Урок по алгебре на тему 'Решение задач на работу'

Решение задач на работу с помощью
систем уравнений второй степени

Цель: формировать умение решать задачи на работу с помощью систем уравнений второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Объясните, почему данные системы уравнений не имеют решений.

а) б)

III. Актуализация знаний.

Текстовые задачи на работу вызывают значительные затруднения у учащихся. Поэтому необходимо вспомнить основной принцип их решения и важные теоретические положения, которые пригодятся при решении таких задач.

Задачи на работу, как и задачи на движение, можно решать при помощи таблицы, выделяя предварительно все описанные процессы.

О б о з н а ч е н и я: А - работа (часто принимается за единицу);

k - производительность;

t - время.

Учащиеся должны осознать и запомнить следующее:

- k = (провести аналогию со скоростью при движении);

- если k₁ - производительность первого рабочего, а k₂ - производительность второго рабочего, то при их совместной работе производительность равна k₁ + k₂.

Затем можно выделить этапы решения задач на работу:

1) Анализ условия.

2) Выделение процессов, о которых идет речь в задаче.

3) Выбор неизвестных величин и заполнение таблицы.

4) Составление системы уравнений.

5) Решение системы уравнений.

6) Интерпретация полученных решений.

Как используется все вышеизложенное, необходимо продемонстрировать учащимся при решении конкретной задачи, например № 467.

Р е ш е н и е

В задаче можно выделить три процесса:

- отдельная работа первого комбайнера;

- отдельная работа второго комбайнера;

- совместная работа двух комбайнеров.

Обозначим за х и у производительности первого и второго комбайнеров соответственно.

Заполним таблицу:

Известно, что первый комбайнер делает всю работу на 24 ч быстрее, поэтому получим уравнение:

= 24.

Всю работу мы приняли за единицу и нашли ее выражение при совместной работе комбайнеров:

35 (х + у) = 1.

Составим систему уравнений:

1 - 35у - 35у = 24у (1 - 35у);

1 - 70у - 24у + 24 · 35у² = 0;

24 · 35у² - 94у + 1 = 0;

D₁ = 47² - 24 · 35 = 1369;

y₁ = x₁ = ;

y₂ = x₂ = .

Первое решение не подходит по смыслу задачи.

Из второго решения получаем, что первый комбайнер может убрать весь урожай за 60 ч, а второй - за 84 ч.

О т в е т: 60 ч и 84 ч.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 468.

2. № 545.

3. Два строителя выложили стену из кирпичей за 14 дней, причем второй присоединился к первому через 3 дня после начала работы. Известно, что первому строителю на выполнение всей работы потребовалось бы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней мог бы выложить эту стену каждый строитель, работая отдельно?

Р е ш е н и е

Выделим четыре процесса:

- выполнение всей работы одним первым строителем;

- выполнение всей работы одним вторым строителем;

- трехдневная работа одного первого строителя;

- совместная работа строителей в течение 11 дней.

Заполним таблицу:

Известно, что первый строитель всю работу делает на 6 дней дольше. Получим уравнение:

= 6.

За три дня первый строитель сделал 3х всей работы, а затем они совместно сделали 11 (х + у) всей работы, закончив ее. Получим уравнение:

3х + 11 (х + у) = 1.

Составим систему:

= 6;

1 - 14х - х = 6х (1 - 14х);

84х² - 31х + 1 = 0;

D = 961 - 336 = 625;

х₁ = y₁ = ;

х₂ = (не подходит по смыслу задачи).

О т в е т: 28 дней и 22 дня.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

- Перечислите этапы решения задачи на работу.

- Что такое производительность? Как она вычисляется?

- Чему равна производительность при совместной работе?

Домашнее задание: № 466, № 546.

Ресурсы: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под редакцией С. А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2009.

электронное пособие «Алгебра. 9 класс: поурочные планы по учебнику Ю. Н. Макарычева» серии «Для преподавателей»