- Учителю
- Практикум по тригонометрии 10 класс
Практикум по тригонометрии 10 класс
VI. Формулы половинного аргумента (знак - по функции в левой части):
VII. Формулы сумм:
VIII. Формулы произведений:
IX. Универсальная тригонометрическая подстановка:
X. Некоторые дополнительные формулы:
1. Считая числовую окружность образом беговой дорожки стадиона, отметьте на ней конец дистанции: а) 1500 м; б) 42 км 195 м.
2. Дана окружность радиуса 1 см. Чему равна длина: а) всей окружности; б) ее половины; в) ее четверти?
Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ - первая, ВС - вторая, CD - третья, DA - четвертая.
Опираясь на эту геометрическую модель, решите задачи № 3, 4, 5, 6, 7, 8.
3. Первая четверть разделена точкой М на две равные части, а точками К и Р - на три равные части (точка Р между М и В). Чему равна длина дуги: АМ, МВ, АК, КР, РВ, АР, КМ?
4. Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья четверть разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и D). Чему равна длина дуги: АМ, ВК, МР, DC, КА, ВР, СВ, ВС?
5. Вторая четверть разделена точкой М пополам, а четвертая четверть разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и А). Чему равна длина дуги: АМ, АК, АР, РВ, МК, КМ?
6. Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвертая разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и А). Чему равна длина дуги: АМ, ВD, CK, MP, DM, MK, СP, PС?
7. Третья четверть разделена точкой Р в отношении 1 : 5. Чему равна длина дуги: СР, PD, АР?
8. Первая четверть разделена точкой М в отношении 2 : 3. Чему равна длина дуги: АМ, МВ, DM, МС?
9. Выразите в радианах:
1) 1; 4) 10; 7) 15; 10) 30;
2) 45; 5) 60; 8) 70; 11) 90;
3) 225; 6) 240; 9) 320; 12) 330.
10. Переведите из градусной меры в радианную:
1) 120; 3) 220; 5) 300; 7) 765;
2) 210; 4) 150; 6) 315; 8) 675.
11. Выразите в градусах:
1) ; 4) ; 7) ; 10) ;
2) ; 5) ; 8) 1,5; 11) 3;
3) 0,25; 6) ; 9) -; 12) .
12. Переведите из радианной меры в градусную:
1) ; 3) ; 5) ; 7) ;
2) ; 4) ; 6) ; 8) .
13. Окружность разделена на шесть равных частей. Выразить в градусах и радианах сумму дуг:
1) ;
2) .
14. Угол А трапеции ABCD (AD || BC) на 70 меньше угла В и на 10 больше угла D. Найдите радианную меру каждого из углов трапеции.
15. Перечертите в тетрадь и заполните таблицу:
-
1
3
5
9
12
18
30
45
90
16. Один из углов треугольника больше другого на 20 и меньше третьего на 50. Найдите радианную меру каждого из углов этого треугольника.
17. Записать общий вид углов для случаев, когда конечный радиус их занимает положение: 1) ОВ; 2) ОС и найти несколько частных значений этих углов.
18. В какой четверти находится конечная точка поворота на угол:
1) 220; 3) -160; 5) 906;
2) 285; 4) -290; 6) 4825?
19. Представьте в виде 0 + 360 п (0 [0; 360), п Z) углы:
1) 840; 3) -1700; 5) 3200; 7) -2450;
2) 1200; 4) -3900; 6) 3500; 8) -3100.
I. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:
II. Формулы (теоремы) сложения аргументов:
III. Формулы приведения:
1) функция меняется на кофункцию при переходе через вертикальную ось и не меняется при переходе через горизонтальную;
2) перед приведенной функцией ставится знак приводимой функции, считая углом первой четверти.
IV. Формулы двойного аргумента:
V. Формулы понижения степени:
128. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из его катетов на отрезки 3 см и 4 см. Вычислите косинусы острых углов треугольника.
129. В квадрат со стороной а вписан другой квадрат так, что вершины второго квадрата лежат на сторонах первого, а сторона второго квадрата образует угол со сторонами первого. Найдите сторону вписанного квадрата.
130. Пусть , и - углы некоторого треугольника. Докажите, что для них выполняются следующие соотношения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) sin cos cos + cos sin cos + cos cos sin = sin sin sin ;
11) tg tg + tg tg + tg tg = 1;
12) ctg ctg + ctg ctg + ctg ctg = 1;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) .
20. Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:
1) ;
2) .
21. Отметьте на координатной окружности точки, соответствующие числам:
1) ; 2) .
22. Какой четверти числовой окружности принадлежит число:
1) ; 2) ; 3) 100?
23. Запишите три числа, которые изображаются на окружности той же точкой, что и .
24. Часы отстали на 18 минут. На какой угол надо повернуть минутную стрелку, чтобы часы показывали верное время?
25. Переведите углы из градусной меры в радианную:
1) 36; 3) -120; 5) 870; 7) -2510;
2) 265; 4) -135; 6) 1020; 8) -2940.
26. Найдите радианную меру дуг:
1) 18; 3) -252; 5) 1530;
2) 324; 4) 828; 6) -2490.
27. Чему равна градусная мера углов:
1) ; 3) ; 5) - ; 7) ;
2) ; 4) ; 6) - ; 8) ?
28. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:
1) ; 3) ; 5) - ;
2) ; 4) ; 6) - .
29. Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:
1) ;- ; 3) ;-2;
2) ;- ; 4) 2;- .
30. На числовой окружности укажите точку, соответствующую числу:
1) 7;3) 10;- ;
2) 4;- ; 4) 3;.
31. Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая числу:
1) 6,1; 4) 2,8; 7) 4,8; 10) 31;
2) 5,4; 5) 3,2; 8) 1,4; 11) -17;
3) -4,3; 6) -5,1; 9) -2,8; 12) -95?
32. Какой четверти принадлежат точки:
1) ; 3) ; 5) 4,3; 7) 20;
2) ; 4) - ; 6) -3,3; 8) -100?
33. Как расположены на числовой окружности точки, соответствующие числам:
1) t и -t; 3) t и t + ;
2) t и t + 2k, k Z; 4) t - и и t + ?
34. Ведро в колодце поднимается на 2 м, если рукоятка ворота повернута на пять полных оборотов по часовой стрелке. На какой угол надо повернуть рукоятку ворота, чтобы ведро: 1) поднялось на 1,5 м?
2) опустилось на 1,25 м?
35. Вычислите:
1) 2sin 30 - tg 45 + ctg 30;
2) ;
3) 6cos 30 - 3tg 60 + 2sin 45;
4) ;
5) ;
122. Замените произведение тригонометрических функций суммой:
1) cos 52 cos 22; 5) cos 50 cos 58;
2) 2 sin 52 cos 8; 6) sin 31 cos 41;
3) sin 52 sin 7; 7) 2 sin 24 sin 44;
4) ; 8) .
123. Упростите выражения:
1) cos 3 cos - cos 7 cos 5; 3) sin 4 cos 3 - sin 5 cos 2;
2) cos 3 cos - sin 3 sin ; 4) sin 4 cos 3 - cos 4 sin 3.
124. Преобразуйте выражения:
1) cos 7 cos 3 + sin 8 sin 2; 2) cos 7 cos 3 + sin 7 sin 3.
125. Проверьте равенства:
1) ; 4) ;
2) ; 5) ;
3) sin 5 - 2 cos 4 sin = sin 3; 6) cos 3 - 2 sin 2 sin 5 = cos 7.
126. Вычислите:
1) tg 15 + tg 75; 5) ;
2) cos2 3 + cos2 1 - cos 4 cos 2; 6) ;
3) tg 41 tg 43 tg 45 tg 47 tg 49; 7) ;
4) tg 20 tg 40 tg 50 tg 70; 8) .
127. Вычислите значение выражения
, если .
116. Докажите тождество:
.
117. Упростите выражение:
1) ; 5) ;
2) ; 6) ;
3) ; 7) ;
4) ; 8) .
118. Вычислите:
1) cos 95 + cos 94 + cos 93 + cos 85 + cos 86 + cos 87;
2) tg 9 - tg 27 - tg 63 + tg 81;
3) .
119. Преобразуйте выражение:
120. Тангенсы двух углов треугольника равны соответственно 1,5 и 5. Найдите третий угол треугольника.
121. Преобразуйте произведение в сумму:
1) sin 42 cos 12; 5) cos 23 cos 27;
2) cos 42 cos 18; 6) 2 sin 18 sin 22;
3) 2 sin 42 sin 3; 7) sin 40 cos 56;
4) ; 8) .
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
36. Найдите значение выражения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) 4cos 180 - 3sin 270 + 3sin 360 - ctg 90.
37. (Устно). Существуют ли числа , и , для которых:
1) ;
2) ;
3) ?
38. Оцените выражение, т.е. укажите его наименьшее и наибольшее значение:
1) 1 + 2sin ; 4) 2sin x + 3; 7) 1 - 4cos2x;
2) 4sin + 1; 5) 2cos2; 8) 4 + cos( - 15);
3) 1 - 3cos ; 6) 5 + 2cos2x; 9) 2 - sin ( - ).
39. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения:
1) 3sin x - 1; 3) 2cos x - 3; 5) 10 - 9sin2x;
2) 2 + 3cos x; 4) 5 - 4sin x; 6) sin2x - 5.
40. Определить, в какой четверти находится конечная точка поворота на угол и каковы знаки cos и sin , если угол равен:
1) 260; 3) 565; 5) -915; 7) 8760;
2) 290; 4) 480; 6) -825; 8) 8000.
41. Определить знак каждого из данных произведений:
1) sin 100 sin 132; 5) ctg 300 sin 222;
2) cos 210 sin 115; 6) sin 118 cos 118 tg 118;
3) cos 285 cos 316; 7) sin 2,1 ctg 2,1 cos 2,1;
4) tg 112 sin 165; 8) cos 123 tg 123 sin 312.
42. Какой знак имеет произведение sin cos tg , если число равно:
1) 4,1; 2) - 240; 3) ?
43. Вычислите:
1) ;
2) ;
3) .
44. Найдите значение выражения:
1) ;
2) ;
3) .
45. Найдите значение:
1) cos 2550; 5) sin(-4005); 9) cos(-2220);
2) tg 2205; 6) tg 3630; 10) sin(-3555);
3) sin 3300; 7) ctg 2100; 11) tg(-2460);
4) ctg 2130; 8) cos(-3210); 12) ctg(-2115).
46. Вычислите:
1) sin 2580; 3) tg(-2835); 5) ctg(-2565);
2) ctg 2190; 4) sin 2490; 6) cos(-2820).
109. Вычислите:
.
110. Известно, что , где . Вычислите .
111. Вычислите .
112. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен . Найдите синус угла при основании.
113. Преобразуйте сумму в произведение и упростите результат, если это возможно:
1) sin 50 + sin 20; 4) cos 160 + cos 80; 7) cos 3 - cos 5;
2) cos 28 - cos 12; 5) sin 83 - sin 23; 8) sin 10 + cos 40;
3) ; 6) ; 9) .
114. Замените сумму произведением:
1) cos 40 - cos 10; 4) cos 37 + cos 23; 7) cos 20 - cos 70;
2) sin 42 - sin 26; 5) sin 130 + sin 110; 8) sin - sin 3;
3) ; 6) ; 9) .
115. Упростите выражение:
1) ; 5) ;
2) ; 6) ;
3) ; 7) ;
4) ; 8) .
99. Упростите выражения:
1) ; 3) ; 5) ;
2) ; 4) ; 6) .
100. Преобразуйте следующие выражения:
1) ;
2) ; 3) .
101. Вычислите без помощи калькулятора или таблиц:
1) ; 2) .
Вычислите:
102. , если .
103. , если .
104. tg (4х - у), если .
105. (sin 4 + 2sin 2) cos , если .
106. Упростите выражение .
107. Найдите значение выражения:
1) ; 2) .
108. Без помощи таблиц или калькулятора вычислите:
.
47. Определите:
1) ; 5) ; 9) ;
2) ; 6) ; 10) ;
3) ; 7) ; 11) ;
4) ; 8) ; 12) .
48. Вычислите:
1) ; 3) ; 5) ;
2) ; 4) ; 6) .
49. С помощью тригонометрической окружности решите уравнения:
1) ; 3) ; 5) ;
2) ; 4) ; 6) .
50. Используя единичную окружность, решите уравнения:
1) ; 3) ; 5) ;
2) ; 4) ; 6) .
51. Найдите значения тригонометрических функций угла , если известно, что:
1) ; 3) ;
2) ; 4) .
52. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:
1) ; 2) .
53. Упростите выражения (предпочтительно устно):
1) 4cos23 + 4sin23; 2) 2sin25 + 2cos25;
3) 1 - sin23x; 4) 1 - cos24;
5) sin27y - 1; 6) cos23t - 1;
7) 2sin2t - 1; 8) 1 - 2cos23;
9) tg 3 ctg 3; 10) ctg 1,1 tg 1,1;
11) tg cos ; 12) sin 2 ctg 2;
13) ctg2 sin2; 14) tg2 cos2;
15) tg cos sin ; 16) sin 2 cos 2 ctg 2;
17) (1 - cos 3)(1 + cos 3); 18) (1 - sin 2)(1 + sin 2);
19) (sin t + 1) (sin t - 1); 20) (cos 5 - 1)(1 + cos 5);
21) sin2 cos2 + cos4; 22) sin4 + sin2 cos2;
23) (sin - cos )2 + (sin + cos )2;
24) (3sin t + 4 cos t)2 + (4sin t - 3 cos t)2.
54. Преобразуйте следующие выражения:
1) sin2 + cos2 - cos2; 13) cos2 + cos2 ctg2;
2) tg x ctg x - cos23; 14) sin4 + cos2 - cos4;
3) tg25 + tg t ctg t; 15) sin4 + sin2 cos2 + cos2;
4) (1 - sin23) tg23; 16) tg2 - sin2 - tg2 sin2;
5) ctg2(cos2 - 1) + 1; 17) (ctg2 - cos2) tg2;
6) 1 + cos2 - sin2; 18) ctg2y (1 - cos y)(1 + cos y);
7) 1 - sin cos ctg ; 19) ;
8) (tg cos )2 + (ctg sin )2; 20) ;
9) 2 - cos2 tg2 - cos2; 21) ;
10) ; 22) ;
11) ; 23) ;
12) ; 24) .
95. Упростите выражения:
1) 0,5 sin 2 ctg ; 5) cos2 2x - 4 sin2 x cos2 x;
2) 2 sin2 + cos 2; 6) 2sin2 4 + cos 8 + 1;
3) cos2 4 - cos 8; 7) 4 sin4x + sin2 2x.
96. Преобразуйте выражение:
1) sin 2t ctg t - 1; 7) ctg (1 - cos 2);
2) ; 8) ;
3) ; 9) (tg t + ctg t) sin 2t;
4) ; 10) ;
5) ; 11) ;
6) ; 12) .
97. Выполните преобразование:
1) ; 5) tg (1 + cos 2);
2) ; 6) ;
3) ; 7) ;
4) ; 8) .
98. Вычислите:
1) ;
2) .
(Указание: представьте 3 = 2 + 1, 1 = 2 - 1, 4 = 2 2, 2 = 2 1).
87. Применить формулы двойного угла к следующим выражениям:
1) sin 80; 5) cos 46; 9) tg 72;
2) sin 4; 6) cos 6; 10) tg 8;
3) sin 15y; 7) cos 13x; 11) tg 11;
4) ; 8) ; 12) .
88. Применить формулы двойного угла к следующим выражениям:
1) sin 42; 4) cos 38; 7) tg 54;
2) sin 10; 5) cos 12; 8) tg 14;
3) ; 6) ; 9) .
Вычислите:
89. а) sin 15; б) cos 75.
90. а) cos 15; б) sin 75.
91. 1) cos 20 cos 40 cos 80;
2) ;
3) .
92. Дано: . Найти sin 2, cos 2, tg 2.
93. Дано: . Найти sin 2, cos 2, tg 2.
94. Упростите выражения:
1) 2 cos2x tg x; 5) 8 sin2 cos2 + cos 4;
2) cos 6 + sin2 3; 6) 1 + 2cos2 t - cos 2t;
3) cos 2 - 2 cos2; 7) 4 sin4x + sin2 2x;
4) 1 + cos 2; 8) cos4 - sin4.
55. Упростите выражения:
1) sin2x - tg 2 ctg 2; 10) sin2 tg2 + sin2;
2) sin24 + tg2 + cos24; 11) cos4x - sin4x + sin2x;
3) tg 3 ctg 3 + ctg2x; 12) sin2 + sin2 cos2 + cos4;
4) 7 - 4sin2 - 4cos2; 13) cos2t + ctg2t cos2t - ctg2t;
5) cos ctg sin - 1; 14) (ctg2 - cos2) tg2;
6) ; 15) ;
7) ; 16) ;
8) ; 17) ;
9) ; 18) .
56. Преобразуйте выражения:
1) ; 7) ;
2) ; 8) ;
3) ; 9) sin t cos t (tg t + ctg t);
4) ; 10) sin t - cos t (tg t + ctg t);
5) ; 11) ;
6) ; 12) .
57. Замените выражение ему равным:
1) ; 7) ;
2) ; 8) ;
3) ; 9) ;
4) ; 10) ;
5) ; 11) ;
6) ; 12) .
58. Зная значение одной функции угла , найдите значения остальных тригонометрических функций этого угла:
1) ; 2) .
59. Вычислите остальные три тригонометрические функции, если:
1) ; 2) .
60. Упростите выражения:
1) ; 7) ;
2) ; 8) ;
3) ; 9) ;
4) ; 10) ;
5) ; 11) ;
6) ; 12) .
81. Тангенсы трех острых углов соответственно равны , , . Докажите, что первый угол равен сумме двух других углов.
82. Синусы острых углов треугольника соответственно равны и . Найдите косинус внешнего угла треугольника, не смежного с двумя данными.
83. Вычислите:
1) tg 420 + 2cos 870 - 2 cos 1410;
2) ;
3) 3tg 930 + sin 1200 - cos 1770.
84. Найдите значение выражения:
1) 3tg 570 - 2cos 1350 + 2 sin 1200;
2) ;
3) 2sin 750 + sin 1230 + ctg 1395.
85. Преобразуйте в синус, косинус или тангенс некоторого угла выражение:
1) 2 sin cos ; 7) cos2 70 - sin2 70;
2) 2 sin 12 cos 12; 8) cos2 112,5 - sin2 67,5;
3) 2 cos 105 sin 105; 9) ;
4) 4 sin cos cos 2; 10) sin2 3x - cos2 3x;
5) ; 11) ;
6) 8 cos 2x cos 4x cos 8x; 12) .
86. Упростите выражение:
1) 2 sin 2 cos 2; 5) cos2 75 - sin2 75;
2) 2 cos 72 sin 72; 6) cos2 22,5 - sin2 22,5;
3) 3 sin cos cos 2; 7) cos2 5 - sin2 5;
4) 16 cos 3x cos 6x cos 12x; 8) .
77. Вычислите:
1) cos 73 sin 103 + cos 17 sin 13; 6) cos 73 sin 107 + sin 73 sin 197;
2) sin 170 cos 20 + sin 20 cos 350; 7) cos 109 cos 49 + cos 41 sin 71;
3) cos 118 cos 28 - cos 152 sin 28; 8) sin 7 cos 217 + cos 7 cos 53;
4) cos 5 cos 40 - sin 140 sin 175; 9) sin 22 cos 203 + cos 22 cos 113;
5) ; 10) .
78. Найдите значение выражения:
1) sin 49 cos 11 + cos 229 cos 101; 5) cos 11 sin 236 - sin 214 sin 11;
2) sin 43 cos 13 + cos 103sin 47; 6) sin 175 cos 140 - sin 85 cos 50;
3) ; 7) ;
4) ; 8) .
79. Упростите выражения:
1) ;
2) ;
3) .
80. Преобразуйте выражения:
1) ;
2) ;
3) .
61. Преобразуйте выражения:
1) ; 6) ;
2) ; 7) ;
3) ; 8) ;
4) ; 9) .
5) ;
62. Докажите тождество:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
63. Покажите, что при всех допустимых значениях углов значение выражения не зависит от величины угла:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
64. Вычислите:
1) sin 17 cos 13 + cos 17 sin 13; 6) sin 20 cos 50 - cos 20 sin 50;
2) sin 9 cos 99 - sin 99 cos 9; 7) cos 10 cos 35 - sin 35 sin 10;
3) ; 8) ;
4) sin 15 sin 15 - cos 15 cos 15; 9) sin 22,5 sin 22,5 - cos 22,5 cos 22,5;
5) ; 10) .
65. Найдите значение выражения:
1) sin 10 cos 20 + sin 20 cos 10; 6) cos 109 cos 49 + sin 109 sin 49;
2) sin 50 cos 20 - cos 50sin 20; 7) cos 71 sin 11 - sin 71 cos 11;
3) ; 8) ;
4) ; 9) ;
5) ; 10) .
66. Упростите выражения:
1) ; 4) ;
2) ; 5) ;
3) ; 6) .
67. Упростите следующие выражения:
1) ; 3) ;
2) ; 4) .
Дано:
68. Найти: а) tg ( + ); б) tg ( - ).
69. Найти sin ( - ).
70. Найти tg ( - ).
71. . Найти cos( + + ).
72. Упростите выражения:
1) ;
2) .
73. Замените тригонометрической функцией угла :
1) ; 5) ; 9) ;
2) ctg ( + ); 6) tg (180 - ); 10) cos (90 - );
3) cos (2 - ); 7) sin (180 + ); 11) sin (270 - );
4) sin (2 + ); 8) ctg (360 - ); 12) tg (270 + ).
74. Упростите выражение:
1) ; 2) ; 3) tg ( - 2).
75. Преобразуйте выражение:
1) ; 2) ; 3) .
76. Приведите к тригонометрической функции угла :
1) ; 5) ; 9) ;
2) tg ( + ); 6) ctg ( - ); 10) cos ( - );
3) cos (2 + ); 7) sin ( + ); 11) ctg ( - 360);
4) tg (90 - ); 8) cos (90 + ); 12) tg (- + 270).
26 3