Ох уж эта равносильность...

«Ох уж эта равносильность…»

(из опыта работы)

Равносильные уравнения и неравенства.

§1. Уравнения и неравенства с одним неизвестным.

Рассмотрим две функции и , зависящие от одной переменной х.

Если поставить вопрос:

При каких значениях х справедливо:

равенство ,

то получим

уравнение

с одним неизвестным

Определение 1.

Определение 2.

Определение 3.

называется общая часть областей определения каждой из функций

и .

Замечание.

1) Если уравнение (неравенство) имеет корни (решения), то они обязательно входят в ОДЗ. (обратное не верно)

2) Любое число х₀ , не входящее в ОДЗ, не может являться конем уравнения или решением неравенства.

3) Если ОДЗ - конечное множество, т.е. состоит из конечного числа элементов, то для нахождения всех корней уравнения (решений неравенства) достаточно сделать проверку для всех элементов из ОДЗ.

4) Если ОДЗ пустое множество, то уравнение (неравенство) не имеет корней (решений).

Примеры. Решить уравнение (неравенство):

1) ; 2) .

Найдите ОДЗ уравнения (неравенства).

Решите задачу.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Решение (7).

1) ОДЗ (составим условия существования выражений, входящих в неравенство):

2) Проверка: если , то (верно).

Ответ:

§2. Равносильные уравнения и неравенства.

Рассмотрим два уравнения (неравенства) , обозначив их условно А и В.

Определение 4.

Обозначение:

Читают: 1) А равносильно В;

2) А тогда и только тогда, когда В;

3) Для того чтобы А, необходимо и достаточно, чтобы В.

Примеры.

Решение (5).

Ответ: уравнения не равносильны.

Решение (4).

, т.к. множества решений неравенств не совпадают.

- Замена уравнения (неравенства) ему равносильным математическим предложением (уравнением, неравенством, совокупностью, системой уравнений или неравенств) называют равносильным переходом.

- Равносильные уравнения (неравенства) могут быть получены с помощью тождественных (равносильных) преобразований.

• Не любое преобразование приводит к замене на уравнения (неравенства) на ему равносильное:

Ответ:

Ответ:

(Ответ ошибочный, т.к. в его записи присутствует посторонний корень)

Заметим, что оба числа, 1 и 4 входят в ОДЗ.

Рассмотрим два уравнения (неравенства) , обозначив их условно А и В.

Определение 5.

Обозначение:

Читают: 1) В есть следствие А;

2) из А следует В;

3) «Внеобходимое условие для А»,

в то же время,

«А  достаточное условие для В»

(чаще используют в геометрии)

Замечание.

1) Если , то и .

2) Если и , то .

Вывод.

1) Если решение задачи совершается с помощью равносильных переходов, то появление посторонних решений не происходит .

(Проверка результатов не является обязательным элементом решения задачи;

проверка результатов может выполняться как элемент самоконтроля)

2) При переходе к следствию, могут появиться посторонние решения, даже, ели они входят в ОДЗ.

(Проверка результатов является обязательным элементом решения задачи)

Необходимо проверять, удовлетворяют ли корни следствия, входящие в ОДЗ, самому уравнению.

Пример:

1)

Проверка: (1) - посторонний корень,

(2) - корень

Ответ:

2)

Ответ:

Замечание. Существуют преобразования, которые могут привести к

потере решений.

(Такие преобразования надо избегать, т.к. никакой проверкой потерянные решения найти нельзя)

Пример:

, деля обе части уравнения на x или (x-1), теряем корень.

Некоторые утверждения о равносильности уравнений.

1. Уравнения и равносильны.

2. Уравнения и равносильны для любого числа .

3. Уравнения и равносильны для любого числа .

4. Уравнения () и равносильны.

5. Пусть функции неотрицательны на некотором множестве А.

Тогда на этом множестве уравнения и равносильны для любого натурального n.

6. Пусть функции положительны на некотором множестве А.

Тогда на этом множестве уравнения , где

, и равносильны.

В частности, если , то уравнения и равносильны.

7. Пусть функции определена и не обращается в нуль ни в одной точке множества А, содержащемся в ОДЗ уравнения .

Тогда на множестве А уравнения и

равносильны.

Множество А может совпадать с ОДЗ уравнения .

8. Уравнения и равносильны для любого натурального n.

Некоторые утверждения о следствиях.

1. Уравнение является следствием уравнения для любого натурального n.

()

2. Уравнение является следствием уравнения

, где .

()

3. Уравнение является следствием уравнения

.

)

4. Уравнение является следствием уравнения

.

()

5. Совокупность уравнений является следствием уравнения

.

()

Задача 1. Решить уравнение:

Способ 1.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Заметим: (1) => (2) < = > (3) < = > (4) < = > (5) .

Проверка, при таком способе решения, является обязательной.

Проверка: 1) - посторонний корень;

2) - корень уравнения.

Ответ:

Способ 2.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Заметим: (1) < = > (2) < = > (3) < = > (4) < = > (5) < = > (6).

(выполненные переходы равносильны)

Ответ:

Задача 2. Решить неравенство:

Способ 1.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Заметим: (1) => (2) < = > (3) < = > (4) < = > (5) .

Проверку результата, в традиционном понимании, выполнить невозможно.

Поэтому, при решении неравенств, особенно важно соблюдать равносильные переходы.

Способ 2.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Заметим: (1) < = > (2) < = > (3) < = > (4) < = > (5) < = > (6).

(выполненные переходы равносильны)

Ответ:

Турков А.Ф.

Заслуженный учитель РФ, учитель математики МАОУ «Лицей № 38»,

г. Нижний Новгород