Решение нестандартных задач. Методическая статья по вне классной работе.

Ямковая Людмила Ивановна

учитель математики

Донецкой ОШ № 88

2015год

РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

Текстовые задачи занимают важное место в программе математики всех классов и всех уровней. Решение данных задач формирует логическое мышление, смекалку, совершенствует вычислительные навыки, показывает практическое значение математики.

Начиная с 5 класса, учащиеся овладевают на уроках математики алгебраическим и арифметическим способами решения текстовых задач. По любой теме существует определенный алгоритм - схема решения задачи.

Успешно решить творческую задачу - это значит точно определить тип задачи, несмотря на нестандартную формулировку. Этот опыт учащиеся могут приобрести только в процессе решения многих задач.

Приведем примеры некоторых конкурсных задач.

1.(РО) Четверо друзей решили купить вместе небольшую игру. Первый внес половину суммы, вносимой остальными, второй - треть суммы, вносимой остальными, третий - треть суммы, вносимой остальными, а четвертый внес 1грн. 30коп. сколько стоит игра, и сколько денег внес каждый.

Решение

1- ый: суммы, вносимой остальными, составляет часть всей суммы:

от =

остальные

2- ой: суммы, вносимой остальными, составляет часть всей суммы:

от=

3-ий: суммы, вносимой остальными, составляет часть всей суммы:

от

1)

2) четвертого друга, уплатившего 1гр. 30коп.

3) (коп.)=6гр. - стоимость игры.

4) (гр.) - заплатил первый друг.

5)

6) - заплатил третий друг.

Ответ: 6гр; 2гр; 1гр.50коп; 1гр.20коп.

• В данной задаче использовались всего лишь два правила: нахождение дроби от числа, нахождение целого числа по его дроби.

• Самым сложным моментом в решении задачи - является представление ее в стандартном виде, которое заключалось в нахождении дроби от дроби. Наглядная иллюстрация этого условия помогает учащимся сознательно осмыслить данную формулировку задачи.

Рассмотрим аналогичную задачу:

2. Четыре отряда решили посадить около школы сад. Ученики первого отряда посадили половину всех деревьев, ученики второго отряда того, что посадили другие отряды вместе. Ученики третьего отряда посадили того, что посадили остальные. Ученики четвертого отряда посадили 5деревьев. Сколько деревьев посажено всего?

Решение

Представим данные доли в отрезках:

1-ый: всех долей:

2-ой: от всех остальных - это часть:

от

3-ий: от всех остальных - это часть:

от

1) (часть) - 1, 2, 3 отряды

2) (часть) - 4 отряд

3) (деревьев)

Ответ: 100 деревьев посажено всего.

• Существует и алгебраический способ решения данных задач. Однако он сложный. Некоторые учащиеся могут успешно справится с решением уравнения.

Приведем пример нестандартной задачи для 8 класса:

3. (ОО) На дне озера бьют с постоянной мощностью источники. Стадо из 12 слонов выпивает озеро за 4 минуты, а стадо из 9 слонов - за 6минут. Определенного дня к озеру подошло 6 слонов. За сколько минут они выпьют всю воду из этого озера? (объем воды в озере в начале водопоя один и тот же)

Решение:

Пусть х - начальный объем воды в озере, у - объем воды наполняемый источниками за 1 час.

Объем воды в озере:

12 слонов - за 4 мин. х+4у

9 слонов - за 6 мин. х+6у

6 слонов - за z мин. х+zу

Один слон за 1 мин. согласно условию задачи может выпить:

Приравнивая эти значения, найдем z (время за которое 6 слонов выпивают озеро)

/*6

9(x+4y)=8(x+6y) /*

9x-8x=48y-36y

x=12y 12+z=2z=> z=12(мин.)

• Эту задачу целесообразно решить на уроке в 8 классе, когда решаются текстовые задачи на производительность труда.

• Ученики знают, что производительность труда - это часть работы, выполняемой за единицу времени. Обычно, в простых стандартных задачах работа постоянна и принимается за 1.

• Нестандартность этой задачи заключается в том, что объем воды в озере - переменная величина и выпивание воды слонами следует считать работой.

4. (РО) Заготовленную в карьере руду первый самосвал может вывести на 3 часа быстрее, чем второй. Если треть руды вывезет первый самосвал, а потом оставшуюся часть вывезет второй, то будет затрачено на часа больше, чем при одновременной работе обоих самосвалов. За сколько часов может вывести руду каждый.?

Решение:

Примем за 1 всю работу - заготовленную в карьере руду.

Пусть первый самосвал перевезет ее - за х (ч.)

Тогда второй самосвал - за х+3 (ч.)

Производительность первого самосвала =;

Производительность второго самосвала =;

Если самосвалы будут работать вместе, то , где у - время одновременной работы самосвалов.

Выразим у: => => .

С другой стороны, из формул производительности можно выразить время:

= => => (ч.)

=> =>

С учетом, соответственно, условию работы по частям задачи составляем уравнение задачи, приравнивая время:

3(+3х)=(3х-16)(2х+3)

3+9х=6+9х-32х-48

-3+32х+48=0

Д=1024-4*3(-48)=1600

(ч.)

<0 не удовлетворяет условию задачи

х+3=12+3=15(ч.)

Ответ: 12ч. и 15ч.

• Данная задача содержит две неизвестные величины х и у. Поэтому решение ее сводится к системе уравнений и ее решению.

5. (ЗК) От двух кусков сплава одинаковой массы m, но с различным процентным содержанием (% и q%) меди отрезали по куску равной массы х. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Чему равно соотношение ?

Решение:

1 кусок 2 кусок

% X

m

% X

m

0,01p*m содержится меди в 1-ом 0,01q*m содержится меди во 2-ом куске куске

Отрезали:

0,01p*x 0,01qx

Сплавили с остатком:

0,01p(m-x) 0,01q(m-x)

Процентное содержание меди стало одинаковым:

0,01px+0,001q(m-x)=0,01qx+0,01p(m-x)

0,01px+0,01qm-0,01qx=0,01qx+0,01pm-0,01px

0,02px=0,02qx-0,01qm+0,01pm

0,02px-0,02qx=-0,01m(p-q)

0,02x(p-q)=0,01(p-q)

Ответ:

• Эту задачу можно предложить учащимся 6 класса в четвертой четверти при обобщении и систематизации изученного материала. Предварительно следует ввести понятие «концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность» и т. д., основанных на следующих допущениях:

• Все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны.

• Если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из веществ А, В, С (которые имеют соответственно массы , то величина называется концентрацией вещества А, В, С в смеси. Величина *100%, *100%, *100% называется процентным содержанием вещества в смеси. Тогда ++=1.

6. (ЗК) Когда одинаковые шары сложили в виде равностороннего треугольника, то 47 шаров оказались лишними. Но, чтобы каждую сторону треугольника увеличить на 1 шар, не хватает 16 шаров?

Решение:

Пусть сумма всех шаров определяется формулой , где n шаров было первоначально .

По условию а)

б)

Составляем уравнение:

/*2

n++94=+2n+n+2-32

-2n=-124

n=62

S= шаров

Ответ: 1953 шара.

• Эту задачу можно решать с учащимися 9 класса при изучении темы «Арифметическая прогрессия» с применением формулы суммы n - членов арифметической прогрессии.

7. (ЗК) Профессор тестер провел серию тестов с Вовой и подсчитал среднее количество баллов, набранных Вовой в одном тесте. Если бы Вова в последнем тесте набрал 97 баллов, то средний балл составил бы 90, но Вова набрал всего 73 балла за последний тест и 87 баллов в среднем. Сколько тестов было в серии ?

Решение:

Последний тест

Средний балл

97

90

73

87

Пусть до последнего теста было проведено n тестов с результатами

= - среднее

n*=x - сумма набранных баллов.

и

/*3

30(x+73)=29(x+97)

39x-29x=29*97-30*73

x=623

n=8-1

n=7

Ответ: 7тестов.

8. (ЛО) Из учащихся выполнивших работу, 30% получили «5», 40% - «4», 8 учащихся получили «3», остальные «2». Средний балл составил 3,9. Сколько и каких оценок получено на контрольной работе?

Решение:

Пусть х - число учащихся, получивших «2», (х+8) - это 30% - «2» и «3»

100%-(30%+40%)=30%

(х+8)*0,3= - число всех учащихся.

Тогда на «5» (х+8), а на «4» 0,4*. Составим уравнение, выразив средний балл по среднему арифметическому:

5х+40++

или

5(х+8)+

(х+8)()+2х=-24

х=

х=4 (ученика) - на «2».

1) (учеников) - всего

2) 0,3*40=12 (учеников) - на «5»

3)0,4*40=16 (учеников) - на «4»

Ответ: 4 на «2», 12 на «5», 16 на «4».

Эту задачу можно предложить учащимся 7-9 классов, предварительно повторив определение среднего арифметического нескольких чисел, на основании которого выразить средний балл учащихся как отношение суммы всех баллов, заработанных учениками, к количеству учащихся.

Решение подобных задач формирует в учащихся умения и навыки применять полученные знания в практических задачах, переводить условие задачи на стандартную математическую модель.