ТОГИС задача Степень числа

ТОГИС задача по теме «Степень числа» (7класс)

Задача на нахождение степени числа

Имя задачи: Задача на нахождение степени числа

Автор: Корбань Людмила Алексеевна, учитель математики ДОШ I - III ступеней № 141 им. П.П. Зверькова

Предмет: Алгебра

Класс: 7

Тема: Степень числа

Профиль: Общеобразовательный

Уровень: Общий

Текст задачи Картина Богданова - Бельского «Трудная задача», находящаяся в Государственной Третьяковской галерее, известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание «трудной задачи», изображенной на доске. Решите эту задачу всеми возможными способами, уделив особое внимание устному решению.

а) Выделите ключевые слова для информационного поиска.

б) Найдите и соберите необходимую информацию.

в) Обсудите и проанализируйте собранную информацию.

г) Сделайте выводы.

д) Сравните Ваши выводы с культурным образцом.

Возможные информационные источники.

Web-сайты:

1. https://ru.wikipedia.org/wiki

2. mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000003/st083.shtml

Культурный образец

math4school.ru/trudnaja_zadacha.html

Картина русского художника-передвижника, академика живописи Николая Петровича Богданова-Бельского (1868-1945) "Устный счёт. В народной школе С.А. Рачинского" известна многим. На картине изображена деревенская школа конца XIX века во время урока арифметики при решении дроби в уме.

Учитель - реальный человек, Сергей Александрович Рачинский (1833-1902), ботаник и математик, профессор Московского университета. На волне народничества в 1872 году Рачинский вернулся в родное село Татево, где создал школу с общежитием для крестьянских детей, разработал уникальную методику обучения устному счёту, прививая деревенским ребятишкам его навыки и основы математического мышления. Эпизоду из жизни школы с творческой атмосферой, царившей на уроках, и посвятил своё произведение Богданов-Бельский, сам в прошлом ученик Рачинского. Однако, при всей известности картины мало кто из видевших её вникал в содержание той "трудной задачи", которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 10² + 11² + 12² + 13² + 14²

365

Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел.

Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают любопытной особенностью:

10² + 11² + 12² = 13² + 14².

Действительно, так как

100 + 121 + 144 = 169 + 196 = 365,

то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2

Википедия для подсчета значения числителя предлагает следующий способ:

10² + 11² + 12² + 13² + 14² = 10² + (10 + 1)² + (10 + 2)² + (10 + 3)² + (10 + 4)² =

= 10² + (10² + 2·10·1 + 1²) + (10² + 2·10·2 + 2²) + (10² + 2·10·3 + 3²) + (10² + 2·10·4 + 4²) = 5·100 + 2·10·(1 + 2 + 3 + 4) + 1² + 2² + 3² + 4² = 500 + 200 + 30 = =730 = 2·365.

Можно посчитать иначе:

10² + 11² + 12² + 13² + 14² = (12 - 2)² + (12 - 1)² + 12² + (12 + 1)² + (12 + 2)² =

= 5·12² + 2·4 + 2·1 = 5·144 + 10 = 730,

а далее уже

Приведенные рассуждения вполне можно осуществить устно - 12², конечно, нужно помнить, удвоенные произведения квадратов двучленов слева и справа от 12² взаимно уничтожаются и их можно не считать, а 5·144 = 500 + 200 + 20, - не сложно.

Воспользуемся этим приемом и устно найдем сумму:

48² + 49² + 50² + 51² + 52² = 5·50² + 10 = 5·2500 + 10 = 12510.

Усложним:

84² + 87² + 90² + 93² + 96² = 5·8100 + 2·9 + 2·36 = 40500 + 18 + 72 = 40590.

Ряд Рачинского

Алгебра дает нам средство поставить вопрос об этой интересной особенности ряда чисел

10, 11, 12, 13, 14

более широко: единственный ли это ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?

Обозначив первое из искомых чисел через x, имеем уравнение

x² + (х + 1)² + (x + 2)² = (x + 3)² + (x + 4)².

Удобнее, однако, обозначить через х не первое, а второе из искомых чисел. Тогда уравнение будет иметь более простой вид

(x - 1)² + x² + (x + 1)² = (x + 2)² + (x + 3)².

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем:

x² - 10x - 11 = 0,

откуда

х₁ = 11, x₂ = -1.

Существуют, следовательно, два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского

10, 11, 12, 13, 14

и ряд

-2, -1, 0, 1, 2.

В самом деле,

(-2)² +(-1)² + 0² = 1² + 2².

Закончить я хотела бы светлыми и трогательными воспоминаниями автора авторского блога В. Искры в статье « О квадратах двузначных чисел и не только о них…»

Когда-то, в году примерно 1962-м, наша «математичка», Любовь Иосифовна Драбкина, дала эту задачу и нам, 7-классникам.

Я тогда очень увлекался только что появившимся КВН-ом. Болел за команду подмосковного города Фрязино. «Фрязинцы» отличались особым умением применять логический «экспресс-анализ» для решения любой задачи, «вытягивания» самого каверзного вопроса.

Быстро посчитать в уме я не мог. Однако, применив «фрязинский» метод, я прикинул, ответ должен выражаться целым числом. Иначе - это уже не «устный счет»! Этим числом не могла быть единица - даже если бы в числителе стояли одинаковые 5 сотен, ответ получался явно больше. С другой стороны, и до числа «3» он явно де дотягивал.

- Два!!! - выпалил я, на секунду опередив моего друга, Леню Струкова, лучшего математика нашей школы.

- Да, действительно два, - подтвердил Леня.

- Как Вы считали? - спросила Любовь Иосифовна.

- Я никак не считал. Интуиция - ответил я под хохот всего класса.

- Если не считал - ответ не считается - «скаламбурила» Любовь Иосифовна. Леня, а ты тоже не считал?

- Нет, почему же, степенно ответил Леня. Надо было сложить 121, 144, 169 и 196. Я попарно сложил числа первое и третье, второе и четвертое. Так удобнее. Получилось 290+340. Общая сумма, включая первую сотню - 730. Делим на 365 - получаем 2.

- Молодец! Но на будущее запомните - в ряду двузначных чисел - у первых пяти его представителей - есть удивительное свойство. Сумма квадратов первых трех чисел ряда (10, 11 и 12) равна сумме квадратов следующих двух (13 и 14). И равняется эта сумма 365. Легко запомнить! Столько дней в году. Если год не високосный. Зная это свойство, ответ можно получить за секунду. Без всякой интуиции…

Методический комментарий

Данная задача межпредметная и может применяться на уроках алгебры, истории, рисования. Поставленные в задаче вопросы позволят значительно расширить и углубить знания учащихся о нахождении степени числа, развить быстроту устного счета, используя ряды Рачинского.

Навыки устного счёта помогают стать учащимся внимательными, рефлексивными, закалять характер и волю к отличным результатам. Путь, к решению жизненных проблем, начинается в школе - в работе над собой. А математика, как известно, приводит ум в порядок.

Данная задача может быть использована при изучении материала 7 класса, а также на этапе итогового повторения курса математики в 8-9 классах общеобразовательной школы.

Список литературы

1. Персональный сайт Гузеева В.В. [Электронный ресурс]. - 2014. - Режим доступа: www.gouzeev.ru/.

2. Сайт «ТОГИС-клуб» [Электронный ресурс]. - 2014. - Режим доступа: www.togisklub.ru/</.

3. Сухарева, И. А. Опыт ТОГИС-шагов в начальной школе "Дарина" [Текст] / И. А. Сухарева, Е. В. Тимофеева // Педагогические технологии. - 2011. - № 3. - С. 101-103.