Реферативная работа 'Извлечение квадратных корней'

Защитное слово

При изучении темы квадратных корней по алгебре, которая в одно и то же время «переплеталась» с изучением теоремы Пифагора по геометрии, на уроках и дома мне приходилось часто пользоваться калькулятором. Не всегда под рукой был калькулятор и таблица квадратов. Уже тогда возникал вопрос, как же быть в тех случаях, когда на экзаменах в формате ГИА и ЕГЭ пользование калькулятором запрещено. Таблица квадратов целых чисел не даёт ответ на такие вопросы, как, например, корень 5, 32, 85, 10816, 180625 и другие даже приблизительно.

Все знают, что извлечь квадратный корень без калькулятора - это непосильная задача. В лучшем случае, в ситуации, когда решение задач требует извлечения корня, а калькулятор вне зоны досягаемости, прибегают к методу подбора и стараются вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда спасает. Сколько раз все попадали в подобные ситуации? Почти все, к кому я обращался с этим вопросом, не знали ни одного способа решения этой проблемы. (Приложение 1) Но однажды я узнал, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения «умной» техники. Мои вопросы и легли в основу данной работы, результаты которой для меня стали маленьким открытием. Работая над данной проблемой, я нашёл не один, а несколько способов её решения.

Актуальность выбранной темы теоретического исследования обусловлена малой изученностью проблемы извлечения квадратных корней без использования калькулятора.

Практическая значимость работы заключается в формировании банка приёмов и способов извлечения квадратных корней без использования калькулятора, который можно использовать во время итоговой аттестации по математике в выпускных классах.

Цель работы: создать банк рациональных приёмов и способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Задачи:

1. Выяснить, какими знаниями и навыками по теме реферата обладают участники образовательных отношений (учащиеся, учителя математики, родители).

2. Провести контент-анализ источников и литературы по данному вопросу.

3. Изучить известные способы извлечения квадратных корней без использования калькулятора.

4. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и описать его алгоритм.

5. Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности использования различных способов и алгоритмов.

В процессе работы над темой реферата нам удалось выяснить, что круг литературы по данной проблеме недостаточно широк. Тем не менее, хорошим подспорьем в работе стал учебник А. Г. Мордковича «Алгебра, 8 класс» (издательство «Мнемозина», 2005 г.). Эта книга является для нас дополнительной литературой, так как в школе математику мы изучаем по учебнику Дорофеева Г.В. В своей работе автор описывает такие способ извлечения квадратных корней, как способ разложения на множители и метод подбора угадыванием, который изначально предлагают английские студенты математического колледжа Лондона. А. Г. Мордкович предлагает аналогичное решение при введении символа квадратного корня и называет его методом уточнения [1, стр. 87], но сам предлагает угадывать, называя это угадывание поиском «хвостика» при попадании в «яблочко». [1,стр. 90].

Л. Ф. Пичугин предлагает обратить внимание на такой способ извлечения квадратных корней, как деление на пары через составление ребуса. Этот способ почти универсальный, достаточно точный, но очень трудоёмкий.

Книга М.В. Ткачевой для учащихся 8 класса «Домашняя математика» предполагает семейное чтение и призвана помочь школьнику и его родителям при совместных занятиях математикой. Содержит занимательные задачи и непрограммные разделы. В этой книге также подробно описан метод подбора угадыванием.

Поиск необходимой информации в интернете помог привел нас на сайт фестиваля «Открытый урок» педагогического клуба «1 сентября». Здесь размещены материалы учителя математики Клиновой З.М., в которых приводятся отдельные способы извлечения квадратных корней без использования калькулятора.

В ходе работы мы выяснили, что существует множество различных способов извлечения квадратных корней, о которых большинство школьников даже не догадываются. Проведя контент-анализ источников и литературы по данному вопросу и изучив эти способы, мы пришли к следующим выводам:

• история отдельных способов уходит корнями в глубокую древность (формула Древнего Вавилона);

• каждый способ имеет свои особенности и алгоритм применения;

• не все способы имеют универсальный характер применения (так способ отбрасывания квадрата применим только для точных четырёхзначных чисел);

• способы различаются по уровню сложности (самым сложным в применении, на наш взгляд, является метод Ньютона, т.к. требует знание формулы и предполагает громоздкие вычисления).

Результатом работы по данной проблеме стало составление сопоставительной таблицы способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Сравнительный анализ способов был проведен по следующим критериям:

1. Каких дополнительных знаний требует?

2. Преимущества способа.

3. Недостатки

4. Уровень сложности.

В ходе проведенного анализа нам удалось выяснить, что каждый способ имеет присущие ему характеристики. Эффективность изученных способов была проверена нами на практике, что позволило нам дать условную отметку каждому способу по пятибалльной системе.

Итогом данной работы стало составление сопоставительной таблицы.

(Она представлена на слайде)

Способ

Каких доп-х знаний требует?

Преимущества

Недостатки

Вывод

(по уровню сложности)

Условная отметка

Способ разложения на простые множители

Значение квад-ратов, простые множители.

Корень не всегда можно до конца извлечь.

Трудоёмкая задача, не всегда приводит к желаемому результату.

3

Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел

Наличие таблицы квадратов чисел до 99.

Дает мгновен-ное извлечение квадратного корня из любых целых чисел от 1 до 100с точностью до десятых.

Корни, большие 100 уже этим способом извлечь невозможно.

Способ очень прост в приме-нении.

5

Формула Древнего Вавилона

Знания полных квадратов больших чисел и древней формулы

Дает хорошее приближение к точному значению корня.

Нужно знать формулу.

Крайне затруд-нительно без знания полных квадратов больших чисел.

4

Способ через решение уравнения

Знание формул сокращенного умножения, умение решать уравнения.

Необычайно точен и удобен

Требует терпения и упорства.

Интересен и математически красив.

4

Деление на пары через составление ребуса

Хорошие вы-числительные навыки.

Применим к любым числам

Составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков столбиком.

Трудоёмкий, но очень точный.

5

Способ отбрасывания полного квадрата

Значение квадратов чисел от 11 до 29

Короткое решение, доступен для тех, кто знает квадраты чисел от 11 до 29.

Алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа.

Сложен в запоминании, применим только для четырёхзначных чисел точных корней

3

Метод Ньютона

Знание формулы

Позволяет из-влекать квад-ратный корень из большого числа с любой точностью.

Громоздкость вычислений.

Очень трудоёмкий.

3

Метод подбора угадыва-нием

Значения квадратов.

Алгоритм прост.

Требует много-кратного вы-числения произведения столбиком не всегда правильно угаданных чисел.

Не слишком наилучший способ, требует постоянных вычислений путем подбора.

3

Метод вычетов нечётного числа

Последовательно вычитать нечётные числа, а затем подсчитать число вычитаний

Доступен де-тям, решающим простейшие ма-тематические задачи, требую-щие извлечения квадратного корня

Если извле-каемый корень не является целым числом, то можно уз-нать только его целую часть, но не точнее.

Называют «ме-тодом черепа-хи» из-за его медлительности

2

Данная таблица является своеобразным банком таких приемов и способов. Мы надеемся, что это поможет школьникам определиться в выборе наиболее рациональных способов в учебной деятельности, а также при подготовке к итоговой аттестации.

Работа над данным теоретическим исследованием показала, что изучение квадратных корней - не прихоть математиков, а объективная необходимость: в реальной жизни случаются ситуации, математические модели которых содержат операцию извлечения квадратного корня. Но не всегда под рукой мы имеем калькулятор.

В ходе проведенного теоретического исследования мы выяснили, что математических знаний ученика 8 класса недостаточно для овладения всеми способами извлечения квадратных корней. Это определило дальнейшие перспективы работы по данной проблеме: в следующем учебном году мы продолжим изучение и апробацию существующих способов.