Урок-зачет по математике по теме «Прогрессии», (9 класс)

Пояснительная записка

Я работаю учителем математики в вечерней школе. Наш контингент - подростки и взрослые с разным уровнем знаний, способностей. С первых дней учебы я изучаю их индивидуальные особенности. Как правило, многие не могут работать с учебником, вести записи в тетрадях. Для того, чтобы обучение было успешным , стараюсь выявить характер дидактической запущенности и спланировать деятельность каждого учащегося по ликвидации пробелов.

В последние годы в теории и практике обучения математике вопрос об использовании зачетной системы в оценке уровня усвоения знаний становится все более актуальным. В календарно-тематическом плане заранее предусматриваются темы зачетов. В 9 классе у меня предусмотрено 7 уроков-зачетов за год.

Разрабатывая урок-зачет, следует придерживаться следующего плана:

1. Предварительная подготовка к уроку-зачету.

2. Проведение урока-зачета.

3. Подведение итогов.

Тему и дату необходимо сообщить заранее, а также требования , предъявляемые к данному зачету.

Урок-зачет состоит из двух частей.

1 часть. Устный опрос. Это важный этап урока-зачета, т.к. проверяются не только знания, но и формируется математическая речь.

Проверять следует как сами знания, так и умения их применять. Поэтому вторая часть зачета - письменная работа. Она может проходить в форме самостоятельной работы, математического диктанта, контрольной работы. Для оперативного контроля знаний и умений по математике учеников в последние годы в России широко используются тесты.

Итоговый контроль нацеливает учащегося на долгосрочное усвоение важнейшего материала, а учителю дает возможность проверить прочность овладения опорными умениями, знаниями и навыками.

Обычно за урок-зачет ставят две оценки: за теоретическую часть и за практическую.

В результате зачета устанавливается: овладели ли ученики нужными знаниями и умениями. какие пробелы и недочеты следует устранить.

Зачетная форма проверки знаний повышает эффективность усвоения учащимися учебного материала, т.к. при этом не только проверяется уровень усвоения знаний, но и формируются умения и навыки, необходимые для дальнейшего обучения.

В завершение хочу сказать, что не считаю свою систему обучения идеальной. Все время приходится что-то менять. Самое главное- вызвать у учеников интерес к предмету и побудить учащихся заниматься математикой в дальнейшем.

Ниже представлен материал зачета №6 на тему «Прогресии»

Зачет № 6 по теме « Прогрессии»

Учебник « Алгебра 9» ( в 2-х частях) А.Г. Мордкович

Содержание:

1. Числовые последовательности - $ 15

2. Арифметическая прогрессия - $ 16

3. Геометрическая прогрессия - $ 17

Мини конспект по теме «Прогрессии»

§1 Последовательность

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ-совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде , ,..., ,... или коротко {}.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ - функция вида y = f(x), где N - множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y₁, y₂,…, y_n,…. Значенияy₁, y₂, y₃,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Способы задания последовательностей.

Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена:
y_n = f(n).

Пример. y_n = 2n - 1 - последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere - возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1-2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y₁ = 3; y_n = y_n-1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y₁ = 3; y₂ = 3 + 4 = 7; y₃ = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученная в этом примере последовательность может быть задана и аналитически:

y_n = 4n - 1.

Пример 2. y₁ = 1; y₂ = 1; y_n = y_n-2 + y_n-1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y₁ = 1; y₂ = 1; y₃ = 1 + 1 = 2; y₄ = 1 + 2 = 3; y₅ = 2 + 3 = 5; y₆ = 3 + 5 = 8;

Свойства числовых последовательностей.
Числовая последовательность - частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение.

Последовательность {y_n} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
y₁ < y₂ < y₃ < … < y_n < y_n+1 < ….

Определение.

Последовательность {y_n} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
y₁ > y₂ > y₃ > … > y_n > y_n+1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином - монотонные последовательности.

§2 Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d,которое называется разностью прогрессии.

Для всех элементов прогрессии, начиная со второго выполнимо равенство:

Если d > 0, то прогрессия является возрастающей.

Если d < 0, то прогрессия является убывающей.

Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов.



= + d = (+ d) + d = + 2d,

= + d = (+ 2d) + d = + 3d,

= + d(n-1)

______________
= + d(n-1) - формула n-го члена арифметической прогрессии.(n≥1)
______________

Пример

• 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 - арифметическая прогрессия из десяти членов с шагом 3.

Свойства

1.

2.Если шаг d > 0, прогрессия является возрастающей; если d < 0, - убывающей.

3.Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
.

4.Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами

§3 Геометрическая

прогрессия

Геометри́ческая прогре́ссия - последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , и обычно предполагают, что

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:



Если b₁ > 0 и q > 1, прогрессия является возрастающей последовательностью,

если 0 < q< 1, - убывающей последовательностью,

а при q < 0 - знакопеременной

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

=

т.е. каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Пример

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 - прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.

Свойства

1)=*

2)Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

, при

, при

БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

При |q| < 1,

поэтому в этом случае геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число ,


где Sn - сумма n первых членов геометрической прогрессии.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равна

Задания и вопросы к устной части зачета

1. Что такое последовательность? Приведите пример убывающей последовательности.

2. Задайте формулой п члена бесконечную возрастающую последовательность всех четных натуральных чисел.

3. Приведите пример последовательности, которую вы можете задать формулой п члена и рекуррентно.

4. Назовите первые четыре члена последовательности, заданной рекуррентно: с₁ = 1, с₂ = 2, с_п+2 = с_п+1 - с_n .

5. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

6. Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

7. Каждый член арифметической прогрессии увеличили на 2. Является ли полученная таким образом последовательность арифметической прогрессией?

8. Каждый член геометрической прогрессии уменьшили в 2 раза. Является ли полученная таким образом последовательность геометрической прогрессией?

9. Запишите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

10. Запишите формулу п-го члена Задайте формулой п-го члена.

11. Задайте формулой п-го члена арифметическую прогрессию 15; 12; …

12. Задайте формулой п-го члена геометрическую прогрессию 0,16; 0,4; …

13. Запишите формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии.

14. Запишите формулу суммы первых п членов геометрической прогрессии.

Задания по вариантам

Вариант 1

Задания к устной части зачета:

1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

2. Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

3. Запишите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

4. Запишите формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии.

5. Запишите формулу суммы первых п членов геометрической прогрессии.

6. Запишите формулу по которой можно вычислить 37-й член геометрической прогрессии, если вам известен первый член и знаменатель.

7. Запишите формулу, по которой можно найти неизвестный 16-й член арифметической прогрессии, если известен первый член и разность.

8. Выразите разность из формулы п-го члена арифметической прогрессии.

9. Выразите знаменатель из формулы п-го члена геометрической прогрессии.

10. Запишите формулу для нахождения первого члена геометрической прогрессии, если известен п-й член и знаменатель.

Задания к письменной части зачета

Тест

1. У арифметической прогрессии первый член равен 4, второй 6. Найдите разность.

2. У арифметической прогрессии первый член равен 6, второй член 2. Найдите третий член.

3. У геометрической прогрессии первый член равен 8, второй член 4. Найдите знаменатель.

4. У геометрической прогрессии первый член равен 9, второй член 3. Найдите третий член.

5. Найдите десятый член арифметической прогрессии, если первый ее член равен 1, а разность 4.

6. Найдите четвертый член геометрической прогрессии , если ее первый член равен 1, а знаменатель -2.

7. Является ли последовательность четных чисел арифметической прогрессией? Почему?

8. Является ли последовательность целых степеней числа 2 геометрической прогрессией? Почему?

9. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если первый ее член равен -20, а разность 10.

10. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если первый ее член равен 1, а знаменатель -2.

Критерии оценок к тесту:

5 - 6 правильно выполненных заданий выставляется отметка «3»;

7 - 8 правильно выполненных заданий выставляется отметка «4»;

9 -10 правильно выполненных заданий выставляется отметка «5» .

Вариант 2

Задания к устной части зачета:

1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

2. Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

3. Запишите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

4. Запишите формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии.

5. Запишите формулу суммы первых п членов геометрической прогрессии.

6. Запишите формулу по которой можно вычислить 37-й член геометрической прогрессии, если вам известен первый член и знаменатель.

7. Запишите формулу, по которой можно найти неизвестный 16-й член арифметической прогрессии, если известен первый член и разность.

8. Выразите разность из формулы п-го члена арифметической прогрессии.

9. Выразите знаменатель из формулы п-го члена геометрической прогрессии.

10. Запишите формулу для нахождения первого члена геометрической прогрессии, если известен п-й член и знаменатель.

Задания к письменной части зачета

Тест

1. У арифметической прогрессии первый член равен 6, второй 2. Найдите разность.

2. У арифметической прогрессии первый член равен 4, второй член 6. Найдите третий член.

3. У геометрической прогрессии первый член равен 9, второй член 3. Найдите знаменатель.

4. У геометрической прогрессии первый член равен 8, второй член 4. Найдите третий член.

5. Найдите восьмой член арифметической прогрессии, если первый ее член равен 1, а разность 5.

6. Найдите шестой член геометрической прогрессии , если ее первый член равен 1, а знаменатель -2.

7. Является ли последовательность нечетных чисел арифметической прогрессией? Почему?

8. Является ли последовательность простых чисел геометрической прогрессией? Почему?

9. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если первый ее член равен 6, а разность -3.

10. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если первый ее член равен -1, а знаменатель 2.

Критерии оценок к тесту:

5 -6 правильно выполненных заданий выставляется отметка «3»;

7 - 8 правильно выполненных заданий выставляется отметка «4»;

9 -10 правильно выполненных заданий выставляется отметка «5» .