Урок решения ключевых задач с помощью квадратных уравнений

Учитель: Максимова Валентина Владимировна

Школа: МБОУ Нижневерейская средняя школа г.о.г. Выкса

Учебник: Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.]. - 14-е изд. - М. : Просвещение, 2007. §31.

Тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Тип урока: Урок решения ключевых задач.

Учебная задача: Выявить посредством уточнения конкретной задачной ситуации этапы решения задач на совместную работу двух объектов с помощью квадратных уравнений.

Диагностируемые цели.

В результате ученик:

1. Знает о существование задач на совместное действие;

2. Имеет начальные практические навыки применения знаний и умений о квадратных уравнениях, способах их решений в разнообразных ситуациях;

3. Умеет анализировать, сравнивать, выделять главное при решении задач на совместную работу с помощью квадратных уравнений.

Структура урока.

1. Мотивационно-ориентировочная часть.

• Актуализация имеющихся знаний и умений учащихся.

• Мотивация.

• Постановка учебной задачи (цели) урока.

• Планирование решения учебной задачи.

2. Операционно-познавательная часть.

• Решение учебно-исследовательской задачи (цели) урока.

3. Рефлексивно-оценочная часть.

• Подведение итогов урока.

• Планирование дальнейшей учебной деятельности.

• Задание на дом.

Ход урока.

1. Мотивационно-ориентировочная часть

• Актуализация имеющихся знаний и умений учащихся

Учитель

Ученик

Сегодня мы полностью посвятим урок решению задач. Начнем, как обычно, с самых простых:

1. На двух принтерах распечатали 340 страниц. Первый принтер работал 10 мин, а второй - 15 мин. Производительность первого принтера

на 4 страницы в минуту больше, чем второго. Сколько страниц в минуту можно распечатать на каждом принтере?

(на доске выполнена таблица к задаче)

объем

время

производительность

1 принтер

х

10 мин

10х

2 принтер

х-4

15 мин

15(х-4)

- Проведем анализ условия задачи, а я буду отражать это в таблице. Сколько ситуаций описано в задаче? Какие?

- Три ситуации - работа первого принтера, работа второго принтера и вся работа.

- Какие величины описывают эти ситуации? В каких единицах они измеряются?

- Работу описывают три величины: объем, время и производительность; единицы их измерения - страницы, мин, стр/мин.

- Какие величины в задаче являются данными, искомыми, неизвестными?

- Данные - время работы каждого принтера и объем; искомые - производительность первого и второго принтеров; неизвестные - производительность каждого принтера за время работы.

- Какие отношения между величинами указаны в задаче? Какие подразумеваются?

- Объем работы неизменен; объем всей работы равен сумме объемов работы на двух принтерах.

- Существует ли зависимость между величинами? Какая?

- p=v·t (p=v/t )

- Существует ли цепочка связей между искомой величиной и данными величинами? Укажите соответствующие действия и дайте подробные пояснения.

- (рассматривают уравнение

10х+15(х-4)=340)

- Согласуется ли полученный результат с действительностью?

- В самом деле, первый принтер может в минуту распечатать 16 страниц, а второй - 12 страниц.

• Мотивация

- Теперь давайте решим более интересную задачу:

2. На перепечатку рукописи первая машинистка тратит на 3 ч меньше, чем вторая. Работая одновременно, они закончили перепечатку всей рукописи за 6 ч 40 мин. Сколько времени потребовалось бы каждой из них на перепечатку всей рукописи?

- Попытайтесь решить эту задачу самостоятельно.

(делают попытки, но сталкиваются с недостаточностью условий или получают разные ответы)

- Чем вы объясните затруднения в проведении решения и различия в полученных ответах?

- Условия задачи недостаточны: не указан объем работы, которую должны выполнить машинистки.

- Обоснуйте свой вывод, покажите, что указать объем работы по перепечатке всей рукописи необходимо для ответа на вопрос задачи.

- Например, объем всей работы равен сумме объемов работы по перепечатке всей рукописи обеих машинисток.

- Все ли возможности совместной работы мы рассмотрели? Выделите все возможные варианты, работая самостоятельно или в группе. Найдите способ их представления в тетради.

(работают в течение 2-3 минут)

- Кто представит результаты работы?

(предлагают свои варианты, критикуют и корректируют)

В результате обсуждения на доске и в тетрадях: 1) объем выполненной работы известен, 2) объем выполненной работы неизвестен.

• Постановка учебной задачи (цели) урока

- Какой же вид задач совместной работы мы будем рассматривать?

- Мы должны рассмотреть все виды задач на совместную работу.

- Умеете ли вы работать с этими видами совместной работы?

- Нет, давайте учиться.

- Давайте. Поставим себе цель на сегодняшний урок - изучить все виды задач совместной работы двух объектов.

Запишем цель в тетрадях.

(записывают)

• Планирование решения учебной задачи

- Как предлагаете действовать для достижения поставленной цели?

- Сначала решим задачу о машинистках, а потом попробуем найти общий способ решения задач на совместную работу. Может быть, у нас получится обобщить решение.

- Попробуем действовать так.

2. Операционно-познавательная часть

• Решение учебно-исследовательской задачи (цели) урока

- Итак, начнем с решения задачи «о машинистках». У нас ситуация, когда объем выполняемой работы неизвестен, то есть, I объект выполнил какую-то работу за t₁ часов, II объект выполнил ту же работу за t₂ часов. Сколько времени они затратят на выполнение этой работы, если будут работать вместе?

А - объем выполняемой работы; ед/ч и ед/ч - производительность труда каждого; + = (ед/ч) - производительность совместной работы; искомое время: t = A : = (ч). Задачи на совместную работу, как правило, составлены так, что в качестве переменных удобнее брать время, а не производительность.

- Какие величины в задаче являются данными, искомыми, неизвестными?

- Данные - общее время работы; искомые - производительность каждой машинистки; неизвестные - объем работы.

- Примем работу по перепечатке всей рукописи за единицу (или за А). Давайте рассуждать вместе.

- Работая вместе, сколько они выполняют за час?

- А за 6 ч 40 мин, т.е. за ч, они выполняют всю работу. Значит, мы приходим к уравнению. К какому?

- Это рациональное уравнение. Как можно записать это уравнение по-другому?

(один из учеников составляет таблицу на доске)

объем

время

производительность

I машинистка

1

х

II машинистка

1

х+3

- Пусть первая машинистка затратит на перепечатку рукописи х часов, тогда второй на эту работу потребуется (х+3) часов. Первая машинистка за час выполняет часть работы, а вторая .

- всей работы

- .

- .

- Что мы имеем?

-

- Преобразовывая левую часть уравнения и приравнивая числитель этой дроби к нулю, вы получаете квадратное уравнение. Какое?

- .

- Какие корни уравнения вы нашли?

-

- Оба значения удовлетворяют условию , следовательно, эти значения - корни составленного рационального уравнения.

- Мы закончили работу с математической моделью. Теперь давайте дадим ответ на вопрос задачи.

- Что спрашивается?

- Сколько времени потребовалось бы каждой машинистке на перепечатку всей рукописи.

- Именно эту величину мы обозначили за х. Получилось, что либо , либо

. Какое значение нас не устраивает?

- Второе,

- Почему же?

- Поскольку время на перепечатку всей рукописи не может выражаться отрицательным числом.

- Значит, выбираем значение . Следовательно, первая машинистка затрачивает на работу 12 часов, а вторая 12ч + 3ч = 15ч. Ответ: 12ч и 15ч.

- Предлагаю вашему вниманию еще одну задачу.

3. На посадке деревьев работали две бригады. Первая бригада ежедневно высаживала на 40 деревьев больше, чем вторая, и посадила 270 деревьев. Вторая бригада работала на 2 дня больше первой и посадила 250 деревьев. Сколько дней работала на посадке деревьев каждая бригада?

- Начнем рассуждать по схеме. Кто желает провести рассуждения вслух?

- Что вы заметили?

- Это верно! Вот нам встретился такой вид задачи, где объем выполненной работы известен.

- Отсюда мы имеем:

- Проверим полученные результаты на правдоподобие.

(один из учеников)

- Пусть х деревьев посадила II бригада, тогда (х+40) деревьев посадила I бригада, - рабочие дни II бригады, - рабочие дни I бригады.

- То, что нам известен объем работы каждой бригады и нам не придется брать за единицу всю работу.

• .

.

, .

- Второе значение, нас не устраивает, поскольку количество посаженных деревьев не может выражаться отрицательным числом. Значит, 50 деревьев в день сажала II бригада.

- 250 : 50 = 5 - рабочие дни II бригады;

270 : 90 = 3 - рабочие дни I бригады.

Ответ: 3 дня и 5 дней.

- Способ решения задач на совместную работу шире, он включает в себя и другие действия. Какие? Предложите способ рассуждения при решении подобных задач

- Сначала надо определить вид задачи: объем выполненной работы известен или объем выполненной работы неизвестен.

- Произвести вычисления по формулам.

- Последовательно найти величины, связывающие совместную работу с искомой величиной.

- В целом предложенный план мне нравится, но я его немного поправлю. Произвести вычисления по формулам сразу не всегда возможно. Поэтому предлагаю вычисления отнести к последнему пункту. Согласны?

- Да.

После уточнений общий способ решения задач на совместную работу фиксируется в виде плана и записывается на доске или вывешивается на плакате:

1. Определить вид задачи: объем выполненной работы известен или объем выполненной работы неизвестен.

2. Выбрать соответствующую модель (формулу) для производительности совместной работы.

3. Определить последовательность отыскания величин.

4. Произвести вычисления.

- Сегодня мы целый урок решаем задачи. Предлагаю вам еще две задачи. Решать задачи полностью не надо, достаточно разработать план решения (открывается их текст):

4. Две бригады, работая вместе, закончили заготовку леса за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной из бригад для этого требуется на 5 дней меньше, чем другой?

5. Две бригады рабочих закончили ремонт участка дороги за 4 ч. Если бы сначала одна из них отремонтировала половину всего участка, а затем другая - оставшуюся часть, то весь ремонт был бы закончен за 9 ч. За сколько времени каждая бригада в отдельности могла бы отремонтировать весь участок?

Если в классе найдутся ученики, способные справиться с заданием, предлагаем им ответить на вопрос, как они нашли верный план. Если же таковых не будет, предлагаем ученикам подобрать для этих задач подобные ситуации из решенных задач.

(один из учеников излагает план решения задач)

- Какой прием мышления помог найти способ решения этих задач?

- Подобрали похожую ситуацию из задачи «О машинистках.

- Такой прием рассуждения, который мы использовали, называют эвристическим («эврика» по-гречески «открытие»). Нам он помог открыть путь к решению задачи.

3. Рефлексивно-оценочная часть

• Подведение итогов урока

- Настала пора подвести итоги всей проведенной на уроке работы. Какую цель мы поставили к уроку?

-Достигнута ли она?

- Мы хотели рассмотреть все виды задач совместной работы двух объектов. Получили формулы и общую схему решения задач на совместную работу.

- Да, достигнута.

- Такой продуктивный у нас получился урок, а названия у него нет. Как вы озаглавили бы наш сегодняшний урок?

- Задачи на совместную работу (записывают тему в тетрадях).

• Планирование дальнейшей учебной деятельности

- Если мы сегодня на уроке так хорошо потрудились, то чем же будем заниматься на последующих уроках?

- Мы должны отработать умения по использованию полученной общей схемы при решении задач.

- Мы решили всего несколько задач, а этого недостаточно для того, чтобы уметь решать все задачи.

• Задание на дом

- Хорошее предложение, начнем работать над задачами уже при выполнении домашнего задания. Запишите его в тетрадях:

1) решить задачи 4 и 5,

2) составить и решить свою задачу о совместной работе с неизвестным объемом работы.