Конспект урока по математике для 9 класса «Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии»

Тема: Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии

Подготовила учитель высшей квалификационной категории МБОУ «СОШ №2 п.г.т. Актюбинский Азнакаевского муниципального района РТ

Винокурова Светлана Петровна

2014 год

Винокурова С.П. , учитель математики

высшей квалификационной категории

МБОУ «СОШ №2 п.г.т. Актюбинский»

Азнакаевского муниципального района

Республики Татарстан

Тема: Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии

Класс: 9

Цель урока(Слайд2)

Обучающая: формирование знаний и первичное закрепление умений по теме «Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии». Формирование познавательных действий, необходимых при решении задач по данной теме

Развивающая: развитие навыков логического мышления; развитие вычислительных навыков; развитие умений обобщать и конкретизировать знания при решении заданий. Формирование познавательного интереса к предмету через практическую деятельность.

Воспитательная: воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов; воспитание наблюдательности.

Тип урока: Урок изучения новых знаний.

Технологии обучения: урок-лекция, проблемное, работа в парах

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная, парная.

Оборудование урока:

- компьютер,
- мультимедийный проектор,
- интерактивная доска,
- учебная презентация,
- карточки с заданиями для работы в парах,
- раздаточный материал (тесты, самостоятельная работа);

Методическое сопровождение: компьютерная презентация

Учебник: А.Г.Мордкович. Алгебра, 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений.

А.Г.Мордкович. Алгебра, 9 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений.

Урок, с использованием обучающих структур СИМАЛТИНИУС РЕЛЛИ ТЕЙБЛ, МИКС-ФРИЗ-ГРУПП.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания. (устно)

Разминка СИМАЛТИНИУС РЕЛЛИ ТЕЙБЛ (Слайд4,5)

Решение теста. Одновременно выполняют тест.

Работа с партнером по плечу. Обмениваются. Проверяют, обсуждают. Оценивают.

• «5» - 4 верных ответа

• «4» - 3 верных ответа

• «3» - 2 верных ответа

• «2» - 1 верный ответ

I - вариант

1. Числовая последовательность b₁, b₂, b₃… b_n… называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных чисел n выполняется равенство:

b_n-1= b₁*q где b₁= 0, q≠0

2. Формула n-го числа геометрической прогрессии b вычисляется

b _n = b₁ *q^ⁿ-1

3. Является ли геометрической прогрессией последовательность и почему? 5, 25, 125…Назовите следующий член прогрессии.

Да , 625

4. b₁ = 16, q = 1/2. Найти b₂, b₃, b₄геометрической прогрессии.

b₁ = 16, b₂= 16*1/2 = 8, b₃= b2 *1/2 = 8=4, b₄ = 4 *1/2= 2

II - вариант

1. Знаменателем геометрической прогрессии b_n называется число q, которое вычисляется по формуле:

q =b₂ / b₁ = b_n-1/ b_n

2. Если все члены геометрической прогрессии положительны, то каждый ее член, начиная со второго равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

3. Является ли геометрической прогрессией последовательность: 36, 18, 9 … и почему? Назовите следующий член последовательности.

Да. 4,5

4. b_n геометрической прогрессии, где b₁ = 1, q = 2

Найти: b₂ , b₃ , b₄.

b₂= 1 * 2= 2 ; b₃ = 2 * 2= 4 ; b₄ = 4 * 2= 8

3. Изучение нового материала. (Слайды 6-20)

Математические знания могут применяться умело с пользой лишь в том случае, если они усвоены творчески.
А.Н. Колмогоров

Историческая задача.

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников

-Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь.

Мудрец поклонился.

-Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

-Не робей, - ободрил его царь. - Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

-Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

-Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

-Простое пшеничное зерно? - изумился царь.

-Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32…

Вопросы учащимся:

• Почему так хитро улыбнулся Сета?

• Прав ли был индусский царь, считая просьбу Сеты ничтожной, полагая, что все зерна пшеницы уместятся в один мешок?

• Подумайте, обсудите в парах что задумал Сета?

• Об этом ты узнаешь чуточку позже.

Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии.

Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма в задаче№1. Пусть дана геометрическая прогрессия (b_n). Обозначим сумму n первых ее членов через S_n:

S_n = b₁ + b₂ + b₃ +………+b_n-1 + b_n. (1)

Умножим обе части этого равенства на q: S_n ·q = b₁· q + b₂ ·q + d₃· q +…..+b_n· q

Учитывая, что b₁· q = b₂, b₂· q = b₃,……b_n-1· q = b_n,

получим: S_n·q = b₂ + b₃ + b₄+ ……+b_n +b_n· q (2)

Вычтем почленно из (2) равенство (1) и приведем подобные члены : S_n·q - S_n = (b₂+b₃+b₄+….+b_n+b_n·q) - (b₁+b₂+b₃+…..+b_n) = b_n·q - b₁Þ S_n(q - 1) = b_n·q - b₁

S_n = (b_n·q - b₁) / (q - 1)

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли Сета свою жалкую награду.

-Повелитель, - был ответ, - приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.

Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

-Повелитель, - ответили ему, - математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.

Царь приказал ввести его.

-Прежде чем скажешь о твоем деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

-Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. - Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…..

-Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, - житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана..

- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, которое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни.

Пусть все пространство их будет сплошь засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду…

С изумлением внимал царь словам старца.

- Назови мне это чудовищное число,- сказал он в раздумьи.

18 446 744 073 709 551 615

-Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, - но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом в этом ты сам можешь убедиться.

Фактически, число зерен, о которых идет речь, является суммой 64 членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S:

S = 1+2+22+23+24+…….+262+263

S = 264 - 1

Значит, подсчет зерен сводится к перемножению 64 двоек. Для облегчения выкладок заменим 264 = (210)6 · 24 =

=1024 · 1024 ·1024· 1024 ·1024· 1024· 16 =

=1048576 ·1048576 ·1048576 ·16 - 1

и получим искомое число зерен:

18 446 744 073 709 551 615

Масса такого числа зерен больше триллиона тонн.

Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды.

Но будь он силен в математике, он бы не попал впросак…

ВЫВОД: Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.

Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии имеет вид ( Слайд 21)

S_n = (b_n·q - b₁) / (q - 1)

или

S_n = b₁· ( q_n - 1) / (q - 1)

4. Физкультминутка. (Слайд 22)

Используется МИКС-ФРИЗ-ГРУПП - обучающая структура, в которой ученики смешиваются под музыку, при прекращении музыки дети замирают и задается вопрос, ответ на этот вопрос означает, что им нужно встать в группу из стольких человек, каков ответ.

Я буду называть последовательность. Если арифметическая прогрессия, то по 2 человека в группы, если геометрическая прогрессия, то по 4 человека в группы.

1) 1,2,3, 4, ...

2) 5, 25, 125, 625,..

3) 1, 3, 8, 10, ...

4) 2. 4, 8, 16, 32,..

5. Закрепление изученного материала. (Слайд 23)

Работа с учебником (у доски)

• № 17.25 а,б

• № 17.28 а,б

6. Самостоятельная работа на листочках(Слайд 24)

• 1 вариант

• 1. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии -2; -4; -8;… (3 балла)

• 2. Укажите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=81, q=1/3. (3 балла)

• 3. Геометрическая прогрессия задана формулой n-го члена bn=5n-1. Найти S5. (4 балла)

• 4. Дополнительная задача. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько дрожжевых клеток стало после пятикратного деления, если первоначально их было 1 млн.?

Критерии оценки: 3-5 баллов - "3", 6-8 баллов - "4", 9 и более - "5".

• 2 вариант

• 1. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=32, q=-2. (3 балла)

• 2. Укажите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 2;1; 1/2 ;… (3 балла)

• 3. Геометрическая прогрессия задана формулой n-го члена bn=3n. Вычислить S5. (4 балла)

• 4. Дополнительная задача. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория - туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий стало после шестикратного деления, если первоначально их было 1000?

• Ответы

1 вариант 2 вариант

1) S7=- 254 1) S7=1376

2) S6=121 2) S5=31/8

3) S5=781 3) S5=363

4) 31 000 000 кл. 4) 63 000 инф.

7. Домашнее задание. (Слайд 25)

П. 17 № 17.25 в,г

№ 17.28 в,г.

7. Подведение итогов урока. (Слайд 26)

8. Рефлексия. Выберите каждый начало предложения и закончите его.

Сегодня я узнал…

Было интересно…

Было трудно…

Теперь я могу…

Я научился…

Я попробую…

Меня удивило…

11. Выставление оценок