Интегрированный урок по теме

«Применение производной на уроках математики и физики»

Все науки настолько связаны между собою,

что легче изучать их все сразу,

нежели какую-либо одну из

них в отдельности от всех прочих.

Рене Декарт

Составили: учитель математики Шульгина СИ

Учитель физики Терехов ЕМ

Цели:

Учебные:
Добиться усвоения учащимися систематических, осознанных сведений о понятии производной, её геометрическом и физическом смысле. Показать межпредметную связь на примере математического моделирования. Показать применение производной при решении жизненно важных задач.
Научить применять полученную модель на практике.

Воспитательные:
Обучение навыкам: планирования деятельности, работы в оптимальном темпе, подведения итогов.
Развитие умения оценивать свои способности, свое положение в группе, контактировать с товарищами.
Вызвать чувства ответственности и сопереживания.

Духовно - нравственное воспитание на примере жизни выдающихся математиков.


Развивающие:
Обучение навыкам работы с компьютером.
Развитие умения находить нужную литературу, обрабатывать информацию, выполнять и оформлять научно-исследовательскую работу.
Формирование «ключевых компетенций

Оборудование : Компьютеры, экран, проектор, раздаточный материал, творческие работы учащихся

Замечание. За 1,5 недели до урока класс разделен на 3 группы и назначены консультанты. В группу вошли учащиеся с разными учебными возможностями. Каждая группа получила задание приготовить презентацию «Производная»
I группа - «Исторические сведения»;

II группа - «Применение физического смысла производной при решении физических задач»;
III группа - « Применение геометрического смысла производной»;


На подготовительном периоде и в ходе урока консультанты руководят работой группы: распределяют обязанности между учениками, организуют консультации с учителями предметниками.

^ ПЛАН УРОКА

I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ ЭТАП.

Урок проводят совместно учитель математики и физики
При актуализации знаний предлагаются задания из ЕГЭ. Часть урока отводится презентациям, выполненным самими учащимися».

^ II. ВСУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО УЧИТЕЛЯ И УСТНЫЙ СЧЕТ.

Здравствуйте. (Откройте тетради. Запишите число, классная работа, тему урока.) Тема нашего урока «Применение производной на уроках математики и физики». И сегодня мы попытаемся, насколько это возможно, в рамках одного урока рассмотреть эту тему. Эпиграфом к нашему уроку хочу взять слова Лобачевского:

«…нет ни одной области в математике,

которая когда-либо не окажется применимой

к явлениям действительного мира…»

Н.И. Лобачевский

Активизация знаний учащихся На одном из первых уроков изучения производной я вам задала вопрос:

^ Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни?

Вы на него не смогли ответить, т.к. у вас не хватило соответствующих знаний. И тогда я вам предложила поработать над проектами, т.е. провести самостоятельное исследование по теме

Вам было предложено 3 темы, список литературы, которым я вас не ограничивала. Но одним из условий выполнения этой проектной работы было то, что пользоваться можно было только книгами, журналами, справочной литературой, помощью консультантов и т. д.. И акцентировала ваше внимание на том, что нельзя было пользоваться интернетом. И сегодня мы увидим насколько успешно вы справились с задачей самостоятельного отбора и перерабатывания информации.

А чтобы у вас была путеводная звезда, к которой бы вы шли, я выдвинула гипотезу /читаю гипотезу, /

«Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.»

В ходе исследовательской работы вы должны были либо подтвердить, либо опровергнуть данную гипотезу.

А сейчас мы рассмотрим работы творческих групп, которые провели самостоятельные исследования по темам. Еще раз убедимся в важности роли производной в исследовании процессов окружающего мира, покажем практическую необходимость и теоретическую значимость темы "Производная".

I группа - «Исторические сведения»

Производная - одно из фундаментальных понятий математики.

Оно возникло в 18 веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и

Г. Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.

О Ньютоне.

Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон. А.Поуг.

Исаак Ньютон (1643-1727) один из создателей дифференциального исчисления.

Главный его труд- «Математические начала натуральной философии».- оказал колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в истории естествознания.

Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.

Интересно: Исаак Ньютон был так же и богословом. Он написал труды о Святой Троице, а также толкование на книгу пророка Даниила. Интересно, что он высоко ценил именно свои богословские сочинения. Всегда, произнося имя Божие, Ньютон снимал шляпу.

О Лейбнице

«Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx,- ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперёд». Г.В.Лейбниц. (1646-1716)

Создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференциального исчисления, ввёл большую часть современной символики математического анализа.

Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.

Но это не говорит о том, …

…что до них эти вопросы не изучались. Задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, применяя при этом предельные переходы, но и сумел найти максимум функции.

Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика И.Тартальи.

В 17в. на основе учения Г.Галилея активно развилась кинематическая концепция производной. Понятие производной встречается уже у Р.Декарта, французского математика Роберваля, английского учёного Д.Грегори, в работах И.Барроу.

Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс, Коши. Необходимо сказать, что ни Ньютон ни Лагранж не дали четкого определения производной. Впервые определение производной было сформулировано Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время используется почти во всех курсах анализа.

II группа - «Применение физического смысла производной при решении физических задач».

Применение производной в физике очень обширно. Рассмотрим несколько примеров применения производной в физических задачах.

^ Механическое движение- это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Основной характеристикой механического движения служит скорость.

Алгоритм нахождения скорости тела с помощью производной.

Если закон движения тела задан уравнением s = s (t),

то для нахождения мгновенной скорости тела в какой-нибудь определенный момент времени надо:

1.Найти производную s' = f '(t).

2. Подставить в полученную формулу заданное значение времени.

Задание. Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t²

Да, т.к. скорость через 7 сек. будет равна 6м/с (21,6 км/ч).

^ Производная в электротехнике

В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток.

Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.


(Запишем)

В электротехнике в основном используется работа переменного тока.

Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.

Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.

(Запишем)

Задание
Заряд, протекающий через проводник , меняется по закону

Найти силу тока в момент времени t=5 cек.

Сила тока равна 2 А

А так же (Запишем):

Сила есть производная работы по перемещению,

т.е. F=A ^/(x)

Теплоемкость - есть производная теплоты по температуре, т.е. C(t) = Q^/(t)

d(l)=m^/(l) - линейная плотность

K (t) = l^/(t) - коэффициент линейного расширения

ω (t)= φ^/(t) - угловая скорость

а (t)= ω^/(t) - угловое ускорение

N(t) = A^/(t) - мощность

Задание: теплота.

1. Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 0⁰С до температуры t⁰ (по Цельсию), известно, что в диапазоне 0⁰ до 95⁰, формула Q (t) = 100,396t+2,081^-3t²10-5,024^-7t³ дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.

Решение. C (t) = Q ^/ (t) = 0,396 + 4,162*10 ^-3 t - 15,072*10 ^-7 t²

III группа

Задания В8, подобные заданиям демоверсии ЕГЭ 2014.

1. На рисунке изображён график функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке.

^{В 8}

⁰

^,

⁷

⁵

2. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале (-6;8) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=x-5 или совпадает с ней.

^ IV. ДОМАШНЯЯ РАБОТА .ИНСТПУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ.

Домашняя работа

1. Известно, что тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону

s(t)= t²+2. Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

2. Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой 10 кг, движущуюся прямолинейно по закону х(t) = 2t³- t² при t = 2с.

3. Закон изменения температуры тела в зависимости от времени задаётся уравнением T = 0,2t². С какой скоростью изменяется температура тела в момент времени 5с ?

4. Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением

I = 2t² - 5t. Найдите скорость изменения силы тока в момент времени 10 с.

5. Маховик вращается вокруг оси по закону (t) = t⁴ - 1. Найдите его угловую скорость w в момент времени t и t=2 с.

6.(2) При вращении проволочной рамки в однородном магнитном поле пронизывающий рамку магнитный поток изменяется в зависимости от времени по закону Ф = 10^-2cos 10 t. Вычислив производную Ф^,_t , написать формулу зависимости ЭДС от времени = (t).

7. (2) Заряд q на пластинах конденсатора изменяется по закону

q = 10 ^{- 6}cos 10 ⁴t. Записать закон зависимости силы тока от времени i= i(t), вычислив производную q^,_t.

.^ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

Вы успешно справились с поставленной перед вами задачей. Однако скоро вам предстоит самое важное испытание. Поэтому в конце урока мы проведем небольшую самостоятельную работу на решение задач из открытого банка заданий ЕГЭ. Решение задач на геометрический смысл производной. Задача В8.

^ VII. ИТОГ УРОКА
В заключении урока я хочу вам прочитать стихотворение:

"Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись - радовать глаз,
Поэзия - пробуждать чувства,
Философия - удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело - совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей".

Так сказал американский математик Морис Клайн.