Методическая разработка урока по математике «Определенный интеграл » СПО

Пояснительная записка

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись математические методы изучения реальных объектов и процессов. Одним из важнейших разделов математики, используемых для описания и решения прикладных задач, является интегральное исчисление. Примеры практических задач, дают нам ясное представление о значимости определенного интеграла в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики. Решение прикладных задач имеет большое воспитательное значение, так как воспитывает умение распознать то или иное математическое понятие в различных ситуациях и позволяет знакомить учащихся с математическим моделированием как методом научного познания окружающего мира.

В структуре изучаемой дисциплины «Алгебра и начала математического анализа; геометрия» выделяется следующий раздел: «Первообразная и интеграл». Содержание раздела «Первообразная и интеграл» включает тему урока «Определенный интеграл » .

В результате изучения данной темы студент должен

Знать:

-определение первообразной, формулы для отыскания первообразных;

-определение неопределенного интеграла, правила отыскания неопределенного интеграла;

-понятие определенный интеграл, правила отыскания определенного интеграла;

-методы интегрирование;

-формулы вычисления физических величин;

Уметь:

-находить первообразную по таблице формул отыскания первообразных;

-определять правило и метод интегрирования неопределенного и определенного интеграла;

-применять методы интегрирования при решении прикладных задач;

Тема урока : Определенный интеграл.

Образовательная цель:

-закрепление навыков вычисления первообразных;

-сформировать навыков и умений вычисления неопределенного и определенного интеграла различными методами интегрирования;

- познакомить учащихся с применением определенного интеграла к решению некоторых физических и технических задач;

Развивающая цель:

- развивать внимание, память, речь, аналитическое и логическое мышление;

-развивать мотивацию познавательной деятельности.

-развитие умений логически мыслить и аргументировано отстаивать свои убеждения.

Воспитательная цель:

-воспитывать информационную культуру и культуру общения, готовить обучающихся к

жизни в современном информационном обществе

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Вид урока: практическая работа

Методические приемы и методы.

-самостоятельная работа (тест);

-практический- решение прикладных задач;

- научности;

-наглядности;

-последовательности изложения материалов;

-преемственности;

-соревновательности.

Межпредметные связи:

• физика;

• информатика;

• русский язык и культура речи (правильность и содержательность изложения материала);

• иностранный язык (перевод терминов);

• история (обращение к историческому материалу).

Оборудование и наглядные средства обучения: компьютерный класс с ОС Windows 8 и пакетом программ Microsoft Office 2010 (10 ПК), мультимедийный проектор, интерактивная доска SmartBoard, программа Notebook, колонки, демонстрационный и раздаточный материал, презентация в Notebook, в Power Point.

Методическая цель: способы активизации мыслительной деятельности студентов

Ход урока:

I.Организационный момент: Подготовка учащихся к уроку

(проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей)

Мы с вами заканчиваем изучение темы "Интеграл". Вы изучили неопределённый интеграл, определённый интеграл, Хорошо. Научились интегрировать методом неопределённого интегрирования, методом подстановки. И неплохо научились, судя по самостоятельной работе. Научились вычислять площади криволинейных фигур при помощи интеграла. И вот теперь, наконец, мы сможем применить наши умения для решения прикладных задач. Запишите, пожалуйста, тему урока "Определенный интеграл".

II. Актуализация опорных знаний

Математический диктант:

1.Что называется определенным интегралом? (Множество первообразных данной функции на заданном промежутке)

2.В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? (Интеграл от функции на отрезке равен площади криволинейной трапеции)

3.Основная формула интегрального исчисления. (Формула Ньютона-Лейбница)

4. Напишите ее.

5.Перечислите основные свойства определенного интеграла.

6. Вычислить интеграл с помощью приближенной формулы средних прямоугольников при n = 10.

Решение.

Здесь .

Так как у нас f(x) = x², то

f(x_1/2) = 0,0025, f(x_3/2) = 0,0225, f(x_5/2) = 0,0625,

f(x_7/2) = 0,1225, f(x_9/2) = 0,2025, f(x_11/2) = 0,3025,

f(x_13/2) = 0,4225, f(x_15/2) = 0,5625, f(x_17/2) = 0,7225, f(x_19/2) = 0,9025.

Складывая эти значения, получаем:

III.Практическая часть.

Историческая справка(сообщение учащегося)

Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей и объемы произвольных тех.

Символ o ydx был введен Лейбницем в 1686 г. В нем знак интеграла представляет как бы удлиненную букву S (первая буква в латинском слове сумма). Термин "интеграл" (от латинского integer - целая, вся - площадь) был предложен в 1696 г. Иоганном Бернулли и одобрен Лейбницем.

К понятию определенного интеграла приводят и другие задачи геометрии, механики и физики, в которых требуется найти предел интегральной суммы.

Обозначение определенного интеграла ввел Ж.Фурье. Числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница носит название "основной формулы интегрального исчисления". Она позволяет сводить сложное вычисление определенных интегралов, т.е. нахождение пределов интегральных сумм, к более простой операции отыскания первообразных.

Дальнейшее развитие интегрального исчисления связано с именем Леонарда Эйлера. Он составил полный курс математического анализа, состоящий из шести книг, три из которых посвятил интегральному исчислению.

Наряду с Эйлером выдающихся результатов в области математического анализа добился крупнейший математик 18 века - Лагранж. Он в 18-летнем возрасте уже занял должность профессора в артиллерийской школе города Турина (Италия), а через пять лет был избран членом Берлинской Академии наук.

Теория интеграла была за тем развита Риманом, который впервые определил необходимые и достаточные условия интегрируемости ограниченной функции. Ему принадлежит общее определение определенного интеграла, поэтому интегральную сумму стали называть "римановской".

Большой вклад в развитие математического анализа в 19 веке внесли российские ученые Остроградский и Чебышев. Работы Чебышева в последствии продолжил его ученик - Ляпунов, Стеклов, Бернштейн и другие. Проблемы теории интегрального исчисления до сих пор волнуют умы математиков всех стран. Дело Чебышева и Остроградского продолжают ученые современной России.

Математика на протяжении всей истории человеческой культуры всегда была её неотъемлемой частью; она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важным компонентом развития личности. На уроке мы еще убедимся в том, что математика нам помогает познать окружающий нас мир, изучать физические законы природы.t,t - с;

(t) - м/с;

S - м.

2

Работа переменной силы f(x) на пути от точки a до точки b

A=

f(x) - H;

a; b - м;

A - Дж.

3

Сила давления жидкости на вертикальную пластину

P=g

g=9,8 м/с;

p - кг/м;

a; b - м;

р - Н.

1. Задача о вычислении пути

Пример 1. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой  = 2t+3t (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

S=(t)dt, (1)

Формула(1)

Решение.

1. t=0с; t = 5с.

2. По формуле (1) найдем путь, пройденный телом за 5 сек.

S=2t+3t)dt = (t)=150(м).

Ответ. S=150 м.

2. Задача Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(6t+2t)м/с, второе - со скоростью v=(4t+5)м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение. Искомая величина есть разность расстояний, пройденных телами за 5 с.

S=6 t+2t)dt = (2t)=275(м)

S=4 t+2)dt = (2t)=75(м)

Таким образом, S= S- S =275-75=200(м).

3.Задача о вычислении работы переменной силы.

Работа A этой силы F вычисляется по формуле:

А=F*s, (2)

Где S - перемещение, м.

Если F - сила упругости, то по закону Гука

F=kx, (2*)

где x- величина растяжения или сжатия,

k - коэффициент пропорциональности.

Работа переменной силы вычисляется по формуле (4)

A= (3)

4.Задача Сила упругости F пружины, растянутой на 1 =0,05м, равна 3H. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 1 = 0,1м?

Решение

1. Определим коэффициент пропорциональности k.

Подставим формулу (2*) F=3 H, x = 0,05 м:

3=k*0,0,5, т.е. k=60, следовательно, F=60x=f(x).

2. Подставив F=60x в формулу (3), найдем значение работы переменной силы, полагая, что а=0; b=0,1:

A==0,3Дж

Ответ. А = 0,3Дж.

5.Задача о силе давления жидкости.

Согласно закону Паскаля величина P давления жидкости на горизонтальную площадку вычисляется по формуле

P=gphS, (4)

Где g - ускорение свободного падения в м/с;

p - плотность жидкости в кг/м;

h- глубина погружения площадки в м;

S - площадь площадки в м;

Сила давления жидкости на вертикальную пластину вычисляется по формуле (5)

P=g. (5)

6.Задача

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найдем силу давления воды (плотность воды 1000 кг/м), наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, размеры которой 0,4мx0,7м.

Решение

1. Стенка имеет форму прямоугольника, поэтому f(x)=0.7x, где x[0;0,4], поэтому пределы интегрирования а=0 и b=0,4.

2. Для нахождения силы давления воды на стену воспользуемся формулой (5).

P=g=56g549H

g=9,8 м/с ускорение свободного падения.

IV.Закрепление пройденного материала

Изменение производительности производства с течением времени от начала внедрения нового технологического процесса задается функцией

,

где t - время в месяцах. Найти объем продукции, произведенной за третий месяц.

Решение.

Объем произведенной продукции - интегральный (суммарный) показатель производства. Если функция z = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени, тогда объем продукции Q(t₁,t₂), за промежуток времени с момента t₁ до момента t₂, вычисляется по формуле

,

т.е. через определенный интеграл.

В нашем случае

.

По формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл вычисляется через приращение первообразной

.

Чтобы вычислить первообразную (или неопределенный интеграл) сначала воспользуемся свойством показательной функции2^{m + n} = 2^m·2ⁿ, чтобы упростить подинтегральное выражение, а затем свойствами линейности интеграла:

1) интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности интегралов;

2) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Первый интеграл табличный. Для вычисления второго сделаем замену переменных

x = -0,5t, откуда

t = -2x; dt = -2dx;

при t₁ = 2 x₁ = -1;

при t₂ = 3 x₂ = -1,5.

Получим

Здесь после замены переменных мы смогли воспользоваться формулой



из таблицы неопределенных интегралов (или аналогичной из таблицы первообразных).

Ответ: Q₃ ≈ 18,5

V. Итоги урока: выставление оценок

Сегодня на уроке мы познакомились с задачами на вычисление некоторых физических величин: пути, работы, силы давления. Кроме этих величин с помощью определенного интеграла можно решать и другие прикладные задачи, например, найти массу стержня переменной плотности, статические моменты и центр масс плоской фигуры, работу по поднятию груза, длину дуги плоской кривой.

С помощью определенного интеграла мы будем в дальнейшем выводить формулы объемов тел вращения.

Домашняя работа

Вычислить интеграл .

Вычислить интеграл .

Вычислить интеграл .

Вычислить интеграл .

Вычислить интеграл .

Вычислить интеграл с помощью приближенной формулы средних прямоугольников, взяв n = 10.

Вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников при n = 10.

Интернет-ресурсы:

www.ziimag.narod.ru - персональный сайт автора Мордковича А. Г. "Практика развивающего обучения".

www.math.ru -Интернет - поддержка учителей математики.

www.it-n.ru-Сеть творческих учителей. Материалы и ресурсы, касающиеся использования ИКТ в учебном процессе:

- библиотека готовых учебных проектов с применением ИКТ, а также различные проектные идеи, на основе которых можно разработать свой собственный проект;

- библиотека методик проведения уроков использованием разнообразных электронных

ресурсов;

- руководства и полезные советы по использованию программного обеспечения в учебном процессе;

- подборка ссылок на интересные аналитические и тематические статьи для педагогов.

www.exponenta.ru -Образовательный математический сайт. Содержит материалы по работе с математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematica, Maple и др. Методические разработки, примеры решения задач, выполненные с использованием математических пакетов. Форум и консультации для студентов и школьников.

http:school-collection.edu -Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Цифровые образовательные ресурсы (ЦОР) к учебникам.

www.intellectcentre.ru</ - сайт издательства «Интеллект-Центр», -тренировочные материалы, демонстрационные версии, банк тренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решений.