Обобщающий урок по теме «Решение комбинированных уравнений» 11 класс.

Гадзова Эмма Шадиновна,

учитель математики МОУ «СОШ № 1»

с. Малка Зольского района КБР

Решение сложных комбинированных уравнений

Тип урока: семинарское занятие.

Цель урока:

закрепить навыки решения сложных уравнений различными методами.

Ход урока:

I Организационный момент:

а) готовность класса к уроку;

б) сообщение цели и задач урока.

ІI Актуализация опорных знаний со слабыми и средними учащимися, работа наиболее подготовленных учащихся по индивидуальным карточкам.

1. Дать определение уравнения и его корня, равносильности двух уравнений.

Ответ:

Арифметическое выражение, содержащее неизвестную переменную и знаки равенства называют уравнением. Значение переменной, превращающее уравнение в верное равенство, называют корнем уравнения. Два уравнения называют равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и любой корень второго уравнения является корнем первого уравнения.

2. Дать определение равносильности преобразования уравнения и перечислить основные равносильные преобразования.

Ответ:

Замену одного уравнения другим, равносильным ему уравнением называют равносильным преобразованием уравнения.

Равносильными преобразованиями уравнения являются:

• перенос члена уравнения с противоположным знаком из одной части уравнения в другую;

• умножение (деление) обеих частей уравнения на отличную от нуля число;

• возведение уравнения в нечетную степень;

• извлечение корня нечетной степени с обеих частей уравнения:

• логарифмирование показательного уравнения;

• применение тождеств, т. е равенств, справедливых для любого числа.

3. Рассказать, какие равносильные преобразования нужно выполнить, чтобы решить следующие уравнения:

;

4. Дайте определение уравнения - следствия и перечислите преобразования, приводящие к уравнению следствия.

Ответ:

Пусть даны два уравнения. Если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называют уравнением- следствием первого.

Замену уравнения другим уравнением, которое является его следствием, называют переходом к уравнению- следствию.

При переходе к уравнению- следствия возможно появление лишних корней, посторонних для исходного уравнения, поэтому проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения.

Преобразованиями, приводящими к уравнению- следствия является:

• возведение уравнения в четную степень;

• потенцирование логарифмического уравнения;

• освобождение уравнения от знаменателя;

• приведение подобных членов;

• применение формул (тригонометрических, логарифмических и других).

5. Расскажите, каким способом приводится следующие уравнения к уравнению - следствия:

;

;

.

6. Сложные уравнения можно решить, приводя их к системам. Правила перехода от уравнений к равносильным системам:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

М-область существования

8.

9.

10.

11.

Запишите системы, равносильные уравнениям:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

7. Решение уравнений с применением формул.

Каким способом можно решить данное уравнение:

8. Очень часто можно встретить уравнение, которое имеет дополнительное условие, например:

Как можно упростить решение такого типа уравнения?

Ответ:

Учитывая, что левая часть уравнения неотрицательное число получаем значит, множество решений данного уравнения есть . Левая часть уравнения для любого есть отрицательное число, значит, рассматривается только одно уравнение . Решается квадратное уравнение, находим и выбираем те, которые принадлежат множеству М.

9. Самыми сложными считаются уравнения с параметром. Дайте определение уравнения с параметром. Давайте рассмотрим несколько таких уравнений с использованием свойств функций:

а)

имеет ровно три корня.

Ответ:

Для каждого значения a рассмотрим функцию

Она определена на множестве R, четная, поэтому, если - корень уравнения, то - тоже является корнем уравнения.

Уравнение (1) имеет три корня тогда и только тогда, когда оно имеет и еще два отличных от нуля корня, отличающихся знаками.

получаем:

При уравнение примет вид у уравнения только один корень.

При уравнение имеет вид . Это уравнение имеет три корня Ответ:3

б) Найти все значения параметра а, при которых уравнение

. (2)

имеет ровно четыре корня.

Ответ:

Для каждого значения a рассмотрим функцию

Она определена на множестве R, четная.

Уравнение (2) имеет четыре корня, если уравнение имеет ровно два положительных корня, т.к. корнями уравнения (2) будут . Значит дискриминант уравнения (3) должны быть положительными:

в) Для каждого значения параметра a решите уравнение:

Ответ:

При уравнение не имеет решений, т.к. .

При имеем:

Проверяем ОДЗ:

Ответ: при уравнение имеет одно решение

г) При каком значении параметра a уравнение не имеет корней:

Ответ:

корень уравнения.

Уравнение не имеет решений, если не выполняется ОДЗ, поэтому

III Выполнения тренировочных упражнений на закрепление навыков и умений решать уравнения.

1. 

2. ;

3. 

ІV Повторение. Решение заданий типа В1- В12 в интерактивном режиме с сайта Банк заданий типа В.

V Разбор заданий типа С с индивидуальных карточек на доске.

Карточка №1

С1.(В13)

Карточка №2

C1.(B1)

Карточка №3

C1.(B12)

Карточка №4

C1.(B19)

Карточка №5

С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет единственное решение:

Карточка №6

С5. Найти все значения a, такие, что уравнение имеет единственное решение:

Карточка № 7

Найти наибольший корень уравнения:

.

Карточка № 8

Найти значение р, при которых уравнение

не имеет решений.

Карточка №9

Решить уравнение

VI Домашнее задание:

1. Решить уравнения с параметром (б, г)

2. Решить № 4, 6, 9 с карточек.

3. Вариант 9 со сборника ФИПИ - разобрать В1-В12.

4. Повторить теорию по темам:

• §8 Уравнения-следствия.

• §9 Равносильность уравнений системам.

• §10 Равносильность уравнений на множествах.

VII Подведение итогов урока.

Литература:

1. Ф. И. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Математика. Подготовка к ЕГЭ. 2010 г. - Ростов -на Дону: Легион, 2009 г.

2. С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. решетников, А. В. Шевкин. Алгебра и начала математического анализа - Москва: «Просвещение», 2008 г.

3. . Сайт ФИПИ. Открытый сегмент заданий ЕГЭ.