору нормали

(a; b; c) данной плоскости, значит скалярное произведение этих векторов равно 0.

Получаем второе уравнение: 2·a+0·b+1·c=0 или проще 2a+c=0.

3. Вектор (1; 2; 0) параллельный плоскости β, перпендикулярен вектору нормали

(a; b; c) данной плоскости, значит скалярное произведение этих векторов равно 0.

Получаем третье уравнение: 1·a+2·b+0·c=0 или проще a+2b=0.

В итоге мы получаем систему из трех уравнений:

Так как система состоит из трех уравнений, но содержит четыре неизвестных a, b, c, d, давайте попробуем все неизвестные выразить через какую-нибудь одну. Из второго уравнения получаем с=-2а.

Из третьего уравнения имеем b=-а/2.

Подставляя вместо с в первое уравнение -2а, получаем 3а-2а+d=0. Откуда получаем:

d=-a.

В итоге имеем:

b=-а/2,

с=-2а,

d=-a. (т.е все неизвестные выражены через а)

Возвращаясь к общему равнению плоскости, получаем:

ax-а/2y-2аz-а=0. Полагая, а=2 (чтобы в уравнении плоскости не было дробей), получаем искомое уравнение плоскости: 2x-y-4z-2=0.

Ответ: 2x-y-4z-2=0.

2. Уравнения координатных плоскостей. (выведите самостоятельно)

Плоскость хОу задается формулой: z=0, вектор нормали имеет координаты

Плоскость хОz задается формулой: у=0, вектор нормали имеет координаты

Плоскость уОz задается формулой: х=0, вектор нормали имеет координаты

Глава 4. Примеры решения задач.

В данной главе предложен координатный метод решения заданий ЕГЭ разных лет. С решениями задач традиционным образом (через элементы треугольника) можно ознакомиться в указанной литературе.

4.1. Расстояние между точками.

Задача. [2. Задача 17, стр.184.] Основание пирамиды - квадрат со стороной, равной а. Боковое ребро АМ перпендикулярно плоскости основания пирамиды и вдвое больше ребра основания. Найти радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

(В этой задаче может вызвать затруднение нахождение расположения центра М

сферы, описанной около пирамиды. Воспользуемся формулой нахождения

расстояния между точками)

Решение. А В

Пусть О (х; у; z) - центр сферы, описанной около пирамиды МАВСD. D C

Тогда R=ОМ=ОА=ОВ=ОС=ОD.

Расположим пирамиду в прямоугольной системе координат так, чтобы

А(0;0;0), В(0; а;0), С(а; а;0), Д(а;0;0), М(0;0;2а)

По формуле 1 расстояния между точками имеем:

1). АО²= x²+y²+z² 2). ВО²= x²+(y-а)²+z²

3). СО²= (x-а)²+(y-а)²+z² 4). DО²=(x-а)²+y²+z²

5). МО²= x²+y²+(z-2а)²

Из 1) и 2), получаем у=а/2 . Из 1) и 4) получаем х= а/2 .

Подставляя значения х и у в 3) и 5) выражения, и приравнивая эти выражения, получаем z=а. Тогда центр сферы имеет координаты О(а/2; а/2; а).

R²= (а/2)² +(а/2)²+а². R= Ответ: R=

4.2.Расстояние между прямыми.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Если данные прямые перпендикулярны, то построение их общего перпендикуляра нахождение его длины не вызывает затруднений. Если же данные прямые не перпендикулярны, то построение общего перпендикуляра сравнительно более сложно. В этом случае предлагается способ, который заключается в том, чтобы через одну из прямых провести плоскость β параллельно второй и найти расстояние от любой точки второй прямой до плоскости β.

Задача. [2.,Задача 11. Стр.169]. Ребро куба АВСDА₁В₁С₁D₁ равно 1. Найти расстояние между прямыми АВ₁ и ВД.

Решение. Расположим куб в прямоугольной системе координат так, чтобы В₁

А(0;0;0), В(0; 1 ;0), С(1; 1;0), D(1;0;0), В₁(0; 1;1). А В

D C

Расстояние между скрещивающимися прямыми мы найдем как расстояние от любой точки прямой АВ₁ до плоскости β, содержащей прямую ВD и параллельной прямой АВ_1.

Напишем уравнение плоскости β: ax+by+cz+d=0, проходящей через точки В и Д параллельно прямой АВ_1. (см. глава 3. Задача 3.)

1)Так как точка В принадлежит плоскости β, значит, координаты этой точки удовлетворяют общему уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки В в уравнение вместо x, y, z. Получаем следующее уравнение: а·0+b·1+c·0+d=0 или проще: b+d=0

2)Так как точка D принадлежит плоскости β, значит, координаты этой точки удовлетворяет общему уравнению плоскости. Следовательно, нужно подставить координаты точки D в уравнение плоскости вместо x, y, z. Получаем следующее уравнение: a∙1+b∙0+c∙0+d=0, или проще: a+d=0

3)Так как вектор (0;1;1) параллелен плоскости β, значит он перпендикулярен вектору нормали (a;b;c) плоскости β. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно 0, т.е. ∙=0. Получаем третье уравнение:

0∙a+1∙b+1∙c=0 или проще b+c=0

В итоге мы получаем систему из трех уравнений:

Так как система состоит из трех уравнений, но содержит четыре неизвестных a, b, c, d, давайте попробуем все неизвестные выразить через какую-нибудь одну. Из первого уравнения получим b=-d.

Из второго уравнения получим a=-d.

Далее, подставляя вместо b в третье уравнение -d, получаем -d+c=0. Откуда:c=d.

Возвращаясь к общему уравнению плоскости, получаем -d∙x-d∙y+d∙z+d=0

Полагая d=1, получаем уравнение плоскости проходящей через точки В и D параллельно прямой АВ₁: -x-y+z+1=0

Найдем по формуле 15 расстояние от точки А(0;0;0), до плоскости β:

-x-y+z+1=0

ρ=Ответ: ρ=

4.3. Угол между прямыми.

Определение.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые порознь параллельны данным скрещивающимся прямым.

Задача. [5,тренировочная работа №2, С2, стр.8] В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ и А₁С.

Решение.

Расположим основание призмы в прямоугольной системе координат, А₁

как показано на рисунке. А В

Тогда А(0;0;0), В(0;1;0), С(; 0), А₁(0;0;1) С

Направляющие векторы прямых АВ и А₁С имеют координаты:

(0;1;0), (; -1) Тогда соs =

Ответ: соs

Задача. [2, Задача 5, стр.163] A₁ B₁

Дан куб АВСD А₁В₁С₁D_1. Пусть F - точка пересечения диагоналей АС и ВД. A B

F

Найти угол между прямыми А₁F и В₁Д. D C

Решение.

Пусть ребро куба равно 1. Расположим куб в прямоугольной системе координат так, чтобы А(0;0;0), В(0; 1;0), С(1; 1;0), D(1;0;0), А₁(0; 0;1), В₁(0; 1;1).

Тогда точка F - точка пересечения диагоналей будет иметь координаты F( ½; ½; 0).

Найдем угол между векторами ( ½; ½; -1) и (1; -1;-1).

соs=.

Ответ: аrccos.

Задача. [2. Задача 9, стр.167] В прямоугольном параллелепипеде АВСD А₁В₁С₁D_1. Известно АА₁=1, АВ=2, АD=3. Найти угол между прямыми ВD₁ и АС.

Решение. Расположим прямоугольный параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁ A₁

в прямоугольной системе координат как показано на рисунке. A B

А(0;0;0), В(0;2;0), С(3;2;0), D₁(3;0;1). D C

Направляющий вектор прямой ВД₁ имеет координаты (3;-2;1).

Направляющий вектор прямой АС имеет координаты (3;2;0).

Найдем косинус угла между прямыми по формуле 19. соs=.

Ответ: arcos

Задача. [6, вариант 7, задача С2, стр.71] D₁

В правильной шестиугольной призме АВСDЕFА₁В₁С₁D₁Е₁F₁, все ребра которой B₁

равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ₁ и ВD_1. A

Решение. Расположим основание призмы АВСДЕFА₁В₁С₁Д₁Е₁F₁ в прямоугольной B

системе координат как показано на рисунке.

В правильном шестиугольнике R=a=1. D 0 A

B

Тогда точка А(0;1;0), В(; 0), В₁(; 1), D₁(0;-1;1)

Направляющий вектор прямой АВ₁ имеет координаты (; - 1).

Направляющий вектор прямой ВД_1. Имеет координаты (-; -;1).

Найдем косинус угла между прямыми по формуле 19 соs=.

Ответ: соs=

4.4.Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

В тех случаях, когда затруднительно найти проекцию прямой на плоскость, предлагаем воспользоваться формулой 18 для нахождения угла между прямой и плоскостью.

Задача С2. Вариант №5. Диагностическая работа. Ноябрь 2009 г.

В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁, у которого АА₁ =4, А₁D₁ = 6, С₁D₁=6, найти тангенс угла между плоскостью АDD₁ и прямой ЕF, проходящей через середины ребер АВ и В₁С₁.

Решение .

Расположим прямоугольный параллелепипед АВСДА₁В₁С₁Д₁ в A₁ B₁

D₁ F прямоугольной систему координат так, чтобы A E B

А(0;0;0), А₁(0;0;4), Д(6;0;0), В(0;6;0). D C

Тогда точка Е - середина АВ имеет координаты Е(0;3;0), точка F - середина В₁С₁ имеет координаты F(3;6;4). Направляющий вектор прямой EF имеет координаты (3;3;4).

Плоскость АDD₁ имеет уравнение у=0. (п.5.глава 3)

По формуле 18 имеем sin=

Из основного тригонометрического тождества получаем соs=tg= Ответ: tg=

Задача. В правильной шестиугольной пирамиде SАВСDЕF, боковые ребра которой равны 2, а стороны основания - 1, найти косинус угла между прямой АС и плоскостью SАF. S

Решение. F

Расположим основание пирамиды в прямоугольной системе координат О А

как показано на рисунке. С

В правильном шестиугольнике R=a=1. Тогда О(0;0;0), А(0;1;0), С(;- 0), F

F(-; 0), S(0;0;). О А

Напишем уравнение плоскости SАF. (см. глава 3. Задача 1.): х -. С

(Напишите самостоятельно).

Найдем по формуле 18 синус угла между плоскостью SАF, вектор нормали которой имеет координаты (1; и прямой АС, направляющий вектор которой имеет координаты (;0).

sinα= . Применяя основное тригонометрическое тождество, получаем соsα=.

Ответ: соsα=

Задача. [3, Вариант 1, задача С4, стр.8] Отрезок РN - диаметр сферы. Точки М, L лежат на сфере так, что объем пирамиды РМNL- наибольший. Найти синус угла между прямой NT и плоскостью РМN, если Т - середина ребра ML.

Решение. L

Пирамида РNМL имеет наибольший объем, если T

треугольники РМN и РLТ прямоугольные, равнобедренные M N

с общей гипотенузой РN, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях. Р

Расположим пирамиду в прямоугольной системе координат как показано на рисунке. Пусть катеты равнобедренных прямоугольных треугольников РМN и РLТ равны 1. Тогда радиус сферы R=.

Тогда М(0;0;0), Р(1;0;0), N(0;1;0), L(). Точка Т (- середина ребра ML.

Направляющий вектор прямой NT имеет координаты (.

Плоскость РМN задается уравнением z=0, вектор нормали имеет координаты (Глава 3. п.5.).

По формуле 18 находим синус угла α между прямой NT и плоскостью РМN:

sin α=.

Ответ: sin α =.

4.6.Угол между плоскостями.

Задача С4. [ЕГЭ, 2005 г.] Основание прямой четырехугольной призмы АВСDА₁В₁С₁D₁ - прямоугольник АВСD, в котором АВ=5, АD=. Найти тангенс угла между плоскостью грани АА₁Д₁Д призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра СD перпендикулярно прямой В₁D, если расстояние между прямыми АС и В₁D₁ равно .

Решение.

Расположим призму в прямоугольную систему координат так, A₁ B₁

чтобы А(0;0;0), В(0;5;0), D(; 0; 0), В₁(0;5;. A B

D K C

Напишем уравнение плоскости β, которая проходит через середину DС - точку К(;;0) , и для которой вектор (;-5;) - есть вектор нормали. (см. задачу 2 из главы 3 - уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно ненулевому вектору):

·- 5·+ 0·(=-20,5

Уравнение плоскости, проходящей через точку К перпендикулярно прямой В₁Д имеет вид

х-5у-z -20,5=0.

Уравнение плоскости АА₁D₁D имеет вид у=0 (п.5.глава 3).

Тогда по формуле 16 имеем соs==. sin= tg=

Ответ: tg=

Задача 6. [2.стр. 163] Среди различных плоскостей, пересекающих поверхность куба, взяты плоскости ВDС₁ и В₁АD. Найти угол между ними.

Решение.

Пусть дан куб АВСD А₁В₁С₁D_1. С ребром равным 1. Расположим куб В₁

в прямоугольной системе координат так, чтобы А В

А(0;0;0), В(0; 1;0), С(1; 1;0), Д(1;0;0), В₁(0; 1;1), С₁(1; 1;1). D C

Напишем уравнение плоскости ВDС_1. (см. задачу 1 главы 3 - уравнение плоскости, проходящей через 3 точки). а0.

плоскость проходит через точку Д, то Адр.а подгот. :ем Я вдвое больше ребра основания. Найти радиус сферы, описанной ок-х-у+z+1=0. (1) (напишите самостоятельно)

Напишем уравнение плоскости В₁АD: - у+z=0. (2). (напишите самостоятельно)

Вектор нормали плоскости ВДС₁: ₁ (-1;-1;1).

Вектор нормали плоскости В₁АД: ₂ (0;-1;1).

Тогда по формуле 16 имеем соs=.

Ответ: arccos

Задачи для самостоятельного решения.

1. В правильной шестиугольной призме АВСДЕFА₁В₁С₁Д₁Е₁F₁, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ₁ и ВС_1. (Ответ: соsα=)

2. В правильной шестиугольной призме АВСДЕFА₁В₁С₁Д₁Е₁F₁, все ребра которой равны 1, найти угол между прямыми АВ₁ и ВЕ_1. (Ответ: соsα= -)

3. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ₁ и ВС₁. (Ответ: соsα=)

4. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ и А₁С. (Ответ: соsα=)

5. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁, у которого АВ =4, ВС = 6, СС₁ = 4, найти тангенс угла между плоскостью АВС и прямой ЕF, проходящей через середины ребер АА₁ и С₁ D₁.

(Ответ: tg=)

6. В кубе АВСДА₁В₁С₁D₁ найти тангенс угла между прямой АА₁ и плоскостью ВС₁D.

(Ответ: tgα=)

7. В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ найти синус угла между прямой АD₁ и плоскостью ВA₁С₁.

(Ответ: sinα=).

8. Через центр О данной сферы проведено сечение. Точка F выбрана на сфере, а точки А, В, С, Д - последовательно на окружности сечения, так, чтобы объем пирамиды FАВСД был наибольший. Найти синус угла между прямой АМ и плоскостью ВFД, если М - середина ребра FВ.

(Ответ: sinα= -).

9. Основание прямой четырехугольной призмы АВСDА₁В₁С₁D₁ - прямоугольник АВСД, в котором АВ=12, АD=. Найти косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно прямой ВD₁, если расстояние между прямыми АС и В₁Д ₁ равно (Ответ: соsα=)

Литература.

1. Бунеева Н.А, Каргаполов А.М. Задачи по стереометрии (координатный метод), 2006.

2. Единый Государственный экзамен: математика: методика подгот. : кн. для учителя / [Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А. Красньянская и др.]. - М.: Просвещение, 2005. - 256 с.

3. Единый государственный экзамен: математика: контрол. измерит. материалы: 2005-2006/ под общ. ред.Л.О.Денищевой; М-во образования и науки Рос. Федерации, Федерал. служба по надзору в сфере образования и науки, Федерал. ин-т пед. измерений, - М.: Просвещение, 2006. - 96 с.

4. Единый государственный экзамен: математика: учебно-тренировочные материалы: 2005: Математика/под ред.Л.О.Денищевой, -М: Просвещение, 2005. - 78 с.

5. ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания/И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров, В.С.Панферов, С.Е.Посицельский, А.В.Семенов, А.Л.Семенов, М.А.Семенова, И.Н.Сергеев, В.а.смирнов, С.А.Шестаков, Д.Э.Шноль, И.В.Ященко; под ред.А.Л.Семенова, И.В.Ященко. - М.: Издательство «Экзамен», 2010 - 55 с. (Серия «ЕГЭ 2010. Типовые тестовые задания)

6. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010: Математика/авт.-сост.И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров и др.; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. - М.:АСТ:Астрель, 2010.-93 с. - (Федеральный институт педагогических измерений)

Оглавление.

Глава 1. «Симпатичные» фигуры……………………………………………………………………….1

Глава 2. Основные формулы и определения…………………………………………………………..5

Глава 3. Уравнение плоскости

3.1.Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой………………7

3.2. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно ненулевому вектору…..8

3.3.Уравнение плоскости, проходящей через две точки, параллельно ненулевому вектору………….9

3.4. Уравнение плоскости, проходящей через точку, параллельно двум ненулевым векторам…10

3.5. Уравнения координатных плоскостей…………………………………………………………………11

Глава 4. Примеры решения задач

4.1. Расстояние между точками……………………………………………………………………………12

4.2.Расстояние между прямыми…………………………………………………………………………12

4.3. Угол между прямыми……………………………………………………………………………….14

4.4. Угол между прямой и плоскостью………………………………………………………………….16

4.5. Угол между плоскостями…………………………………………………………………………….18

Глава 5. Задачи для самостоятельного решения……………………………………………………………20