Урок по математике на тему 'Конус' (11 класс)

Урок №1. по теме «Конус»

Цель: ввести понятие конуса, элементов конуса, сечения конуса. Вывести формулы площади боковой поверхности конуса, площади полной поверхности конуса.

Задачи урока:

1. Способствовать формированию пространственных представлений учащихся и умению вычислять элементы конуса.

3. Развивать интерес к предмету через использование информационных технологий.

4. Воспитание общетрудовых умений, графической культуры учащихся.

Тип урока: изучение нового материала.

Форма урока: урок- презентация

Ход урока.

I. Орг.момент.

II. Целеполагание.

Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Что такое конус? Из каких элементов состоит конус? Какие сечения существуют? И многие-многие другие… И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны конусы? Может в жизни можно обойтись и без них? Данный материал пригодится нам при изучении темы «Объёмы тел вращения» и при решении задач на комбинацию геометрических тел.

ІІI. Объяснение нового материала:

1). Мне хотелось бы начать со слов А.Д.Александрова «Окружающий нас мир - это мир геометрии». * Слово конус в переводе с греческого «Konos» означает «сосновая шишка». Так что такое конус с точки зрения геометрии?

Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезками с точкой Р. Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью, а сами отрезки - образующими конической поверхности.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

Коническая поверхность называется боковой поверхность конуса, а круг - основанием конуса. Точка Р называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности - образующими конуса. Все образующие конуса равны друг другу (объясните почему? - как отрезки прямых расположенных между параллельными плоскостями). Прямая ОР , проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна к плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Конус получен вращением прямоугольного треугольника А ВС вокруг катета АВ.

2. Рассмотреть сечения конуса различными плоскостями, выделяя два случая:

1). Секущая плоскость проходит через вершину конуса; (слайд 7)

2). Секущая плоскость перпендикулярна оси конуса ( слайд 8).

Сделать выводы:

а. Рассматриваемое сечение - круг.

б. Обозначив через - соответственно радиус конуса и рассматриваемого сечения и через H и h высоту данного и отсеченного конуса, получаем, что , где k - коэффициент подобия данного и отсеченного конусов.

3). Касательная плоскость

4). Кони́ческое сече́ние или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.

Конические сечения были известны ещё математикам Древней Греции. Наиболее полным сочинением, посвящённым этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 г. до н. э.).

АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ (262-190 до н. э.), греческий математик и астроном. Известен как «великий геометр», и большая часть его трудов исходит из основ, заложенных Евклидом. Сохранилась лишь одна его книга: «О конических сечениях». В ней он показал, что эллипс, параболу и гиперболу можно получить, срезая конус под разными углами. В астрономии описал движение планет, пользуясь понятием эпициклов. (Эпицикл - это путь, проделанный точкой, движущейся по кругу, который, в свою очередь, двигается таким образом, что его центр лежит на окружности другого, большего круга.) Его труды стали основанием системы Птолемея, которой пользовались вплоть до открытий Коперника.

В рамках классической механики траектория свободного движения сферических объектов в безвоздушном пространстве подчиняется одному из приложений закона обратных квадратов - закону всемирного тяготения, и вследствие этого является одной из конических кривых - параболой, гиперболой, эллипсом или прямой. Орбиты планет - эллипсы*, траектории комет - гиперболы , траектория полёта пушечного ядра, за вычетом влияния воздуха - парабола.

3. Ввести понятие площади боковой поверхности конуса как площади её развертки, вывести формулу площади боковой поверхности конуса.(слайды 7 и 8 ).

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора - длине окружности основания конуса.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развертки.

Выразим конуса через образующую l и радиус основания . градусная мера дуги АВА , поэтому

(*)

Выразим α через . Так как длина дуги АВА =, ,откуда .

Подставив это выражение в формулу (*), получим

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле: .

ІІІ. Закрепление изученной темы(решение задач по готовым чертежам).

Слайды17 - 21.

Задача1. (Слайд 17)

L=13, R= 5

Найти: Н

Задача 2. (Слайд 18)

,

Найти: R, Н

Задача 3. (Слайд 19)

АВС=120˚, L =6

Найти: R, Н

Задача4. (Слайд 20)

Дано: ΔАВС - равносторонний,

L =12, R= 10

Найти: ОК, Н.

Задача5. (Слайд 21)

IV. Доклады учащихся. (сопровождаются компьютерными презентациями).

Дополнительная информация о конусе:

1. В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа,

образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными

горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.

2. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и

корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.

3. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса

переднежаберных. Раковина коническая (2-16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше

500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую

железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины

используются как украшения, сувениры.

4. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1

000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде

были громоотводы, так как образуется конус безопасности (рис. 6). Чем выше

громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются

спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды

накапливаются и дерево может быть источником напряжения.

5. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол,

вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла - 1 стерадиан. 1 стерадиан

- это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы,

которую он вырезает (рис. 7). Если в этот угол поместить источник света в 1

канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата,

прожектора распространяется в виде конуса.

V. Подведение итогов. Выставление оценок.

VI. Домашнее задание п. 55,56 - теория, №№ 547, 548. Сделать модель конуса.

VII. Рефлексия.

- Что понравилось на уроке?

- Какой материал был наиболее интересен?

- В каких ещё областях деятельности можно встретиться с конусами?