Конспект занятия элективного курса по математике, 10 класс. Конспект элективного урока по математике (10 класс) Тема занятия: «Исследование функций с помощью производной. Выпуклость и то

Конспект занятия элективного курса по математике, 10 класс.

Семяшкина Елизавета Михайловна, учитель математики МБОУ «Сизябская СОШ».
Тема занятия: «Исследование функций с помощью производной. Выпуклость и точки перегиба».

Цель занятия: повторение и систематизация изученного материала; применение знаний при решении задач разного содержания и уровня сложности, контроль знаний обучающихся, изучение нового материала.

Оборудование к уроку: Компьютер, проектор, экран, классная доска.

Дидактический материал: презентация к уроку со слайдами №1-6, карточки с заданиями, карточки с тестами.

Этапы урока

Цели, задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

1.Орг. момент.

Поставить цели урока и мотивацию учебной деятельности обучающихся; ознакомить с планом работы на уроке.

Взаимное приветствие.

Вступительное слово учителя, ознакомление ребят с планом урока, совместная формулировка целей урока (продолжить исследование свойств функций и их графиков, продемонстрировать уровень усвоения предыдущих тем). Демонстрация соответствующих слайдов. Слайд №1-2

2. Актуализация опорных знаний обучающихся.

Обеспечить повторение обучающимися изученного теоретического материала; способствовать развитию навыков устной речи; ознакомить с исторической справкой по теме.

Двое ребят готовятся у доски к устным ответам по карточкам, содержащим вопросы теоретического характера:

Карточка №1:Правила дифференцирования, геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.

Карточка №2. Применение производной к исследованию функций: на монотонность, экстремумы. Приложение 1.

В это время один из обучающихся делает сообщение об истории развития дифференциального исчисления, на основе подготовленной им электронной презентации. Приложение 2.

После окончания исторической справки, класс заслушивает ребят, готовившихся по теоретическим карточкам.

3. Практическая работа.

Предоставить обучающимся возможность использовать приобретенные знания при решении задач разного содержания и уровня сложности.

Дает учащимся задание. Слайд 3.

Изображают в тетради эскиз графика производной по предложенному графику функции.

Один из ребят выполняет работу на доске, затем демонстрирует свой результат и аргументирует действия.

4. Самостоятельная работа.

Проверить знания обучающихся на предмет применения знаний в стандартных или частично измененных ситуациях.

Продемонстрировать значимость данной темы в экзаменац-ой работе в форме ЕГЭ.

Развить навыки работы с тестовыми заданиями.

Обучать объективной оценке своих возможностей и успехов.

Письменный тест. Состоит из 15 заданий в двух вариантах: прототипы заданий части В из ЕГЭ по математике на умение исследовать функцию с помощью производной: ответить на вопрос о функции по предложенному графику производной функции. Три задания повышенного уровня сложности, не являющимися обязательными для выполнения. Приложение3.

Выполняют работу 10 минут. Во время выполнения теста изображение графика производной находится на экране. Слайд №4.

Выполняют проверку работ по слайду №5 (содержит ответы к вариантам и правила выставления отметки за работу ).

Выставив себе отметку, обучающиеся сдают работу.

Рефлексивный момент: поднимают руки те, кто поставил себе «5», затем «4», «3», и те, кто сделал вывод о том, что не усвоил тему.

5.Изучение нового материала.

Ввести новые понятия и алгоритмы;

демонстрировать большую практическую значимость производной в исследовании функций;

способствовать развитию навыков анализа, сравнения, обобщения и систематизации учебного материала;

создать условия для проявлений личностного подхода к учебным задачам, выдвижению идей, постановке проблем и поиску путей их решения.

1.Мотивация введения нового алгоритма исследования функции.

Вернемся к изображенному эскизу графика некоторой функции в предыдущем задании. Можно ли было изобразить график иначе? (учитель перерисовывает график, меняя промежутки выпуклости и вогнутости функции). Формулировка темы занятия об исследовании функции на выпуклость и точки перегиба с помощью производной.

2.Введение новых понятий и алгоритмов.

Определение понятий выпуклости или вогнутости графика функции.

Определение. Будем говорить, что график функции имеет на промежутке выпуклость, если он расположен не выше любой касательной к графику функции на данном промежутке. (Учитель иллюстрирует понятие рисунком).

Будем говорить, что график функции имеет на промежутке вогнутость, если он расположен не ниже любой касательной к графику функции на данном промежутке. (Учитель иллюстрирует понятие рисунком).

Но для выявления промежутков выпуклости функции используют вторую производную.

Теорема. Если функция имеет на интервале вторую производную и она больше нуля либо равна нулю во всех точках интервала, то график функции имеет на данном интервале вогнутость.

Ребята высказывают свои мысли по данному поводу и приходят к выводу, что у них недостаточно знаний и алгоритмов исследования для ответа на поставленный вопрос.

Самостоятельно формулируют условия выпуклости графика функции на интервале и записывают в тетрадь.

Совместная выработка плана исследования функции на выпуклость.

Выяснение роли точек, в которых вторая производная равна нулю или не существует. (Знак второй производной при переходе через данные точки может смениться или остаться прежним и, соответственно, характер выпуклости графика функции может измениться или нет).

Рассмотрение в качестве примеров функций y=х⁴ и y= х³.

Подход к понятию точек перегиба графика функции.

Определение. Точка М кривой называется точкой перегиба, если в этой точке график функции переходит с одной стороны касательной (проведенной к кривой в точке М) на другую сторону.

Формулировка необходимого условия существования точек перегиба.
Теорема. Для того, чтобы график функции имел перегиб в точке М, необходимо, чтобы вторая производная в данной точке обращалась в ноль или не существовала.

Формулировка достаточного условия для точек перегиба.

Теорема. Если при переходе через точку М вторая производная функции меняет знак, то М является точкой перегиба для графика данной функции (при этом функция имеет вторую производную в некоторой проколотой окрестности точки М).

Переход к применению новых знаний и отработки нового алгоритма действий.

6.Закрепление учебного материала.

Применить полученные знания на практике, развить умения выделять главное в объеме информации.

Ответ: У^"= 6х-8, предположительная точка перегиба х=4/3. При переходе через нее вторая производная меняет знак, поэтому найденное значение дает точку перегиба. При этом слева от этой точки график функции выпуклый, а справа - вогнутый.

Выполняют задание: Найти точки перегиба графика функции y=х³-4х²+ 3х.

7. Домашнее задание.

Систематизировать материал, продолжить в домашних условиях закрепление полученных знаний и отработку навыков.

Домашнее задание:

1.Провести дополнительные исследования предложенной функции через первую производную, найти точки пересечения графика функции с осями и построить график данной функции.

2.№ 45.2-6 (а)

3.Теоретический материал урока.

8.Итоги занятия

Развить рефлексивную культуры.

Беседа по вопросам:

-Назовите имена учёных, внёсших вклад в создание и развитие дифференциального исчисления.

-С какими новыми понятиями вы познакомились в процессе изучения темы?

-Какие новые алгоритмы стали вам известны?

-Назовите сферы приложения производной. Слайд №6.

Учитель предлагает учащимся вспомнить, какие цели ставились в начале урока, и обсудить, все ли удалось выполнить.

Самостоятельная работа. Вариант 1.

Непрерывная функция f(x) определена на промежутке [a;b]. На рисунке задан график ее производной. Ответь те по графику производной на следующие вопросы.

1.Укажите количество точек максимума функции.

2.Укажите число касательных к графику исходной функции, которые наклонены под углом 45 градусов к полуоси Ох.

3.Укажите количество промежутков возрастания функции.

4. Известно, что в точке x= -2 к графику исходной функции проведена касательная. Определите ее угловой коэффициент.

5.Запишите сумму абсцисс точек минимума функции.

6.Укажите количество промежутков, на которых исходная функция представляла собой const (константу).

7.Найдите длину минимального из промежутков убывания функции.

8. Укажите количество касательных к графику исходной функции, угловой коэффициент которых равен -1.

9. Найдите в градусах угол наклона касательной в точке с абсциссой x= -4.

10.Найдите разность между количеством точек максимума и точек минимума.

11.Укажите количество промежутков, на которых исходная функция представляла собой квадратичную.

12.Укажите число касательных, тангенс угла наклона которых равен 3.

13.Запишите абсциссу точки, в которой касательная к графику исходной функции имеет наибольший угловой коэффициент.

14.Запишите количество точек экстремума функции.

15.Найдите количество касательных к графику функции, параллельных прямой y=2-3x.

Самостоятельная работа. Вариант 2.

Непрерывная функция f(x) определена на промежутке [a;b]. На рисунке задан график ее производной. Ответь те по графику производной на следующие вопросы.

1.Укажите количество точек минимума функции.

2.Укажите число касательных к графику исходной функции, которые наклонены под углом 135 градусов к полуоси Ох.

3.Укажите количество промежутков убывания функции.

4. Известно, что в точке x= 2 к графику исходной функции проведена касательная. Определите ее угловой коэффициент.

5.Запишите сумму абсцисс точек максимума функции.

6.Укажите количество промежутков, на которых исходная функция представляла собой линейную (не параллельную оси абсцисс).

7.Найдите длину минимального из промежутков возрастания функции.

8. Укажите количество касательных к графику исходной функции, угловой коэффициент которых равен 1.

9. Найдите в градусах угол наклона касательной в точке с абсциссой x= -2.

10.Найдите разность между количеством точек минимума и точек максимума.

11.Укажите количество промежутков, на которых исходная функция представляла собой квадратичную.

12.Укажите число касательных, тангенс угла наклона которых равен -2.

13.Запишите абсциссу точки, в которой касательная к графику исходной функции имеет наименьший угловой коэффициент.

14.Запишите количество точек экстремума функции.

15.Найдите количество касательных к графику функции, параллельных прямой y= -2+4x.