К презентации День науки

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ВЕРХ-АЛЛАКСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

Исследовательская работа по математике:

«Эти простые числа»

Выполнила: Середа Антонина, ученица 5 класса

Руководитель: Кригер Лариса Ивановна,

учитель математики

с. Верх-Аллак

2016

Оглавление

I. Введение. ………………………………………………………………3 стр.

II. Основная часть. ……………………………………………............4 - 9 стр.

1. Понятие простого числа и его значимость.

2. Из истории простых чисел.

3. Бесконечность ряда простых чисел.

4. Формулы для нахождения простых чисел.

Самое большое простое число.

5. Свойства простых чисел.

6. Применение простых чисел.

III. Заключение …………………………………………………………....9 стр.

IV. Источники информации …………………………………………….11 стр.

V. Приложения. ……………………………………………………..12 - 17 стр.

« В сочетании цифр есть безусловная магия,

не чувствуют ее лишь люди, начисто

лишенные воображения. »

Борис Акунин.

1. Введение

Интерес к изучению простых чисел возник у людей в глубокой древности. Вызван он был не только практической необходимостью. Привлекала их магическая сила.

Человеку свойственно любопытство. Сколько звезд на небе, сколько шишек на ёлке, сколько игрушек переломано, чтобы узнать, как они устроены, что находится внутри. Люди, сохранившие на всю жизнь это любопытство, - учёные.

Простые числа с давних времен привлекали внимание математиков. В математике они играют важную роль, ведь эти числа входят множителями в любое составное число - «составляют» его. Простые числа следуют в числовом ряду одно за другим по закону, который еще не найден.

С понятием «простого числа» я впервые познакомилась на уроках математики в этом году. Эта тема меня заинтересовала. Я решила провести исследование и с помощью дополнительной литературы и других источников, узнать тайны простых чисел - историю их возникновения, и как часто они встречаются в различных произведениях.

Итак, предметом исследования являются простые числа.

Объект исследования: множество натуральных чисел.

Цель работы: Узнать больше о простых числах и сделать книжку - подсказку, о них.

Для достижения этой цели я поставила следующие задачи:

• провести социологический опрос с учащимися нашей школы по темам: «Какие вы знаете песни, поговорки, пословицы, стихи и название сказок, в которых встречаются простые числа», «Самое любимое простое число до 20»;

• изучить литературу по этой теме и исторические сведения о простых числах;

• понять принцип выделения простых чисел из натурального ряда, используя метод «Решето Эратосфена»;

• выяснить, существует ли самое большое простое число;

• познакомиться со свойствами простых чисел.

• собрать песни, поговорки, пословицы, стихи и названия сказок, в которых встречаются простые числа.

Предлагаемая работа является результатом исследования множества простых чисел, проведенного по таблице простых чисел и по литературным источникам.

Методы исследования: социологический опрос, сбор информации, её изучение, анализ данных, обобщение теоретического материала, рефлексивное осмысливание результатов.

2. Основная часть

1. Понятие простого числа и его значимость.

Слово «простой» в толковом словаре русского языка С.И.Ожегова обозначает «однородный по составу, не составной, не сложный, не трудный, легкодоступный пониманию, осуществлению». В энциклопедии «Викисловарь» значение слова «простой»: доступный и не требующий много времени и усилий для понимания, решения, выполнения, описания, использования; ничем не выделяющийся среди прочих, обыкновенный, типичный, стандартный; недорогой, без дополнительных функций, опций, аксессуаров, дополнительных этапов при производстве, ингредиентов и специй.

Так неужели эти числа так просты, понятны и доступны? Соответствуют ли они своему названию?

Перед тем, как приступить к работе, я провела социологический опрос с учащимися нашей школы по темам: «Знаете ли вы песни, поговорки, пословицы и стихи, в которых встречаются простые числа?» Из опрошенных 31 учащегося, 28 ответили - «знаю», 3 - «не знаю».

Каждый из них отвечал на вопрос и называл либо песни, пословицы и поговорки, загадки, название сказок, стихи и песни. После обработки данных, выяснилось, что пословицы и поговорки, где встречаются простые числа, знают 39% опрошенных, такие как «Два сапога - пара. Заблудиться в трех соснах. Пятое колесо в телеге. У семи нянек дитя без глазу» и т.д.,

загадки - 23%, «Два братца пошли в реку купаться (вёдра). Я стою на трех ногах, ноги в черных сапогах. Зубы белые, педаль. Как зовут меня? (рояль). Пять ступенек - лесенка, на ступеньках - песенка (ноты). Ежедневно в 7 утра, я трещу: вставать порррррра! (будильник)», название сказок - 14% «Три медведя. Белоснежка и 7 гномов», а песни «Три танкиста - три веселых друга… В 41 в сорок памятном году…» и стихи

Три цвета есть у светофора,

Они понятны для шофёра:

Красный свет -

Проезда нет.

Жёлтый -

Будь готов к пути,

А зелёный свет - кати! - по 12%.

Учащимся было предложено назвать « Самое любимое простое число до 20». На диаграмме видно, что одно из названных «любимых» простых чисел - это число «3», так ответили 15 человек, число «2» - «любимое» у 5 человек, число «5» - у 7 человек, а числа «11» и «17» - выбрали по 1 человеку.

Но почему же так много простых чисел в песнях, поговорках, пословицах, названиях сказок и стихах?

Согласно Пифагору, число 5 - это совершенное число человеческого микрокосма. Аристотель также добавил 5-й элемент к 4-м стихиям (огонь, вода, воздух, земля) и назвал его эфиром. Также число 5 имеет духовное значение в других культурах. Все, что происходит во Вселенной, связано с числом пять.

Число 7 считается самым счастливым числом. Существует 7 дней в неделе, 7 смертных грехов и семь добродетелей, 7 континентов, 7 цветов радуги, 7 музыкальных нот, 7 дней Творения и многое другое.

В Европе есть поверье, согласно которому 7-ой сын 7-го сына обладает магической силой. Также число 7 чаще всего является любимым числом людей во всем мире.

Число 13 стало символом дурного предзнаменования наряду с популярностью пятницы 13-го. Даже в наши времена, вы можете заметить, что во многих зданиях отсутствует 13-й этаж.

Число 13 имеет религиозное происхождение у христиан, так как во время тайной вечери 13-й апостол предал Иисуса. После этого я обратилась к истории простых чисел.

2. Из истории простых чисел.

Оказывается, интерес к ним проявляли ещё математики Древней Греции. Они были знакомы с некоторыми свойствами простых чисел, располагали простейшими алгоритмами их поиска и, безусловно, видели их математическую красоту.

Древнегреческим учёным Евклидом был доказан ряд важных утверждений, касающихся простых чисел: существует бесконечно много простых чисел; каждое целое число, в сущности, единственным способом можно представить в виде произведения простых чисел (15 = 3 • 5, 18 = 2 • 3 • 3).

ПИФАГОР - (6 век до. н. э) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел.

Любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа - это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.

В ряду натуральных чисел встречаются неравномерно - в одних частях ряда их больше, в других - меньше. Но чем дальше продвигаться по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Евклид (3 век до н. э.) доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть еще большее простое число.

Для отыскания простых чисел Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до кого- то числа, а потом вычеркивал 1, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т.е. 4, 6, 8....). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивали через 2 все числа, идущие после 3 (числа кратные 3, т.е. 6, 9,12 и т.д.). В конце концов, оставались не вычеркнутыми только простые числа.

Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычеркивали, а выкалывали иглой, то таблицы в конце вычислений напоминало решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете "отсеиваются" простые числа от составных.

Итак, простыми числами от 2 до 60 являются 17 чисел: 2, 3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59.

Таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.

3. Бесконечность ряда простых чисел.

Было замечено, что по мере продвижения от малого числа к большему в натуральном ряду простые числа встречаются всё реже. Поэтому возникает вопросов: существует ли последнее простое число в ряду натуральных чисел, т. е. имеет ли ряд простых чисел конец?

Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20) около 300 лет до нашей эры. Он доказал, что за каждым простым числом имеется ещё большее простое число, т. е. существует бесчисленное множество простых чисел.

Он рассуждал так. Пусть их число конечное, тогда перемножим их все и к произведению прибавим единицу. Полученное число при делении на все простые числа будет давать в остатке единицу, следовательно, это число не может быть составным. Значит, оно простое. Но оно больше, чем любое из простых чисел, которые мы перемножили! А мы предположили, что в произведение вошли все простые числа. Таким образом, предположение о конечности количества простых чисел привело нас к противоречию, следовательно, простых чисел бесконечно много.

Таким образом, какую бы длинную серию последовательности составных чисел мы не встретили в ряду натуральных чисел, мы можем быть убеждены в том, что за нею найдется ещё бесконечно большее число.

4. Формулы для нахождения простых чисел.

Самое большое простое число.

Леонард Эйлер указал на формулу P = n² - n + 41. В ходе проверки выяснилось, при всех целых значениях n от 0 до 40 она даёт простые числа.

n = 1, Р = 1² - 1 + 41 = 41;

n = 3, Р = 3² - 3 + 41 = 47;

Однако при n = 41 формула перестаёт «работать».

2 147 483 647 - самое большое простое число, которое в своё время нашел Эйлер.

Из источников, я нашла еще один способ вычисления простых чисел. Задаётся она двумя чередующимися формулами: (3*m) + n и (3*n) + m,

где m - нечётные числа последовательности натуральных чисел, а n - чётные.

Например:

(3*1) + 2 = 5

(3*2) + 1 = 7

Самым большим простым числом на сегодняшний день является число 2^57885161 - 1, число французского монаха Марен Мерсенна (1588-1648 годы).

Оно было найдено американским профессором Кёртисом Купером из университета Центральной Миссури в январе 2013 года. Оно является 48-м числом Мерсенна. Для записи числа - рекордсмен, используется 17 425 170 знаков. Для того чтобы распечатать его на бумаге, понадобится более 13 тысяч страниц формата А 4. Открытие нового «рекордсмена» принесло Куперу денежный приз в размере 3 тысяч долларов.

5. Свойства простых чисел.

Простые числа - простой математический объект, но загадок они доставили математикам немало и многие ещё не разгаданы.

• Ряд простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,……, кроме 2, нечетные.

• Пары чисел, которые отличаются на 2, как 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73 и т. д., получили образное название «близнецы».

• Числа-палиндромы, каждое равно обращённому: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

• Симметричные простые числа: 4 пары двузначных 13 - 31, 17 - 71, 37 - 73, 79 - 97; 14 пар трёхзначных чисел 107 - 701, 113 - 311, 149 - 941, 157 - 751, 167 - 761, 179 - 971, 199 - 991, 337- 733, 347 - 743, 359 - 953, 389 - 983, 709 - 907, 739 - 937, 769 - 967.

• Сумма двух простых чисел может быть простым числом: 2 + 3 = 5; 2 + 11 = 13 и др., но при условии, что одно из этих чисел будет равно 2, иначе сумма двух нечётных чисел будет чётным числом, следовательно, делится на 2 и не является простым.

• Сумма двух последовательных натуральных чисел может оказаться простым числом: 2 + 3 = 5; 3 + 4 = 7; 5 + 6 = 11; 6 + 7 = 13; 8 + 9 = 17 и т. д.

• Любое чётное число, большее 2, можно представить в виде сумму двух простых чисел: 4 = 2 + 2; 8 = 3 + 5 и т. д., а любое нечётное число, большее 5 - в виде суммы трёх простых чисел: 7 = 2 + 2 + 3; 11 = 3 + 3 + 5.

6. Применение простых чисел.

Простые числа являются не только объектом пристального изучения математиками всего мира, но уже давно и успешно используются. Наиболее распространенным примером использования простых чисел является применение их в криптографии (шифровании данных). Самые безопасные и трудно дешифруемые методы криптографии основаны на применении простых чисел, имеющих в составе более трех сотен цифр.

Я узнала, что знание открытых законов позволит создать качественно новые решения в следующих областях:

• Наиболее распространенным примером использования простых чисел является применение их в криптографии (шифровании данных)

• Сверхзащищённая система для банков.

• Система борьбы с поддельными денежными знаками.

• Система борьбы с распространением компьютерных вирусов.

Ш. Заключение

Несмотря на то, что мы живём в век компьютеров и самых современных информационных технологий, следует признать, что огромное количество загадок, связанных с этими тайными числами, все ещё ждут своих разгадок. Изучив весь материал, я пришла к выводу:

• простые числа - загадка с более чем 2000-летней историей, многие ученые на протяжении многих веков вносили свой вклад в изучение этих чисел;

• они представляют собой как бы кирпичики, из которых строятся все остальные числа;

• последовательность простых чисел бесконечна;

• не существует формулы, по которой можно было бы вычислить простые числа;

• не существует самого большого простого числа;

• простые числа имеют магическую силу;

• в настоящее время исследование темы продолжается.

Результат:

• Приобретение навыков исследовательской работы;

• Создана книжка-подсказка про простые числа.

Считаю, что работа может быть использована как дополнительный материал к уроку математики в 5,6 классах, во внеурочной деятельности, на факультативных занятиях. Тема исследования очень интересна, актуальна, не имеет границ изучения, должна вызвать широкий интерес у учащихся.

IV. Источники информации

1. Арифметика: 5 класс: Учебник для общеобразоват. учеб. заведений/С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. - М.: Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1996.

2. «Википедия» - свободная энциклопедия. Интернет.

3. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М; «Мнемозина», 2012г.

4. Детская энциклопедия, том 2, 2-ое издание. - М.: Издательство «Просвещение»,1965.

5. Зельцер И. С., Кордемский Б. А.Занятные стайки простых чисел. // Математика в школе, 1988, № 6.

6. Ожегов С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка3-е изд., стереотипное, - М; «АЗЪ», 1996г.

7. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы. - М.: Просвещение, 1990.

8. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П.Савин. - М.: Педагогика, 1989.

9. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А. П. Савин, В. В. Станцо и др. - М.: ООО «Фирма «Издательство АСТ», 1999.

10.Исследовательские работы «Тайна простых чисел» А. Величко, «Простые числа» А. Шаврина.

11. ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число

12. ppt4web.ru/matematika/resheto-ehratosfena.html</<font size="4">