План-конспект урока на тему: Решение задач на построение треугольников

21.11.13 г. Решение задач на построение треугольников Урок № 22

Цель урока:

• Образовательные: научить учеников строить треугольник, равный данному, используя циркуль и линейку; из опыта практической деятельности учащиеся должны понять, что треугольники равны по трем элементам; каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.

• Развивающие: расширить знания учащихся о задачах на построение;

сформировать умение решать задачи на построение треугольника по трем элементам;

расширить знания об истории развития геометрии;

формирование алгоритмического мышления.

• Воспитательные:

воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при изучении темы;

воспитание интереса к истории математики, как науки.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Проверка теоретических знаний обучающихся по теме «Треугольники»

3. Изучение нового материала.

Мотивация урока.

Сегодня на уроке мы будем решать задачи на построение.

Сначала послушаем историческую справку:

Первые задачи на построение возникли в глубокой древности. Возникли они из хозяйственных потребностей человека. Уже древним архитекторам и землемерам приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией.

Самые первые задачи на построение заключались в проведении прямых линий и построениях прямого угла.

К задачам на построение прибегали древние инженеры, когда составляли рабочий чертеж того или иного сооружения и решали вопросы, связанные с отысканием красивых геометрических форм сооружения и его наибольшей вместимости. Задачи на построение помогали людям в их хозяйственной жизни, их решения формулировались в виде "практических правил", исходя из наглядных соображений. Именно эти задачи и были основой возникновения наглядной геометрии, нашедшей довольно широкое развитие у древних народов Египта, Вавилона, Индии и др. Однако практические правила первых землемеров, архитекторов, астрономов еще не составляли настоящей геометрии, основанной на теоретических построениях и доказательствах.

Задачи на построение нашли широкое распространение в древней Греции, где впервые создалась геометрическая теория в систематическом изложении.

Первым греческим ученым, который рассматривал геометрические задачи на построение, был Фалес Милетский. Это он, пользуясь построением треугольника, определил расстояние, недоступное для непосредственного измерения - от берега до корабля в море. Это он вычислил высоту египетской пирамиды по отбрасываемой ею тени.

Задачи на построение интересовали и Пифагора. Пифагор и его ученики потратили много сил, чтобы отдельным геометрическим сведениям, состоящим до того времени из набора интуитивных правил, придать характер настоящей науки, основанной на логических доказательствах.

Особенно сильно задачи на построение интересовали Платона, основателя знаменитой "Академии" в Афинах. Платон и его ученики считали построение геометрическим, если оно выполнялось при помощи циркуля и линейки, т. е. путем проведения окружностей и прямых линий. Если же в процессе построения использовались другие чертежные инструменты, то построение не считалось геометрическим. Древние греки вслед за Платоном стремились к геометрическим построениям и считали их идеалом в геометрии.

Вам знакомы такие инструменты, как масштабная линейка, циркуль, транспортир и другие.

Проводя прямую, откладывая отрезок, измеряя угол, изображая треугольник вы имели дело с геометрическими построениями.

Сегодня на уроке вы узнаете, как можно выполнить построения при помощи циркуля и линейки без масштабных делений. Такая линейка позволяет провести произвольную прямую и построить, прямую, проходящую через две данные точки, но не позволяет откладывать отрезки, заданной длинны. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

В математике есть специальные задачи на построение, которые решаются только с помощью циркуля и линейки. Если же в процессе построения используются другие чертежные инструменты, то такое построение не считается геометрическим.

Что же можно делать с помощью циркуля и линейки?

• Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки.

• С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку; можно отложить отрезок заданной длины.

Выполняя эти несложные операции, мы можем решать разные задачи на построение.

Давайте вспомним, какие задачи на построение вы решали:

• через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой;

• разделить данный отрезок пополам;

• построение угла, равного данному;

• деление угла пополам.

Сегодня на уроке мы решим задачу построения треугольника по трем элементам.

Пишем тему урока «Построение треугольников по трем элементам».

а) актуализация знаний.

Определение треугольника.

Треугольник - это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки.

Элементы треугольника- углы и стороны.

б) добиться успеха в решении задач на построение поможет аккуратность точность измерений, умение пользоваться чертёжными инструментами и знание способа построения треугольника.

Повторим ТБ при работе с циркулем:

• Лежит с правой стороны (т.к. берём правой рукой) остриём к себе.

• Без разрешения учителя не берём.

• Передаем тупым концом.

• Чертим - упор на остриё.

в) По поводу задач на построение у математиков есть ряд договорённостей и ограничений. В соответствии с ними стороны треугольника задаются в виде отрезков, а не числами, определяющими их длину; углы задаются в виде геометрической фигуры - угла.

в) решим следующие задачи на построение:

1) построение треугольника по трем сторонам;

2) построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам;

3) построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

При построении используется презентация подготовленная учителем.

Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами a, b, c.

а) Просмотр и обсуждение анимации «Построение треугольника по трём сторонам»

б) этапы решения задач на построение.

Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа:

• анализ;

• построение;

• доказательство;

• исследование.

Алгоритм построения:

1. Построим луч а.

2. Отложим отрезок АВ, равный P₁Q₁.

3. Построим дугу с центром в т. А и радиусом Р₂Q₂.

4. Построим дугу с центром в т. В и радиусом P₃Q₃.

Учащиеся выполняют построение в тетради

Доказательство единственности решения:

Так как прямую и точку на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники будут равны по третьему признаку равенства треугольников (треугольники отличаются только положением на плоскости).

Исследование.

Во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Например, невозможно построить треугольник по сторонам а=2 см, в=3 см, с=6 см, а+в>с

Запись в тетради

/а-в/ < c <а+в

Задача 2. Построить треугольник по 2 сторонам и углу между ними

Слайд

Алгоритм построения:

1. Построим луч а.

2. Отложим отрезок АВ, равный P₁Q₁.

3. Построим дугу с центром в т. А и радиусом Р₂Q₂.

4. Построим дугу с центром в т. В и радиусом P₃Q₃.

Как и в первом случае, задача имеет единственное решение.

Решение задачи учащимися сопровождается презентацией.

г) Физкультминутка (презентация, гимнастика для глаз)

Учитель.

Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах.

Все круглые формы выражают идею неба, квадрат - это земля, треугольник - символизирует взаимодействие между землей и небом.

Посмотрите на слайд: Пирамида имеет квадрат в плане и треугольник в вертикальном сечении.

4.Закрепление изученного.

5.Проверка усвоения изученного материала.

Тест.

1.Какими инструментами пользуемся при решении задач на построение

1.Циркуль и транспортир 2. Циркуль и угольник 3. Линейка и циркуль 4. Угольник и транспортир

2.Дан угол 40 градусов. Можно ли построить угол 20 градусов.

1. Да 2. Нет

3. С помощью циркуля и линейки построен равносторонний треугольник АВС. Чему равен угол А?

1. 60 градусов. 2. 45 градусов. 3. 30 градусов.

4. Можно ли с помощью циркуля и линейки найти середину отрезка?

1.Да 2.Нет

5. Сколько решений имеет задача построения треугольника по трем заданным сторонам?

1. 2 2. 3 3. 1 4.Бесконечное множество

Подведение итогов урока (рефлексия). Итог урока.

• Обобщение всех полученных результатов, оценить работы учащихся за урок.

• Мнения учащихся об уроке и перспективе применения полученных знаний.

6.Домашнее задание: §7-8, вопросы 1-6, 1-2 (стр. 41, 44), задача № 14 с.42

Передайте свое настроение с помощью изображения треугольника.

Закончим урок словами великого учёного Галилео Галилея: «Геометрия является самым могущественным средством для развития наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать".

Урок окончен. Молодцы, ребята - плодотворно поработали.

Озвучивание:

Окончен урок, и выполнен план.

Спасибо, ребята, огромное вам.

За то, что упорно и дружно трудились,

И знания точно уж вам пригодились.