МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА Реализация системно-деятельностного подхода при формировании понятий синуса, косинуса произвольного угла

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Реализация системно-деятельностного подхода при формировании понятий синуса, косинуса произвольного угла

Тема: Синус и косинус произвольного угла

(10 класс, алгебра)

Цели урока:

Обучающая: ПРАКТИЧЕСКИЕ УМЕНИЯ

1. формирование у обучающихся понятий синуса, косинуса произвольного угла посредством организации обучающей деятельности по усвоению определений;

2. умения находить синус, косинус любого угла посредством формирования у обучающихся ориентировочной основы действий (ООД) по алгоритму;

3. формирование умения применять понятия (через организацию деятельности, адекватной усваиваемому содержанию) посредством решения задач, а именно:

• задачи на непосредственное применение понятий;

• установления внутриматематических связей через решение задач построения угла (определение местонахождения точки единичной окружности по четвертям) по известному значению синуса, косинуса;

• задачи на нахождение по известным одной из функций угла и его расположения в одной из четвертей единичного круга остальных трёх тригонометрических функций этого угла;

• установление межпредметных связей и обучение практическому применению понятия посредством решения практико-ориентированных задач.

Развивающая: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УМЕНИЯ

• умение самообучения посредством соотнесения этапов решения эталонам;

• развитие у обучающихся логического мышления посредством требования обязательности обоснования своих действий;

• грамотности математической речи посредством организации этапа громкой речи;

• умений планирования через составление плана решения задачи и алгоритмизацию отдельных этапов решения задач;

Воспитывающая: ЛИЧНОСТНЫЕ КАЧЕСТВА

• формирование у школьников стойкого познавательного интереса к предмету посредством использования на уроке интересных исторических фактов, создания ситуаций затруднения, выстраивания серии заданий по принципу доступности, последовательности изучения материала от простого к сложному;

• навыков самоорганизации, самостоятельности через организацию самостоятельной деятельности;

• коммуникативных навыков через организацию взаимной проверки заданий в парах;

• навыков самоконтроля посредством организации проверки и самопроверки выполненных заданий.

Оборудование урока:

Интерактивная доска или проектор, раздаточный материал (карточки-опоры), демонстрационная модель тригонометра.

Ход урока

0. Организационный момент

I этап - подготовительный

Цель этапа:

• сообщение обучающей цели урока (цель заявлена темой урока);

• актуализация опорных знаний, необходимых для усвоения темы.

Учебные действия, необходимые на данном этапе:

• умения распознавать понятия: декартова система координат, декартовы координаты, абсцисса точки, ордината точки, окружность, радиус-вектор, угол поворота радиус-вектора, нулевой угол, полный угол поворота, положительный и отрицательный углы, четверти координатного круга;

• умение находить синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника;

• умение применять основное тригонометрическое тождество для острых углов, а также знание табличных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов 30⁰, 45⁰ ,60⁰;

• умение применять формулу длины дуги, соответствующей данному центральному углу окружности;

• умение строить любой угол (любой градусной меры и знака) на единичной окружности и обратно - по чертежу определять градусную меру и знак угла поворота;

• умение соотнесения (отождествления) точки единичной окружности с углом поворота радиус-вектора и обратно;

• умение ориентироваться по четвертям координатного круга;

• умение представлять угол любой градусной меры в радианах и обратно, любой угол, выраженный в радианах переводить в градусы;

• умения выражать любой угол в градусной и радианной форме: или .

Задачи на повторение могут быть заданы на экране, вопросы задаваться последовательно фронтально всему классу с последующим обсуждением правильности ответов.

Деятельность учителя - озвучивает задание

Ответьте на вопросы:

1. Выполните задание на печатной основе. Отметьте на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу (по слайду с последующей проверкой):

1. 90⁰, 180⁰, 270⁰, 360⁰; 2) -30⁰, -45⁰, -60⁰; 3) 120⁰, -135⁰, -150⁰; 4) 240⁰, -330⁰, -225⁰

2. Запишите градусную и радианную меру углов поворота, изображенных на рисунках:

Укажите угол поворота в таблице.

1

2

3

4

5

6

7

8

Градусная мера

Радианная мера

3. Какой четверти принадлежит точка, соответствующая числу: 1, 3, 5, 12, -8?

Правильный ответ:

4. Решите задачи из геометрии 8 класса.

5. В последней задаче примите гипотенузу равной единице. Как в этом случае будут выражены катеты?

Деятельность учащихся: решают и объясняют решения.

Деятельность учителя - организует самопроверку на экране

II этап - мотивационный

Цель: организация предварительного ознакомления учащихся с обучающей целью урока, возбуждение у обучающихся интересу к изучаемой теме, создание «внутренней», или познавательной, мотивации посредством предложения учащимся задачи, создающей при решении проблемную ситуацию (ситуацию затруднения).

Учебные действия, необходимые на этом этапе: логические действия по сравнению - установление сходства и отличия, выделение общего, общеучебные - применение знаний в практической ситуации, формулирование гипотез для решения поставленной проблемы.

Деятельность учителя - зачитывает историческую справку (можно с презентации)

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА:

Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затмений и т.д.) В основе всех математических открытий лежит практическое решение задач: как составить правильный календарь, имеющий огромное значение для древних земледельцев? Как научиться точно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил? Как составить точные географические карты? Как правильно определить большие расстояния на поверхности Земли?

На небосводе Земли люди с древних времен видели 5 планет: Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер и Сатурн. Наблюдения невооруженным глазом не позволяли различить ни остальные планеты, ни детали на их поверхностях. Лишь с изобретением телескопа удалось разглядеть наших соседей по Солнечной системе поподробнее и обнаружить еще три планеты - Уран, Нептун и Плутон. Первым в этой триаде был открыт Уран.

Ночная страсть музыканта

42-летний профессиональный музыкант Вильям Гершель на жизнь зарабатывал преподаванием музыки и игрой на скрипке и гобое в местном оркестре, но главной страстью его жизни была астрономия. В саду во дворе своего дома Гершель установил им же самим изготовленный телескоп и занялся исследованием звездного неба. Уже седьмой год вел он свои наблюдения. И это не было праздным любопытством: Гершель поставил перед собой грандиозную задачу - нанести на карту неба все звезды Северного полушария.

13 марта 1781 года он изучал расположение светил в районе созвездия Тельца. Одна из звезд в пределах этого участка показалась Гершелю странной - вместо яркой точки она имела вид небольшого диска, поэтому в дневнике наблюдений он сделал такую запись: «необычного вида - либо звезда, окруженная туманностью, либо комета».

Первоначально Гершель посчитал все же, что это комета, о чем вскоре и послал сообщение в Королевское общество. За свое открытие он в том же году был избран членом Лондонского Королевского общества и получил степень доктора Оксфордского университета. А спустя 2 месяца после открытия Гершеля петербургский академик Андрей Лексель вычислил параметры орбиты этого небесного тела, показавшие, что оно вращается вокруг Солнца по кругу, радиус которого в 19 раз превышает радиус орбиты Земли. Но самое удивительное состояло в том, что небесное тело, открытое Гершелем, имело круговую орбиту, характерную исключительно для планет - кометы движутся по сильно вытянутым параболам. Стало ясно, что Гершелю удалось обнаружить еще одну, седьмую планету, а Солнечная система, границы которой до сих пор проводились по орбите Сатурна, в одночасье расширилась вдвое. Так был открыт Уран. Обнаружение этой планеты было огромным событием, которое можно сравнить с открытием Америки или с первыми полетами людей в космос.

Как удалось определить, что новое небесное тело - не комета? (знание законов движения комет, траекторий и графиков движения).

А какие графики движения на сегодняшний день знаете Вы?

Деятельность учителя - фронтально задает серию вопросов, подводящих к необходимости изучения нового материала.

Деятельность учащихся: предлагают, выходят к доске и записывают решения.

0. Изобразите схематически график к данной задаче по заданному виду движения тела:

1. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. По пути он делал привал, затем продолжил движение. Определите, на каком расстоянии он находился в определенный момент времени t;

Предполагаемый ответ:

2. В определенный момент с определённой начальной скоростью под углом к горизонту брошен камень. Определите высоту, на которой находится камень в определенный момент времени t;

Предполагаемый ответ:

3. Человек бежит по кругу. Как определить его местонахождение в определенный промежуток времени t?

Предполагаемый ответ: учащиеся предложат нарисовать окружность. Но так как вид движения носит циклический (периодический) характер, то с определением координат местонахождения бегуна в конкретно заданный промежуток времени возникнет ситуация затруднения

Деятельность учителя - задает серию вопросов, подводящих к необходимости изучения нового материала. Можно организовать поисковую беседу:

Поисковая практическая задача: Итак, человек бежит по кругу с определённой скоростью v. Вопрос: Нарисовать предполагаемый график движения бегуна. Вы нарисовали окружность с центром в начале отсчета. Как по графику окружности определить местонахождение спортсмена в определенный промежуток времени t?

1 предполагаемый вариант решения: Представим, что бегун движется по прямой, то есть выпрямим траекторию движения и попытаемся вычислить его путь.

Расстояние от точки старта можно вычислить по формуле пути , скорость умножить на время, получим расстояние. Далее, чтобы определить в какой точке окружности спортсмен находится в данное время, нам потребуется знать длину круга, то есть нужно знать длину беговой дорожки, длину окружности.

Вопрос: Как узнать длину окружности? Ответ: , где R - радиус данной окружности.

Вопрос: Допустим, радиус R - известен, тогда и длину окружности вы вычислите. Ваши дальнейшие действия?

Ответ: Тогда из найденного расстояния вычтем длину окружности столько раз, пока не получим остаток, меньший длины окружности. Это и будет расстоянием от точки старта.

Вопрос: Покажите местонахождение бегуна (ситуация затруднения - в каком направлении откладывать остаток?)

Ответ: В направлении движения бегуна. Вопрос: Согласитесь, что такой способ слегка трудоемок. Существует ли ещё способ или даже готовая формула для вычисления длины пройденного пути?

2 вариант ответа: Представим, что бегун движется по окружности, или по части окружности - по дуге.

Тогда из курса геометрии нам известна формула дуги l, соответствующей центральному углу : .

Но тогда, кроме радиуса R, мы должны еще знать градусную меру центрального угла. И найденное расстояние будет выражено в радианах, например:

Вопрос: Придумайте другой способ определить местонахождение спортсмена.

Возможен еще один вариант ответа:

Предложат поместить в центр окружности наблюдателя и наблюдать за его движением изнутри, поворачиваясь на 360 градусов.

Рассмотрим похожую задачу.

Задача: Ученый- астроном наблюдает за движением звезд, его цель - составление карты звездного неба, причем звезды, как вы знаете, находятся в непрерывном движении. Он находится в роли наблюдателя, находящегося внутри сферы. Как он на практике определит и запишет смещение звезд?

Ответ: Будет измерять углы между выбранными направлениями.

Вопрос: А как удобнее представить результаты наблюдений?

Ответ: Начертит окружность или карту и будет наносить измеренные углы или записывать результаты в письменном виде, в табличном виде.

Вопрос: Удобно ли и быстро ли ориентироваться по таким записям? (риторический вопрос). Нужна система, и такая система есть.

Подведем итог интриги: Задачи практического характера в свое время привели к необходимости рассматривать модель движения по окружности, а не только по прямой (от пункта А до пункта В), как мы умеем.

Вопрос: Как можно сформулировать данную задачу на математическом языке?

Ожидаемый ответ: Нахождение координат точки, находящейся на окружности (или точки, двигающейся по окружности).

Вопрос: Сколькими числами определяется точка, находящаяся на окружности?

Приходим к выводу, что здесь есть два варианта:

1. одной (назовем её угловой) координатой - длиной дуги, пройденной этой точкой от начала отсчета);

2. двумя декартовыми координатами.

   M_t

На данном рисунке показано отличие в обозначении координат точки Мt и М(x;y) . Координата t - это «угловая» координата, равная длине дуги , пройденной движущейся точкой от начальной точки, а пара чисел (x;y) - это декартовы координаты в привычной нам прямоугольной системе координат.

Перед наукой в свое время стояла задача - научиться совмещать эти модели движения тела по окружности, то есть совместить эти два круга. При совмещении оказалось, что декартовы координаты можно вычислить, зная синус и косинус угла поворота точки, и наоборот, по декартовым координатам можно определить угол поворота точки.

Примечание: Задача существенно упростится, если длину радиуса принять за единицу.

Астрономия, которая дает нам наиболее наглядное представление о данной задаче движения тела по окружности, определяет положение объектов в небесной сфере с помощью углов. Можно сказать так: в качестве переменной очень часто выступает угол. Поэтому мы обсудим вопрос об измерении углов.

Геометрический угол - это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки, вершины угла. Чтобы сравнивать углы, удобно закрепить их вершины в одной точке и вращать стороны. При этом углы могут превосходить углы треугольника, то есть быть больше 180⁰, больше полного круга (180⁰) и иметь разные направления обращения.

Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла - это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла - это отношение катетов прямоугольного треугольника. Сегодня мы знакомимся с иным подходом к понятиям синуса, косинуса, когда угол имеет произвольную величину и направление.

III этап - ориентировочный

Цель: введение определений (определения - конструктивные, способ введения - абстрактно-дедуктивный) синуса, косинуса произвольного угла и формирование умения определять их значения по определению.

Учебные действия, необходимые для усвоения определений понятий: ведущая деятельность - работа по алгоритму (специальные математические действия), вычисление значений, распознавание.

Деятельность учителя: озвучивает цель.

Цель сегодняшнего урока - научиться вычислять тригонометрические функции любого угла - синуса и косинуса - и применять эти умения при решении задач.

Для введения тригонометрических функций нам понадобится новая математическая модель - числовая окружность, но не простая, а особая окружность.

В математике условились использовать единичную окружность - окружность с радиусом 1. Это будет наша беговая дорожка» - числовая окружность.

Определение. Числовая окружность - единичная окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности). Уравнение числовой окружности: x² + y² = 1.

Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого заметим, во-первых, что центром окружности служит начало координат, а уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х² + у² = R². Заметим, во-вторых, что R = 1; значит, уравнение числовой окружности имеет вид х²+у² = 1.

Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой (1; 0) на оси х.

Движение по числовой окружности происходит против часовой стрелки.

Если движение по числовой окружности происходит по часовой стрелке, то значения получаются отрицательными.

Деятельность учителя: предъявляет для записи определения синуса и косинуса на экране и озвучивает задание для обучающихся - разобраться в конструкции определений, найти сходства и отличия.

Деятельность учащихся: изучают определения.

Определения предъявляются в печатном виде, либо на экране.

Определение.

Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.

Если М(t)=М (x, y), то x = cos t, y = sin t.

Деятельность учащихся: решают и записывают определения.

Деятельность учителя: организует усвоение определений через систему вопросов, предъявляемых фронтально.

Деятельность учащихся: отвечают на вопросы:

1. Какие компоненты используются в определениях? (числовая окружность; угол поворота; точка; абсцисса, ордината);

2. Что общего в определениях и в чем различие? (общее - точка, угол, различие - абсцисса и ордината);

3. Объясните, почему рассматриваемая окружность называется единичной. (её радиус равен 1);

4. Объясните, почему окружность называется числовой? (потому что длина дуги - это число)

5. При совмещении двух моделей мы получили два нуля - две начальные точки отсчета. Объясните, почему.

6. Еще раз прочтите определение. Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t. Что обозначает координата t?

ОБУЧАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Этап закрепления определений через использование карточек-опор

Цель этапа: освоение алгоритма решения новой для обучающихся задачи, задачи на непосредственное применение понятий - задачи определения значений синуса, косинуса любого угла на единичной окружности.

Учебные действия на данном этапе: умение осуществлять действия по алгоритму, регулятивные - контроль, самоконтроль, коммуникативные умения. Учащимся предъявляется задача с решением (материальная основа), смотрите приложение.

Деятельность учителя - озвучивает задание: Разберитесь с образцом определения синуса и косинуса угла по печатному образцу.

Деятельность учащихся: ученики разбираются в содержании усваиваемого действия: в свойствах изучаемых понятий, в результате-образце, в составе и порядке исполнительных операций.

Приложение

Материальная основа (раздается каждому ребенку в печатном виде).Алгоритм нахождения sin t и cos t

Задача: Найти ,

Решение:

а),

направление обхода - положительное, против часовой стрелки,

б) откладываем угол от начальной точки А (1; 0);

в) отмечаем точку пересечения стороны угла с единичной окружностью - точку М;

г) теперь нам угол не нужен, нужна только точка М.

1. Убеждаемся, что окружность является единичной;

2. Определяем градусную меру угла и направление обхода;

3. Откладываем угол от начальной точки А(1; 0);

4. Отмечаем точку пересечения стороны угла с единичной окружностью - точку Мt;

5. Отвлекаемся от угла. Теперь нам нужна только точка М.

6. Через отмеченную точку проводим перпендикуляры на ось Ох и ось Оу;

6. Определить значение абсциссы и ординаты (x; y) точки t (то есть декартовы координаты точки М);

М (; )

,

6. Записать ответ: cos t= х, sin t = y.

Примечание: Из курса геометрии вам известны табличные значения синуса и косинуса для угла , поэтому в данной задаче точный ответ таков: ; .

Деятельность учителя - озвучивает вопрос: На печатном образце показан пример для угла 1-й четверти. Что изменится при попадании точки в другие четверти?

Ответ: Знаки у чисел.

Деятельность учителя - высвечивает информацию на экране:

Каждая точка числовой окружности имеет в системе ХОУ свои координаты, причем:

у точек первой четверти - х > 0, у > 0;

у точек второй четверти - х < 0, у > 0;

у точек третьей четверти - х < 0, у < 0;

у точек четвертой четверти - х > 0, у < 0.

Обратите внимание на новый тригонометр на экране. На нем очень хорошо показано, как уживаются вместе две системы - угловая и декартовая. Декартовые координаты записаны в виде пар чисел, в скобка, а угловые - внутри круга, причем для удобства приведены две формы записи угла - радианная и градусная.

Этап закрепления умений применения понятий

через использование карточек-опор

Деятельность учителя: предъявляет задачу для самостоятельного решения на экране для самостоятельного решения с использованием печатной карточки-опоры.

Цель: формирование ориентировочной основы действия (ООД) по освоению алгоритма решения новой для обучающихся задачи, задачи на непосредственное применение понятий - задачи определения значений синуса, косинуса любого угла на единичной окружности.

Задания

Вычислить и , если:

№1. а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) 0; 1; б) -1; 0; в) 0; 1; г) 1; 0.

№2. а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) 0; -1; б) -1; 0; в) -1; 0; г) 0; 1.

№3. а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

№4. а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

Деятельность учащихся: ученики разбираются в содержании усваиваемого действия.

Деятельность учителя: контролирует и направляет работу учащихся в парах.

Деятельность учителя - предъявляет правильный ответ (на экране):

Деятельность учащихся: выполняют самопроверку

IV этап - этап обучения применению понятий

Цель этапа: формирование умения применять знания через организацию деятельности, адекватной усваиваемому содержанию и установление внутренних математических связей посредством решения задач на применение понятий в измененных ситуациях:

• введение дополнительного действия с углами;

• оценка наибольших и наименьших значений синуса и косинуса;

• арифметические действия с синусами и косинусами;

• упрощение выражений, содержащих арифметические действия с синусами и косинусами на применение основного тригонометрического тождества и его следствий.

Учебные действия на данном этапе: умение осуществлять действия по алгоритму и в измененных условиях, регулятивные - планирование, контроль, самоконтроль, коммуникативные умения.

Деятельность учителя: контролирует и направляет работу учащихся в группах.

Деятельность учащихся: ученики разбираются в содержании усваиваемых действий.

ОБУЧАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

№1. Найдите значение выражения:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответ: а) 0; б) 0,5; в) 0; г) -0,5.

№2. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответ: а) -3; 3; б) -2;2; в) -1; 3; г) 1; 7.

№3. Определить знак числа:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) «+»; б) «-»; в) «-»; г) «-».

№4. Упростите выражения:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Ответ: а) ; б) ; в) 1; г) ; д) -1.

Деятельность учителя - предъявляет правильный ответ (на экране):

Деятельность учащихся: выполняют самопроверку

V этап - этап домашнего задания

Цель: развитие поисковых и коммуникативных умений, навыков самоорганизации и совершенствование умения применять знания:

Деятельность учителя - озвучивает задание

Задания по группам:

1. Номера из учебника по изученному материалу;

2. Установить, почему абсцисса точки в декартовой системе координат точно равна косинусу угла, образованного радиус-вектором с положительным направлением оси абсцисс, а ордината - синусу этого угла;

3. Заполнить таблицу слева и, пользуясь ключом справа, расшифровать пословицу. Углы, данные в градусах, необходимо перевести в радианы и наоборот. Учащимся предлагается объяснить смысл пословицы.

80⁰

300⁰

-200⁰

-830⁰

Мечом

330⁰

Добыть

-120⁰

Не

-72⁰

Знанием

Мечей

Сможешь

135⁰

Ответ: Знанием добудешь тысячи мечей, но мечом знания добыть не сможешь.

Деятельность учащихся: записывают, самоорганизуются в группы.

V этап - этап установления математических связей

(планировать на следующее занятие)

Цель занятия: расширение объема понятий, установление внутриматематических связей посредством решения задач, адекватных содержанию понятия, а именно:

1. установление дополнительных математических связей между синусом и косинусом, тангенсом и котангенсом через решение задачи: по известному значению одного из четырех тригонометрических функций острого угла вычисления оставшихся трех значений (основное тригонометрическое тождество, вычисление тангенса как отношение синуса к косинусу);

2. решение более трудной - обратной задачи: определение угла (углов) по известным значениям синуса и косинуса (множественность, серийность решений);

3. в процессе обучения решению задач - организация деятельности по формированию ориентировочной основы действия (ООД), алгоритмизация;

КОНТРОЛИРУЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (на второе занятие)

Цель этапа: контроль усвоения алгоритма решения задачи на непосредственное применение понятий - задачи вычисления значений синуса, косинуса любого угла по числовой окружности.

Учебные действия на данном этапе: умение осуществлять действия по алгоритму, регулятивные - контроль, самоконтроль, коммуникативные - взаимообучение.

Деятельность учителя: предъявляет задачи для самостоятельного решения (на экране).

Самостоятельная работа для групп по 4 человека на 4 вариантаВариант №1

1.Найдите значение выражения:

2 sin- 2 cos+ 3 tq - ctq.

2.Известно, . Найдите:

sin, если cos= - 0,6.

3.Найдите значения тригонометрических функций угла , если известно, что:

ctq= - 2,5 и - угол IV четверти.

4.Вычислить

.

Вариант №2

1.Найдите значение выражения:

sin (-) + 3 cos - tq + ctq

2.Известно, . Найдите:

cos, если sin =

3.Найдите значения тригонометрических функций угла , если известно, что:

ctq= - 2,5 и - угол IV четверти

4.Вычислить

.

Варианта №3

1.Найдите значение выражения:

2 sin - 3 tq + ctq (- ) - tq

2.Известно, . Найдите:

tq, если cos= - .

3.Найдите значения тригонометрических функций угла , если известно, что:

ctq= - 2,5 и - угол IV четверти

4.Вычислить

sin α - sin ( + α ).

Вариант №4

1.Найдите значение выражения:

3 tq (-) + 2 sin - 3 tq 0 - 2 ctq

2.Известно, . Найдите:

sin , если ctq= -2

3.Найдите значения тригонометрических функций угла , если известно, что:

ctq= - 2,5 и - угол IV четверти

4.Вычислить

.

Деятельность учителя - предъявляет правильный ответ:

ОТВЕТЫ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (на третье занятие)

Решение простейших уравнений вида