Урок алгебры и начала анализа в 10 классе по теме «Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы»

________/________ Урок алгебры в 10 классе

Тема: «Применение производной для исследования функций

на монотонность и экстремумы».

Тип урока: интегрированный (алгебра и начала анализа + информатика).

Вид: урок формирования новых знаний.

Форма: Лабораторная работа - исследование.

Дата проведения:

Девиз урока: «Решай, ищи, твори и мысли».

Позиция учителя: к классу не с ответом (готовые знания, умения, навыки), а с вопросом.

Позиция ученика: за познание мира (в специально организованных для этого условиях).

Цели:

1. Образовательные:

• повторить определение возрастающей, убывающей функций, точек минимума и максимума, наименьшего и наибольшего значений функции;

• формировать представления о связи свойств функции с её производной ( в ходе выполнения лабораторной работы);

• ознакомить учащихся со способом исследования функции с помощью производной (выработанный алгоритм - результат лабораторной работы).

2. Развивающие:

• развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать выводы по результатам собственной деятельности;

• развивать навыки использования компьютера для организации собственной познавательной деятельности;

• развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру у учащихся;

• способствовать развитию интереса к исследованиям и поиску закономерностей, умению осуществлять наблюдение, формулировать выводы.

3. Воспитательные:

• воспитывать у учащихся волю и настойчивость для достижения конечного результата;

• воспитывать у учащихся умение выслушать и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться со сложностью.

Планируемый результат урока:

1. Знать: признак возрастания функции на интервале, признак убывания функции на интервале, признаки максимума и минимума функции;

2. Уметь: по графику производной и схематическому изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции.

Организационные формы общения: групповая, индивидуальная.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Постановка учебной задачи.

4. Выполнение лабораторной работы и фиксация результатов.

5. Обсуждение результатов деятельности учащихся, теоретическое обоснование этих результатов.

6. Первичное закрепление.

7. Включение в систему знаний и повторение.

8. Вывод по уроку.

9. Рефлексия деятельности.

10. Домашнее задание.

Оборудование и материалы: оборудование кабинета информатики: проектор, компьютеры с установленной ОС ALT Linux 6.0.0 KDesktop, раздаточный материал: карточки с заданиями для выполнения лабораторной работы.

Ход урока.

1.Организационный момент.

Учащиеся до начала урока рассаживаются за компьютерами по одному человеку.

Приветствие учеников.

Повторение правил поведения в компьютерном кабинете.

Слайд 1.

Французский писатель Анатоль Франс заметил: «Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом».

Последуем совету писателя: будем на уроке активны, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием.

На уроке нам предстоит узнать, как производная функции помогает определять свойства самой функции.

2.Актуализация опорных знаний.

Цель: актуализация опорных знаний, активизировать внимание, показать недостаточность знаний для определения свойств функции по графику её производной.

1. Повторение определений возрастающей, убывающей функций, точек минимума, максимума, наибольшего и наименьшего значений функции, повторить геометрический смысл производной.

2. Устная работа.

Слайд 2.

1. По графику функции y = f(x) (слайд 2) ответьте на вопросы:

• Сколько точек максимума имеет эта функция?

• Назовите точки минимума функции.

• Сколько промежутков возрастания у этой функции?

• Назовите наименьший из промежутков убывания этой функции.

Слайд 3.

2.2 По графику функции y = f ^ǀ(х) (слайд 3) ответьте на вопросы:

• Сколько точек максимума имеет эта функция?

• Назовите точки минимума функции.

• Сколько промежутков возрастания у этой функции?

• Найдите длину промежутка убывания этой функции.

По результатам выполнения задания слайда №2 учащиеся приходят к выводу, что это задание для них является невыполнимым.

3. Постановка учебной задачи.

Составить (разработать, создать) правило (алгоритм), с помощью которого исследовать функции на монотонность и экстремумы по её производной. Открывается Слайд 4.

4. Выполнение лабораторной работы и фиксация результатов деятельности.

Цель: в ходе лабораторной работы сформулировать гипотезу о связи между характером монотонности функции и знаком её производной и сделать вывод.

Работа выполняется за компьютером каждым учащимся.

План выполнения лабораторной работы:

1. Инструкция по выполнению работы на компьютере с ОС ALT Linux 6.0.0 KDesktop (Приложение 2). Меню запуска приложений - образование - математика - программа построения графиков (KmPlot) графики - добавить - график в декартовых координатах - редактор выражений - вставить функцию - выбираем нужную функцию - переменная в скобках (x) - enter

функция y= x⁴ - 2x² - 3 или y=x³ +6x² - 15x +8.

2. Найдите производную данной функции.

3. В одной системе координат постройте графики функций и её производной.

4. Рассмотрев графики, сформулируйте гипотезу о связи между характером монотонности функции и знаком её производной

(Для учащихся «группы риска» в помощь раздаётся более подробный план работы, если возникли проблемы при формулировании гипотезы. См. Приложение).

5. Что ещё обращает на себя ваше внимание на этих рисунках? Попробуйте описать этот факт, используя математические термины.

6. Сделайте выводы по проделанной работе.

Минута для здоровья.

Упражнение «Роняем руки» для расслабления мышц всего корпуса.

Ученики поднимают руки в стороны и слегка наклоняются вперёд. По команде учителя снимают напряжение в спине, шее, плечах. Корпус, голова и руки падают вниз, колени слегка подгибаются. Затем дети выпрямляются, последовательно разгибаясь в тазобедренном, поясничном и плечевом поясе, и принимают исходное положение. Упражнение повторяется.

Упражнение для глаз «Раскрашивание».

Учитель предлагает учащимся закрыть глаза и представить перед собой большой белый экран. Необходимо мысленно раскрасить этот экран поочерёдно любым цветом: например, сначала жёлтым, потом оранжевым, зелёным, синим, но закончить раскрашивание нужно самым любимым цветом.

5. Обсуждение результатов деятельности учащихся, теоретическое обоснование результатов.

Цель: обсудить выводы учащихся по результатам лабораторной работы, познакомиться с теоремами, показывающими, как по знаку производной можно установить характер монотонности функции на промежутке, внести необходимые корректировки в сформулированные гипотезы, составить алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.

Функция

производная

y= x⁴ - 2x² - 3

y=x³ +6x² - 15x +8

Учащиеся представляют результаты своей деятельности.

Учащиеся озвучивают сформулированную ими гипотезу о связи между характером монотонности функции и знаком её производной.

Открываются слайды 5-6, идёт сопоставление построенных графиков и выдвинутых гипотез.

Слайд 5.

Слайд 6.

Учитель формулирует Теоремы 1,2 и теоремы 3,4 ( § 30 - учебника), иллюстрируя их слайдами.

Сравнение выдвинутой гипотезы с содержанием теоремы.

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Формулируется учащимися окончательный вывод:

чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, необязательно строить график производной, достаточно определить знаки производной на промежутках, на которые стационарные и критические точки разбивают область определения функции.

Составляется алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы:

1. Найти производную функции y = f(x).

2. Найти стационарные и критические точки.

3. Отметить эти точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4. Сделать выводы о монотонности функции и, о её точках экстремума.

6.Первичное закрепление.

Цель: научить применять полученные выводы для решения задач

двух видов:

• по графику производной находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции;

• по изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

На этом этапе учащиеся выполняют задания такого вида:

1. Непрерывная функция y=f(x) задана на . На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков возрастания функции.

Слайд 11

2. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-10; 6). На рисунке изображён график её производной. Укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси ОХ.

Слайд 12

3. Непрерывная функция y=f(x) задана на ( -6; 8). На рисунке изображён график её производной. Укажите длину промежутка убывания этой функции.

Слайд 13

4. Непрерывная функция y =f(x) задана на (-4; 10). На рисунке изображён график её производной. Укажите число точек экстремума этой функции.

Слайд 14

7. Включение в систему знаний и повторение.

Цель: формировать навыки самостоятельного применения алгоритма исследования функции с помощью производной.

Учащимся предлагается выполнить задания из задачника

№ 30.9 - а,б; 30.12 - б; 30.14 - в; 30.15 б.

Образцы оформления задания заранее приготовлены на «откидной» доске и демонстрируются перед началом работы.

При выполнении заданий учитель контролирует учащихся «группы риска».

8. Итог урока.

Цель: дать оценку успешности достижения цели урока.

На этом этапе проговариваются выводы, сделанные учащимися в ходе выполнения лабораторной работы.

Учитель обязательно отмечает, что каждый ученик на уроке занимался исследовательской деятельностью, создавая свой интеллектуальный продукт.

9. Рефлексия.

Цель: дать оценку уроку учащимися, высказать предложения.

Отмечаются позитивные моменты урока.

Учащийся ставит «+» в предпочитаемую графу листка рефлексии.

Листок рефлексии.

10. Домашнее задание. №№ 30.9-30.16 (4 номера на выбор из разных разделов)

Учитель задаёт домашнее задание с кратким комментарием.

Задание имеет дифференцированный характер.

Приложение

План выполнения лабораторной работы:

1. Инструкция по выполнению работы на компьютере с ОС ALT Linux 6.0.0 KDesktop (Приложение 2). Меню запуска приложений - образование - математика - программа построения графиков (KmPlot) графики - добавить - график в декартовых координатах - редактор выражений - вставить функцию - выбираем нужную функцию - переменная в скобках (x) - enter

Функция

Производная

y= x⁴ - 2x² - 3

y=x³ +6x² - 15x +8

2. Найдите производную данной функции.

3. В одной системе координат постройте графики функций и её производной.

4. Рассмотрев графики, сформулируйте гипотезу о связи между характером монотонности функции и знаком её производной

(Для учащихся «группы риска» в помощь раздаётся более подробный план работы, если возникли проблемы при формулировании гипотезы. См. Приложение).

5. Что ещё обращает на себя ваше внимание на этих рисунках? Попробуйте описать этот факт, используя математические термины.

6. Сделайте выводы по проделанной работе.

План выполнения лабораторной работы:

1. Инструкция по выполнению работы на компьютере с ОС ALT Linux 6.0.0 KDesktop (Приложение 2). Меню запуска приложений - образование - математика - программа построения графиков (KmPlot) графики - добавить - график в декартовых координатах - редактор выражений - вставить функцию - выбираем нужную функцию - переменная в скобках (x) - enter

Функция

Производная

y= x⁴ - 2x² - 3

y=x³ +6x² - 15x +8

2. Найдите производную данной функции.

3. В одной системе координат постройте графики функций и её производной.

4. Рассмотрев графики, сформулируйте гипотезу о связи между характером монотонности функции и знаком её производной

(Для учащихся «группы риска» в помощь раздаётся более подробный план работы, если возникли проблемы при формулировании гипотезы. См. Приложение).

5. Что ещё обращает на себя ваше внимание на этих рисунках? Попробуйте описать этот факт, используя математические термины.

6. Сделайте выводы по проделанной работе.

Листок рефлексии.

Листок рефлексии.