Элективный курс «Методы решения уравнений с параметром» 10-11 класс

Элективный курс

«Методы решения уравнений с параметром»

Автор: Семкина Ольга Николаевна,

учитель математики МБУ «Лицей № 57»

Пояснительная записка

Элективный курс профильной подготовки учащихся 10 классов посвящён одной из тем курса алгебры - задачам с параметрами. К сожалению, в средней школе при изучении алгебры практически не рассматриваются (или рассматриваются недостаточно) уравнения с параметрами.

С понятием параметра (без употребления этого термина) учащиеся уже встречались в 7 классе, когда изучали линейные уравнения , и при изучении в 8 классе квадратных уравнений .

Рассматриваемый материал не входит в базовый уровень, однако часто предлагается на выпускных экзаменах по математике. Решение задач с параметрами вызывает у учащихся значительные затруднения. Эти задачи требуют к себе особенного подхода по сравнению с остальными заданиями. Они представляют собой определенную сложность в техническом и логическом плане. Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. При решении их используются не только типовые алгоритмы решения, но и нестандартные методы, упрощающие решение. В связи с этим на первом этапе работы по этой теме ученикам предлагаются простые по алгоритму решения задачи (ЗЗ - знакомая задача), с последующим усложнением задач (МЗ - модифицированная задача, НЗ -незнакомая задача).

Преподавание курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса и является развитием системы ранее приобретенных знаний . Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление и направлена на развитие самостоятельной исследовательской деятельности. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности - повышенный.

Изучение математики в старшей школе на базовом уровне направлено на достижение следующих целей:

1. Овладение математическими знаниями, достаточными для изучения смежных дисциплин на современном уровне и для продолжения образования в высшей школе по любой специальности, не требующей высокого уровня владения математическим аппаратом.

2. Интеллектуальное развитие, формирование уровня абстрактного и логического мышления и алгоритмической культуры, необходимого для обучения в высшей школе и будущей профессиональной деятельности.

3. Развитие представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в истории цивилизации и современном обществе.

4. Формирование представлений о математики как форме описания и методе познания действительности, об идеях и методах математики, об особенностях математического исследования и его отличии от методов естественных и гуманитарных наук.

Изучение математики в старшей школе на профильном уровне направлено на достижении следующих целей:

1. Формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов.

2. Овладение устным и письменным математическим языком, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне.

3. Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции. Творческих способностей на уровне, необходимом для самостоятельной деятельности в области математики и её приложений в будущей профессиональной деятельности.

4. Воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости математики для общественного прогресса.

Изучение темы «Уравнения с параметрами » на базовом уровне в старшей школе направлено на достижении целей:

• овладение знаниями при решении линейных, квадратных, иррациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и применение этих знаний при решении уравнений с параметрами;

• формирование у учащихся представления о задачах с параметрами как задачах исследовательского характера и показ их многообразия;

• интеллектуальное развитие, формирование уровня абстрактного и логического мышления и алгоритмической культуры, необходимого для сдачи ЕГЭ и дальнейшего обучения;

• формирование представлений о «параметре» как форме описания и методе познания действительности, об идеях и методах решения уравнений, об особенностях решения задач подобного типа и его отличия от традиционных методов.

Данные цели направлены на формирование математической (прагматической), социально-личностной, общекультурной и предметно-мировоззренческой компетентностей выпускника старшей школы.

Математическая (прагматическая) компетентность выпускника старшей школы будет способствовать

• умению использовать теоретический материал при решении задач;

• умению пользоваться математическими формулами;

• умению выполнять переход от частного к общему;

• владению аппаратом построения графиков и их преобразований.

Социально-личностная компетентность будет способствовать

• владению стилем мышления, его абстрактностью, доказательностью, строгостью;

• умению проводить аргументированные рассуждения, делать логические обоснования, выводы;

• умению проводить обобщения на основе анализа частных примеров, выдвигать предположения и их обосновывать;

• умению ясно и точно выражать свои мысли в устной и письменной речи, выбирать из информационного потока нужный материал.

Общекультурная компетентность будет способствовать

• умению понимать и объяснять значимость математики как общечеловеческой культуры;

• умению использовать математической символики, терминов ,символов и формул;

• умению представлять об особенностях математического языка и соотношения их с русским языком.

Предметно-мировоззренческая компетентность будет способствовать

• умению понимать особенности применения математических методов к исследованию.

Формирование навыков исследовательской деятельности учащихся

при решении уравнений с параметрами

Программа элективного курса по математике для учащихся 10 профильных классов общеобразовательных школ.

Изучение элективного курса в профильном классе направлено на достижение следующих целей:

• усвоить, углубить и расширить знания методов, приёмов и подходов к решению задач с параметрами;

• продолжить работу по интеллектуальному и творческому развитию учащихся, формированию уровня абстрактного и логического мышления;

• открыть перспективные возможности усвоения курса математики в высших учебных заведениях.

Достижение поставленных целей возможно через решение задач с параметрами, что позволяет решать следующие основные задачи:

• обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений при решении задач с параметрами;

• формирование интеллектуальных умений, умений и навыков самостоятельной математической деятельности, определённых государственными стандартами программы курса;

• обеспечение прочной математической подготовки для сдачи ЕГЭ и изучения содержания математического образования в технических вузах страны.

Формы контроля.

Результатом учебной деятельности учащихся профильных классов является групповая исследовательская работа по темам: «Иррациональные задачи с параметрами», «Графически-иллюстративный метод решения рациональных уравнений с параметрами в системе (х; а)», «Применение производной при анализе и решении физических задач с параметрами».

Требования к знаниям и умениям

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

• решать линейные и квадратные уравнения с параметром;

• решать иррациональные, логарифмические, показательные, тригонометрические уравнения с параметром как аналитически так и графически;

• применять аппарат алгебры и математического анализа для решения прикладных задач.

Содержание программы

10 класс - 17ч. (1 час в неделю)

I . Аналитические решения основных типов задач (7часов).

1. Необходимые условия в задачах с параметрами.

2. Решение линейных уравнений.

3. Параметр и теорема Виета.

4. Параметр и поиск решения рациональных уравнений.

5. Параметр и поиск решения дробно-рациональных уравнений.

6. Квадратный трехчлен.

7. Решение уравнений, содержащих модуль.

Основная цель

• обобщить и систематизировать знания учащихся о методах и приёмах решения дробно-рациональных, рациональных, тригонометрических, линейных уравнений;

• показать «двойственную природу» параметра. («общение» с параметром, как с числом, степень свободы «общения» ограничивается неизвестностью).

Планируемые результаты обучения при изучении темы.

Знать, понимать

• определение уравнения, содержащего параметры;

• принципы решения линейного, дробно-рационального, квадратного уравнения, содержащего параметр, алгебраическим методом;

• методику решения уравнения.

Уметь

• Применять методы и приёмы решения линейных, квадратных, тригонометрических уравнений при отыскании корней уравнений в зависимости от параметра;

• Методы разложения в задачах с параметрами.

ΙΙ. Квадратичная функция у=ах² + bх + с, где а≠0 (5 часов).

1. «Каркас» квадратичной функции, исследование знаков дискриминанта и

старшего коэффициента при построении «каркаса» квадратичной

функции, содержащей параметры, определение вершины параболы. Теорема Виета.

2. Расположение корней квадратичной функции относительно данных

точек.

3. Решение уравнений, приводящих к исследованию квадратичной

функции.

4. Метод интервалов в задачах с параметрами.

5. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к исследованию

расположения корней квадратичной функции.

Основная цель

• продолжить формирование у учащихся представлений о следующих понятиях: область определения; область значения; наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции на промежутке;

• выработать умение графического решения квадратного уравнения; исследование и чтение графиков.

Планируемые результаты обучения при изучении темы.

Знать, понимать

• алгоритм построения графика квадратичной функции у = ах² + bх + с;

• этапы исследования графика и квадратичной функции;

• теорема Виета;

• методы решения уравнений, сводящихся к составлению квадратного уравнения.

Уметь

• строить графики квадратичной функции с использованием свойств этой функции;

• строить «каркас» квадратичной функции, содержащей параметры;

• применять теорему Виета для исследования квадратичной функции.

III. Применение производной (5часов).

1. Геометрический и физический смысл производной в задачах с параметрами.

2. Касательная к кривой.

3.Отыскание стационарных (критических) точек при исследовании

функции, содержащей параметры.

4. Возрастание и убывание функции, содержащей параметры.

5. Решение текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего

значения функции, содержащей параметры.

Основная цель

• обобщить и систематизировать знания учащихся, связанных с понятием производная, её механическим и геометрическим смыслом;

• научить применять аппарат математического анализа к исследованию функций, содержащих параметры.

Планируемые результаты обучения при изучении темы.

Знать, понимать

• теоретические обоснования геометрического и физического смысла производной;

• нахождение точек экстремума и экстремумов функции;

• алгоритм отыскания промежутков монотонности функции.

Уметь

• применять теоретические обоснования применения производной к исследованию функции;

• исследовать полученную функцию ранее изученными методами.

Календарно-тематическое планирование учебного материала

10 класс- 17 часов (1 час в неделю)

Кол-во

часов

I . Аналитические решения основных типов задач

7

1. Необходимые условия в задачах с параметрами.

1

2. Решение линейных уравнений.

1

3. Параметр и теорема Виета.

1

4. Параметр и поиск решения рациональных уравнений.

1

5. Параметр и поиск решения дробно-рациональных уравнений.

1

6. Квадратный трехчлен.

1

7. Решение уравнений, содержащих модуль.

1

ΙΙ. Квадратичная функция у=ах² + bх + с, где а≠0

5

1. «Каркас» квадратичной функции, исследование знаков дискриминанта и старшего коэффициента при построении «каркаса» квадратичной функции, содержащей параметры, определение вершины параболы. Теорема Виета.

1

2. Расположение корней квадратичной функции относительно данных точек.

1

3. Решение уравнений, приводящих к исследованию квадратичной функции.

1

4. Метод интервалов в задачах с параметрами.

1

5.Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к исследованию расположения корней квадратичной функции.

1

III. Применение производной.

5

1. Геометрический и физический смысл производной в задачах с параметрами.

1

2. Касательная к кривой.

1

3.Отыскание стационарных (критических) точек при исследовании функции, содержащей параметры.

1

4. Возрастание и убывание функции, содержащей параметры.

1

5. Решение текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, содержащей параметры.

1

Содержание программы

11 класс - 17ч. (1 час в неделю)

I. Графические приёмы (4 часа).

1. Построение графического образа на координатной плоскости в системе (х; у).

2. Построение графического образа на координатной плоскости в системе (х; а).

3. Отыскание решений уравнений с помощью наглядно-графической интерпретации.

4. Контрольная работа по теме «Графические приёмы».

Основная цель

• обобщить и систематизировать знания учащихся, свойств и графиков элементарных функций;

• изучить построение графических образов и графиков у = f (х+а) + b и графиков, содержащих модуль;

• познакомить учащихся с алгоритмом отыскания корней уравнения при графическом методе решения уравнений, содержащих параметры.

Планируемые результаты обучения при изучении темы

Знать, понимать

• графики элементарных функций;

• построение графика функции: у = f (х-х_о) + у_о; у = f (|х|-х_о) + у_о;

у = f (|х-х_о|) + у_о;

• алгоритм построения графического образа в системе (х; а) и отыскание решения.

Уметь

• строить графики уравнений в системе (х; у) и (х; а);

• применять наглядно-графическую интерпретацию к решению уравнений;

• обосновать применение того или иного метода.

ΙΙ. Свойства функции в задачах с параметрами (5 часов).

1. Задачи с параметрами на отыскание Е(у).

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

3. Монотонность и обратимость функции в задачах с параметрами.

4. Четность, периодичность в задачах с параметрами.

5. Нахождение D(y) в задачах с параметрами.

Планируемые результаты обучения при изучении темы

Знать, понимать

• знать свойства элементарных функций и уметь применять их при исследовании.

Уметь

• находить наибольшее и наименьшее значения функций;

• применять периодичность, четность и нечетность функций при исследовании.

ΙΙΙ. Аналитические решения основных типов задач (5часов).

1. Параметр и поиск решения иррациональных уравнений.

2. Параметр и поиск решения показательных уравнений.

3. Параметр и поиск решений логарифмических уравнений.

4. Параметр как равноправная переменная.

5. Разные приёмы (введение новой переменной, использование свойств функции, «ветвление»).

Планируемые результаты обучения при изучении темы

Знать, понимать

• строить графики элементарных функций;

• применять графический метод в системе (х; у) при решении иррациональных уравнений;

• методы решения иррациональных уравнений.

Уметь

• применять аналитические методы решения иррациональных уравнений, содержащих параметры: ;

• введение новой переменной;

• введение двух переменных.

ΙV. Методы поиска необходимых условий (3 часа).

1. Исследование симметрии аналитических выражений.

2-3. Разные приемы.

Планируемые результаты обучения при изучении темы

Уметь

• определять аналитические выражения, геометрические образы которых имеют или ось, или плоскость симметрии.

Календарно-тематическое планирование учебного материала

11 класс- 17 часов (1 час в неделю)

Кол-во

часов

I. Графические приёмы

4

1. Построение графического образа на координатной плоскости в системе (х; у).

1

2. Построение графического образа на координатной плоскости в системе (х; а).

1

3. Отыскание решений уравнений с помощью наглядно-графической интерпретации.

1

4. Контрольная работа по теме «Графические приёмы».

1

ΙΙ. Свойства функции в задачах с параметрами

5

1. Задачи с параметрами на отыскание Е(у).

1

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

1

3. Монотонность и обратимость функции в задачах с параметрами.

1

4. Четность, периодичность в задачах с параметрами.

1

5. Нахождение D(y) в задачах с параметрами.

1

ΙΙΙ. Аналитические решения основных типов задач

5

1. Параметр и поиск решения иррациональных уравнений

1

2. Параметр и поиск решения показательных уравнений.

1

3. Параметр и поиск решений логарифмических уравнений.

1

4. Параметр как равноправная переменная.

1

5. Разные приёмы (введение новой переменной, использование свойств функции, «ветвление»).

1

ΙV. Методы поиска необходимых условий

3

1. Исследование симметрии аналитических выражений.

1

2. Разные приемы.

2

Матричное представление многоуровневой системы учебных математических задач

Многочлены

а) Линейные

уравнения

б) Квадратные

уравнения

Аналитический

метод

ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

ax=a

МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

x+2=a

НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

(a²-1)x=2a²+a-3

ЗЗ При каких значениях параметра а квадратное уравнение ах²+2(а+1)х+2а=0 имеет:

два различных корня?

МЗ два положительных корня?

НЗ два различных корня в интервале (1;2)?

Графически-аналитический метод

ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

ЗЗ При каких значениях параметра а уравнение

х²+2(а-1)х+а+5=0 имеет хотя бы один положительный корень?

МЗ При каких значениях параметра а уравнение

(а-1)х²+(2а+3)х+а+2=0 имеет корни одного знака?

НЗ При каких значениях параметра а уравнение

(а-2)х²-2(а+3)х+4а=0 имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3?

Графически-аналитический метод

ЗЗ При каких значениях параметра а корни уравнения

(а-2)х²-3(а+3)х+а+1=0 имеют разные знаки?

МЗ При каких значениях параметра а корни уравнения

(а+1)х²+2х-3а-1=0 меньше 1?

НЗ Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения

(а+1)х²-(а²+2а)х-а-1=0 принадлежат отрезку [-2;2]?

Координатно- параметрический метод

ЗЗ Для каждого действительного значения параметра а решить уравнение

(a²-1)x=2a²+a-3

МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

НЗ Применяя КП метод исследовать в зависимости от значений параметра а решения уравнений

ЗЗ Найти все значения параметра а, при которых уравнение

(2-х)(х+1)=а имеет два различных неотрицательных корня.

МЗ Найти все значения параметра а, при которых уравнение

х²-х-а=0 имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее неравенству .

НЗ Найти все значения параметра а, при которых оба корня уравнения х²+х+а=0 действительны и больше а.

Тригонометрические уравнения

Иррациональные уравнения

Уравнения с модулем

ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

a sin x=1

МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

cos 2x=1+a²

НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

2sin²x-(2a+1)sin x+a=0

ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

.

МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

.

НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

.

ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

МЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет более трёх решений?

НЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет 4 различных решения?

ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

.

МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

.

НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

ЗЗ (a²-5a+6)sinx=a-3 на [0;2π]

МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

cosx+cosax=2

ЗЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет единственное решение?

МЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет два корня?

НЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет два корня?

ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

МЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет единственное решение?

НЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет 3 решения?

ЗЗ Для каждого допустимого значения параметра а найти решение уравнения

sin x=а, принадлежащие промежутку .

МЗ Определить область значений параметра а, при которых уравнение

2cos2x-4a cosx+a²+2=0 не имеет действительных решений.

НЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет ровно 3 корня, расположенные на отрезке ?

ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение .

МЗ Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет решения, принадлежащие промежутку [0;1].

НЗ Для каждого действительного положительного а найти все корни уравнения

ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

.

МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

НЗ При каких значениях параметра а все решения уравнения

удовлетворяют неравенству ?

Производная

Показательные

уравнения

Логарифмические

уравнения

ЗЗ При каких значениях m функция

f(x)=2x³-3(m+2)x²+48mx+6x-3 возрастает на всей числовой прямой?

МЗ При каком значении а касательная к параболе y=ax²+x-3 в точке М(1; а-2) параллельна прямой 3y-6x=1?

ЗЗ Найти все значения параметра а, при которых уравнение 4^х-а2^х+1-3а²+4а=0 имеет единственный корень.

МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

а^4х+а^2х=а^6х.

НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

.

ЗЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

(2x-a)log₂x=0

МЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

(x-1)log₂(x-a)=0

НЗ Для каждого значения параметра а решить уравнение

log_x(2x-a)=1

ЗЗ При каком а прямая y=9x+a является касательной к графику функции ?

МЗ При каком а прямая y=ax является касательной к графику функции y=e^x-1-3?

НЗ При каком а>0 кривая y=alnx имеет с графиком функции y=2x²+2xа одну общую точку

ЗЗ Найти все значения а, при которых уравнение

имеет единственное решение.

МЗ Найти все значения а, при которых уравнение

имеет решение.

ЗЗ Найти число корней уравнения

6х²+2х³-18х+n=0 в зависимости от параметра n.

МЗ Найти число положительных корней уравнения e^x=ax² в зависимости от параметра а.

ЗЗ При каких значениях параметра а уравнение

25^х+5^х(2-3а)+2а²-5а+3=0

имеет ровно одно решение?

МЗ При каких значениях параметра а уравнение

9^х-(5а+3)3^х+6а²+11а-10=0

не имеет корней?

НЗ При каких значениях параметра а уравнение

4^х-2(3а-2)·2^х+5а²-4а=0

имеет два решения?

ЗЗ Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет единственное решение.

МЗ Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра а?

ЗЗ Для каждого действительного значения параметра а решить уравнение

.

МЗ При каких значениях параметра а уравнение

имеет ровно два решения?

НЗ Для любых значений а решить уравнение

ЗЗ При всех а решить уравнение

log_x+1ax=2.

МЗ Определить при каких а уравнение

имеет решение, и найти эти решения.

НЗ Для любых допустимых значений а решить уравнение

log_a(x²-3a)=log_a(a²-3x).