Практическая работа Частные производные и полный дифференциал

Практическая работа

Тема: Частные производные и полный дифференциал

1. Цель занятия: овладеть навыками вычисления частных производных и полного дифференциала функций

2. Теоретическая часть:

Частной производной функции z=f(x;y) по переменной y называется производная по y при постоянном значении переменной x

(или z_x' )

Частной производной функции z=f(x;y) по переменной x называется производная по x при постоянном значении переменной y

(или z_y' )

Полным дифференциалом функции z=f(x;y)в некоторой точке М(x;y) называется выражение

,

где и вычисляются в точке М(x;y), а ,

Примеры

№1. Найти частные производные функции z=x³-3x²y+4x³y²-y³

Решение:

= z_x'=3x²-3y·2x+4y²·3x²-0=3x²-6xy+12 x²y²

= z_y'=0-3x²+4x³·2y-3y²=-3x²+8x³y-3y²

№2. Вычислите полный дифференциал функции z=x³-2x²y²+y³ в точке М(1;2)

Решение:

Полный дифференциал находится по формуле

Найдем частные производные и в точке М(1;2)

= z_x'=3x²-2y²·2x+0=3x²-4xy²

=3·1²-4·1·2²=3-16=-13

= z_y'=0-2x²·2y+3y²=-4x²y+3y²

=-4·1²·2+3·2²=-8+12=4

Итак dz=-13dx+4dy

Ответ: dz=-13dx+4dy

3. Задания

4. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

- решение данных задач.