Обобщающий урок математики в 10 классе по теме Применение производной к исследованию функции

Обобщающий урок математики в 10 классе по теме: «Применение производной к исследованию функций»

• Цель урока:

• обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме: нахождения промежутков монотонности, точек экстремума , нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на концах отрезка;

• развитие математической речи, логического мышления, сообразительности, внимательности.

• воспитание трудолюбия, аккуратности.

Оборудование: компьютеры, подключенные к Интернет, презентация ученика, раздаточный материал для учащихся ( графики производной и графики функций, ответы к заданиям, графики к исследуемой функции, листы самооценки)

Ход урока

Ребята ни для кого не секрет, что каждая наука оперирует своей лексикой. Увлекшись изучением с вами последней темы по алгебре, я в беседе с учителем литературы сказала: «Неважно сколько ученик знает, но важно, чтобы у него была положительная производная». Коллега не поняла меня. А вы можете прояснить мою фразу? (Это означает важно, чтобы скорость приращения знаний у ученика была положительна - это залог того, что его знания возрастут)

Эпиграф: нашего урока будет высказывание Конфуция

Три пути ведут к знанию:

путь размышления - это путь

самый благородный,

путь подражания - это путь

самый легкий и

путь опыта - это путь

самый горький.

«Музыка может возвышать или умиротворять душу,

живопись - радовать глаз,

поэзия - пробуждать чувства,

философия - удовлетворять потребности разума, инженерное дело - совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей!»

Морис Клайн

Каковы же цели нашего сегодняшнего обобщающего урока по теме «Применение производной к исследованию функции?

(учащиеся формулируют цели урока)

Результаты своей работы учащиеся будут заносить в оценочный лист

Оценочный лист учащегося

Фамилия______________________________________________

Имя_________________________________________________

Этап урока

Задания

Количество баллов

1

Проверка домашнего задания (Разминка) (4 б)

2

Миниисследование «Соотнеси график производной и график функции» (5 б)

3

Практика «Построй эскиз графика» (3б)

4

Домашнее творческое задание (4б)

5

Тест на компьютере (6б)

6

Конкурс: «Выбери сам» (3б)

Итоговое

количество баллов

Оценка

Критерии оценок:

«5» - 21-25 баллов

«4» - 18- 20 баллов

«3» - 12- 17 баллов

«2» - менее 12 баллов

I . Проверка домашнего задания (разминка)

- опрос по основным теоретическим положениям по теме (парная работа)

1. Достаточный признак возрастания (убывания) функции.

2. Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

3. Определение критических точек функции, точек экстремума и экстремумов функции.

4. Необходимое условие экстремума.

5. Достаточные условия существования экстремума в точке: признак максимума и минимума.

6. Алгоритм отыскания экстремумов функции.

7. Схема исследования функции (с помощью производной).

8. Алгоритм нахождения наибольших и наименьших значений функции

1. на отрезке

2. на незамкнутом промежутке

презентация «Применение производной к исследованию функции» (Бондаренко Татьяна обобщила теоретический материал)

II. Практическое задание

соотнеси график производной и график функции

(каждый учащийся получает карточку с заданием определенного уровня сложности)

ответы

«Примеры учат больше, чем теория».

М.В. Ломоносов

Практическое задание Исследовать функцию и построить график

Задание: исследовать на наличие экстремумов функцию f(x)= и построить эскиз её графика.

1. .

_2.

3.

4. при х=0, х=2, х=-2

Наносим полученные точки на координатную плоскость. Возникает проблема: какой линией соединить имеющиеся точки графика, чтобы она более точно передавала свойства заданной функции? Предлагаем 4 варианта соединения точек. Какой из них верный?Ответить на вопрос, можно вспомнив, что во всех найденных точках экстремумов производная равна нулю. Значит, касательные к графику функции в этих точках должны быть параллельны оси ОХ. Это возможно только на рисунке 4. Таким образом, линия представленная на рисунке 4 наиболее точно отражает свойства заданной функции.

Вывод: строить график можно, исследуя функцию с помощью производной, при этом нужно использовать не только координаты точек экстремума, но и всю аналитически найденную информацию.

5. Интересная задача ( домашнее задание Давыдовская Ольга )

Задача. Определить какое из чисел больше?

Сравнить числа:

(cos 1990) и (1+ cos 1991).

Возможно ли эту задачу решить известными ученикам приемами? Формулы приведения применить нельзя; использование формул тригонометрических преобразований не приводит к нужному результату.

Пусть M = cos 1990; N= I +cos 1991.

Задача сводится к тому, какой знак между этими числами поставить: М>N либо M

В связи с только что изученной теорией ученики использовали свойство возрастания и убывания функции:

Функция f возрастает (убывает) на множестве Р, если для любых x₁и x₂ из множества Р, таких, что x₂ > x₁ выполнено неравенство f(x₂) > f(x₁) .

Целесообразно вспомнить это определение и при решении настоящей задачи. Тогда нужно определить, как относиться к М и N: либо как к аргументам, либо как к соответствующим значениям какой-то функции, и, связав это с ее производной, выяснить характер ее монотонности и ответить на вопрос задачи. Так как составление функции в данных

условиях для учеников - задача непривычная, подсказка учителя не будет лишней.

Понятно, что прибавление одной и той же константы к обеим частям неравенства сохранит знак этого неравенства:

Положим С = 1990, тогда:

C + M = 1990 + cos l990; С + N = 1991 + cos l991.

Нетрудно видеть, что если рассмотреть функцию f(x) = x + cosx,

то С + М = f(1990), C + N = f(1991).

Итак, имеем две точки x₁ и x₂:

x₁ = 1990, x₂ =1991; x₁ < x₂ ;

надо сравнить значения функции f(x) в этих точках.

Определим характер монотонности f(x):

так как f'(x) = 1 - sinx ≥ 0 и f'(x) = 0 при х = , то f(x) возрастает на множестве всех действительных чисел.

Поэтому: f(1990) < f (1991) => М + С < N + C => M < N =>

(cos l990) < (1 + cos l991)

Тест на компьютере egemaximum.ru/test-primenenie-proizvodnoj-k-issledovaniyu-funkcii/</</p>

(учащиеся выполняют задание, выясняют правильность выполненных заданий, объясняют ошибки, допущенные ими при выполнении данной работы, выставляют баллы в оценочный лист)

Учитель подводит итог работы учащихся

«Ум компьютера - это ум человека, воплощенного в программу». Никакая машина не заменит труд человека, но компьютер может сделать его более эффективным и интересным

Конкурс «Выбери сам»

Учащиеся сами выбирают карточки по своему уровню и желанию: уровень «А»(1 балл за задание), «В» (2 балла за задание), «С» (3 балла за задание).

Часть А.

Инструкция для учащихся. При выполнении заданий уровня А выберите номер правильного ответа.

А 1. Найдите-5

1)3 2)2 3)-1 4)1

А 2. Укажите производную функции g(x)=+

1)2x+ 2)2х- 3)+ 4) -

А 3. Уравнение касательной к графику функции y= в точке с абсциссой х_{0 =} -3 имеет вид:

1)y=7x+13 2)y=7x+15 3)y= -7x+15 4)y = -7x+13

А 4. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у=6х - в его точке с абсциссой (-1).

1)-4 2)-6 3)6 4)8

А 5. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику y= в его точке с абсциссой 0.

1)2 2)1 3)0 4)-1

Часть Б.

Инструкция для учащихся. Дайте краткий ответ. Для каждого из заданий ответом может быть целое число или число, записанное в виде десятичной дроби.

В6. Найдите значение производной функции f(x)=2+ в точке х_{0 =}4.

В7. Укажите число целых решений неравенства f '(x)0, если f(x)= f(x)= -

В8. Найдите минимум функции g(x)=3- 5 В9.Укажите число точек экстремума функции g(x)=х³(х+1)⁴

Часть С.

Инструкция для учащихся. Запишите обоснованное решение.

С10. При каких значениях а прямая у=ах является касательной к параболе F(х)=-2х+4?

C11. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен 32 см³, а одна из боковых граней является квадратом. Найдите среди них параллелепипед с наименьшим периметром основания. В ответе укажите этот периметр.

Итог урока. Рефлексия.

За что ты можешь себя похвалить?

Что тебе удалось на уроке?

Домашнее задание

Составить тест (из пяти заданий по теме: "Производная").

Я хочу вам пожелать, чтобы у вас была только положительная производная, чтобы знания ваши только возрастали. Спасибо за урок.