Урок по теме: Физический смысл производной

Тема урока: «Физический смысл производной на уроках математики»

Цели урока:

1. Определение физического смысла производной, использование механического истолкования производной при решении задач, физический смысл производной второго порядка.

2. Развитие логического мышления при установлении связи физических величин с понятием производной, развитие монологической речи в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий.

3. Развитие навыков самостоятельной работы.

Тип урока: урок изучения новой темы

Оборудование: таблицы производных, карточки с задачами.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Постановка задачи урока. Задание учащимся. Отгадайте ключевое слово урока. 1)С её появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ; 2)Ньютон назвал её «флюксией» и обозначал точкой; 3)Бывает первой, второй, …; 4)Обозначается штрихом. Вопрос. Что называется производной? Ответ . Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. f'(x)= Тема урока «Производная в технике, физике, химии, экономике…»

«… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н. И. Лобачевский. «Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, и я запомню. Дай мне действовать самому, и я научусь.»

Конфуций

3. Изучение новой темы. Механический смысл производной. Производная пути по времени есть скорость, производная скорости по времени есть ускорение. Применяется при расчете скорости и ускорения машины, величины тормозного пути, при выявлении нарушений при движении автомобиля. Учащиеся делятся на три группы. Каждая группа получает карточку с задачей. Им дается время на обдумывание и решение задачи. Затем по одному ученику от группы объясняют решение у доски.

Задача 1. Машина движется по автостраде так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону s=5t - 0,5t² (м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2 секунды после начала движения.

Задача 2. Из города выезжают два автомобиля и некоторое время движутся по законам s₁(t)= - t² + 6t и s₂(t)= 4t. Какое расстояние будет между ними, когда их скорость станет одинаковой?

Задача 3. Рокер движется по прямой дороге так, что расстояние s до него от поста ГАИ изменяется по закону s= 4 + 3t - 0,5t² (м) , где t - время движения в секундах. Рассчитайте тормозной путь его мотоцикла.

Примеры физических величин и их производных.1)плотность- производная массы по объёму.

2)сила - производная по перемещению

F = A'(s)

F=

3)мощность- производная работы по времени

N= A'(t)

N=

4)скорость- производная координаты по времени

v= S'(t)

V =

5)ускорение - производная скорости по времени

a= v'(t)

a =

6) давление - производная силы по площади

p= F'(s)

p=

7)ЭДС индукции- производная магнитного потока по времени

= Ф'(t)

=

8)сила тока - производная заряда по времени

I = q'(t)

I =

4. Закрепление. Комментированное решение задач у доски. Задача 4. Скорость школьного автобуса массой 5 тонн возрастает по закону v = 0,1t³ + 0,2t. Определить равнодействующую всех сил действующих на него в момент времени 2 с. Решение: F = ma = mv' F = m(0,1t³ + 0,2t)' = m(0,3t² + 0,2) = 5000·(0,3 · 4 + 0,2) = 7000 H = 7kH. Задача 5. Уравнение колебаний тела на пружине имеет вид х = 5cos2t. В какой ближайший момент времени скорость тела будет максимальной? Производная в химии. Задача 6. Пусть количество вещества вступившего в химическую реакцию задается зависимостью p(t)= + 3t - 3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды. ( v(t)=p'(t)). Задача 7. Количество вещества получаемого в химической реакции, зависит от времени следующим образом Q=a(1+be^-kt). Oпределите скорость реакции. Решение: v= Q'=(a+abe^-kt)' = -abke^-kt Производная в биологии. Задача 8. По известной зависимости численности популяции X(t) определить относительный прирост в момент времени t. (P= x'(t)) Производная в географии. Задача 9. Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t. Решение: Пусть у=у(t) - численность населения. Рассмотрим прирост населения за , где k=k_p - k_c - коэффициент прироста ( k_p- коэффициент рождаемости, k_c- коэффициент смертности) = ky, t. = y' ; y'=ky

5. Самостоятельная работа в двух вариантах. Вариант 1.

1. В чем сущность физического смысла у'? А. Скорость. Б. Ускорение. В.Угловой коэффициент. Г.Не знаю.

2. Точка движется по закону s(t)= 2t³ - 3t . Чему равна скорость тела в момент времени t₀= 1 с.? А. 15 Б. 12 В. 9 Г. 3

3. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой S = . Назовите формулу скорости. А. t Б.2gt В. gt Г. G

4. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = - 2t² +3t +1. B какие моменты времени её скорость равна нулю? А. 1 и 3 Б. 1 и 4 В. 2 Г. 2 и 0.

5. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле V(t)=5t³+t² . Чему равно ускорение тела в момент t₀ = 1с? А. 17 Б. 32 В. 30 Г. 16

Вариант 2.

1. В чем сущность физического смысла у''? А. Скорость. Б. Ускорение. В.Угловой коэффициент. Г.Не знаю.

2. Точка движется по закону s(t)= 2t³ - 3t . Чему равна скорость тела в момент времени t₀= 1 с.? А. 15 Б. 12 В. 9 Г. 3

3. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой S = . Назовите формулу ускорения. А. t Б.2gt В. gt Г. G

4. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = - 2t² +3t +1. B какие моменты времени её скорость равна нулю? А. 1 и 3 Б. 1 и 4 В. 2 Г. 2 и 0.

5. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле V(t)=5t³+t² . Чему равно ускорение тела в момент t₀ = 1с? А. 17 Б. 32 В. 30 Г. 16

6. Подведение итогов урока.

7. Домашнее задание. Из сборника тестов для подготовки к ЕНТ подобрать задачи и решить их.