Учителю
Урок-семинар по геометрии на тему 'Теорема Пифагора' (8 класс)

Урок-семинар по геометрии на тему 'Теорема Пифагора' (8 класс)

Автор публикации: Шахова М.В.

Дата публикации: 28.10.2015

Краткое описание:

предварительный просмотр материала

Урок - семинар на тему: «теорема Пифагора ».

(по учебнику Атанасяна Л.С., глава 6, §3)

Тема урока: теорема Пифагора

Класс: 8

Учебная задача: посредством самостоятельной деятельности учащихся углубить их знания по теме, формировать у учеников интерес к математике как древней науке.

Диагностируемые цели урока:

В результате ученик:

воспроизводит формулировку теоремы Пифагора;

понимает важность теоремы Пифагора на практике;

знает историческую справку о Пифагоре;

понимает суть того или иного доказательства теоремы Пифагора;

умеет выделить особый вид треугольников;

умеет применять теорему Пифагора и обратную теорему к решению нестандартных (старинных) задач.

Ход урока:

Мотивационно-ориентировочный этап.

Актуализация (решение старинной задачи о тополе).
Мотивация.
Постановка учебной задачи.

Операционно-познавательный этап.

Выступления групп учащихся:

Историческая справка о Пифагоре.
Доказательство Евклида.
Доказательство Гарфилда и доказательство Бхаскара.
Египетские треугольники.
Старинные задачи на применение теоремы Пифагора.

Рефлексивно-оценочный этап.

Подведение итогов.
Постановка домашнего задания.

I. Мотивационно-ориентировочный этап.

Здравствуйте, ребята. Наш сегодняшний урок-семинар давайте начнем с решения старинной задаче о тополе.

На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?

Рассмотрим следующий рисунок: высоту тополя обозначим за CD, ширину реки - за AC, а часть оставшегося ствола за BC, так же в стихотворении говорится что тополь с течением реки составляли прямой угол, поэтому угол BCA - прямой, рисуем в тетрадях рисунок.

Учитель: Итак, что нам дано?

Ученики: Дан треугольник ABC; <C=90°.

Учитель: Давайте это запишем. Скажите, какие отрезки нам известны?

Ученики: BC=3 фута, AC=4 фута.

Учитель: Хорошо, записываем в дано: ∆ABC прямоугольный, <C=90°, BC=3 фута, AC=4 фута. Что нам требуется найти?

Ученики: Отрезок CD.

Учитель: Как будем решать эту задачу? Чем мы можем воспользоваться?

Ученики: Теоремой Пифагора.

Учитель: Сформулируйте её.

Ученики: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Учитель: Давайте воспользуемся теоремой Пифагора, какое тогда равенство получим?

Ученики: AB²=AC²+BC².

Учитель: Подставьте в это равенство известные нам величины. Что получим?

Ученики: AB²=4²+3²; AB²=16+9; AB²=25;

Учитель: Квадратом какого числа является 25?

Ученики:5.

Учитель: Хорошо. Записываем в тетрадях решение:

1)∆ABC прямоугольный. По теореме Пифагора: AB²=AC²+BC².

2) BC=3 фута, AC=4 фута;

AB²=4²+3²;

AB²=16+9;

AB²=25;

AB=5 (футов).

Учитель: А теперь вспомним, какой отрезок нам нужно найти?

Ученики: CD.

Учитель: Из каких отрезков он состоит?

Ученики: CB и BD.

Учитель: Нам известна их величина? Чему они равны?

Ученики: BC=3 фута, AB=5 футов.

Учитель: Найдите тогда CD.

Ученики: CD=3+5=8 футов.

Учитель: Хорошо, записываем в тетрадях:

3) CD=CB+BD. BC=3 фута.

CD=3+5=8 (футов).

Ответ: 8 футов.

Учитель: Хорошо. Решенная вами задача была сформулирована ещё в XII веке индийским математиком Бхаскаром. Чем вы пользовались при решении этой задачи?

Ученики: Теоремой Пифагора.

Учитель: Сформулируйте её ещё раз.

Ученики: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Учитель: Давайте еще вспомним идею и прием доказательства теоремы Пифагора.

Ученики: Достраивание до квадрата и использование свойств площадей.

Учитель: Хорошо. Молодцы. Скажите основные этапы (план) доказательства.

Ученики: 1. Достраивание до квадрата со стороной (а+b) .

2. S= (a+b)².

3. Квадрат состоит из 4-х прямоугольных треугольников и квадрата со стороной с.

4. .

5. (a+b)²=2ab+c².

6. (a+b)²=c².

Учитель: Молодцы. Это очень известная теорема и ей даже посвящают стихи. Вот одно из них.

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путем

К результату мы придем.

Итак, тема нашего сегодняшнего урока-семинара «Теорема Пифагора». Много ли вы о ней знаете?

Ученики: Её доказал Пифагор …

Учитель: Сегодня мы узнаем о теореме Пифагора поподробнее, узнаем некоторые интересные факты, рассмотрим старинные задачи и доказательства этой теоремы.

II. Операционно-познавательный этап.

Учитель: К уроку-семинару вам было дано задание подготовить доклады. Давайте выслушаем доклад о Пифагоре.

Выходит представитель первой группы и сообщает:

Пифагор родился в 580 г. до н. э. В молодости он много путешествовал, собирая по крупицам знания древнейших народов по математике, астрономии, технике. Вернувшись на родину, на остров Самос, он собирает вокруг себя юношей и ведёт с ними беседы. Так образовался " пифагорейский союз". В союзе царит дисциплина, послушание. Слово учителя закон. Вскоре союз становится политическим союзом единомышленников. Нам чужды политические взгляды Пифагора-аристократа, но исключительные заслуги Пифагора-учёного вызывают у нас уважение и восторг. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками.

Наибольшую славу Пифагору принесла открытая им «теорема Пифагора», которая и до настоящего времени считается одной из важных теорем геометрии, используемых на каждом шагу при изучении геометрических вопросов. Во времена Пифагора она звучала так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1500 лет до Пифагора. Так, например, древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже сто быков. Но это противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. Говорят, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста"..

Учитель: Есть ли у вас вопросы по докладу?

/Если вопросы есть, то они обсуждаются с выступающим и с классом./

Помимо докладов на дом вам давалось задание найти различные доказательства теоремы Пифагора. Давайте рассмотрим доказательства теоремы Пифагора, которые вы нашли. Но прежде чем мы непосредственно перейдем к доказательствам теоремы Пифагора, я раздам вам таблицы, которые в процессе ответа ваших одноклассников вы должны будете заполнить.

Доказательство Евклида

Дано

Рисунок

Доп.построения

Доказательство

Доказательство Гарфилда

Дано

Рисунок

Доп.построения

Доказательство

Доказательство Бхаскара

Дано

Рисунок

Доп.построения

Доказательство

Заметим, что у этих доказательств один метод доказательства:

1.______________________________________________________

2.______________________________________________________

Выходит представитель второй группы и сообщает:

Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги «Начал».

Дано: ∆АВС- прямоугольный, < ВСА - прямой

Доказать: с²=а²+b²

Дополнительное построение:

1) на сторонах ∆АВС строим квадраты ВАЕD, САКG, ВСHF(рисунок строится постепенно)

2) [СD], [FА]

3) [СL] || BD (|| АE)

Доказательство:

1) докажем, что точки С, А, H лежат на одной прямой

< ВСА=90⁰ (по усл.), < ВСH=90⁰ (по построению), < ВСА и < ВСH - смежные →

< АСH=180⁰ →точки С, А, H лежат на одной прямой.

2) аналогично п.1 доказывается, что точки В, С, G лежат на одной прямой.

3) <DBA = <FBС=90⁰ (по построению)

<DBА + <ABC= <DBС

→ <DBC = <FBA

<FBС+ <��

��

��_��_��_��_{��}_��

��_{��}_��_��^��

��_��_��_��_��

��^��^��_{��}

��_��_��_��^��

��_��_��_��_��_��_{��}��^��^��_�_��^��

��^��^��^��

��

��одит представитель третьей группы и сообщает:

Доказательство Гарфилда.

Давайте рассмотрим треугольник ABC с прямым углом C, достроим его до прямоугольной трапеции.

Дано:ABC- треугольник,

AC=b, AB=c, BC=a.

Доказать, что a²+b²=c².

Доказательство:

1) Достроим треугольник ABC до трапеции ACDM: CD=a + b, MD=a, AC и MD - основания трапеции.

2) Найдем площадь трапеции ACDM:

S_трап=(AC+MD)/2*CD=( b + a )/2*(a + b)=(a + b)²/2.

Ещё площадь трапеции можно найти следующим образом: найти площади трёх треугольников ABC, ABM, MDB, из которых состоит трапеция ACDM, и сложить их.

3) S_трап=S₁+S₂+S₃

S₁=1/2ab, используя свойство углов получаем, что

∆ АМВ прямоугольный и S₂=c²/2, S₃=ab/2

Тогда, S_трап=ab/2+c²/2+1/2ab=c²/2+ab.

С одной стороны площадь трапеции равна (a + b)²/2.

С другой стороны: ab + c²/2. Приравняв,

получим: (a +b)²/2=ab + c²/2

(a² + b² +2ab)/2=ab+c²/2

a²/2 + ab + b²/2=ab + c²/2

a²/2 + b²/2=c²/2

Следовательно, a²+b²=c²

ЧТД

Доказательство Бхаскара.

Делаются дополнительные построения: треугольник достраивается до квадрата со стороной с:

Дополнительные построения:

1. пусть b<a. Продлим катет АС и отложим от точки А отрезок, равный а. получим точку Д.

2. проведем через точку Д прямую,

параллельную ВС и отложим от точки Д

отрезок, равный b. Получим точку Е.

3. продлим катет ДЕ, и отложим от точки Е

отрезок, равный а. Получим точку М.

4. проведем через точку М прямую,

параллельную АД, и от точки М отложим

отрезок, равный b. Получим точку Р.

продлим катет МР и от точки Р отложим

отрезок, равный а. получим точку Н, которая лежит на катете ВС.

Доказательство:

1. АВРЕ - квадрат, т.к. (, , , ).

2. ∆АВС=∆ВНР=∆ЕМР=∆АДЕ по двум катетам

3. НМДС - квадрат, т.к. НС = СД = ДМ = НМ = a-b по построению и , т.к. , , ,

4. S_кв= с²

5. С другой стороны площадь квадрата равна сумме площадей 4 равных треугольников и площади маленького квадрата: S_кв= 4ּ½ּab+ (a-b)²

Приравняем, получим: с²=4ּ½ּab+ (a-b)

Раскроем скобки: с²=2аb+a²-2ab+b²

c²=a²+b² (вычисления и рисунок записывают в тетрадь)

Рассмотрим случай, когда a=b, т.е..

АВСД - квадрат, т.к. АВ=ВС=ДС=АД=с по

Построению и , т.к.

,S_кв= с²

С другой стороны площадь квадрата равна

сумме площадей 4 равных треугольников:

S_кв= 4ּ½ a²

Приравняем, получим: с²=4ּ½ a²,

с²=2 a²

Учитель: Есть ли у вас вопросы по докладу?

/Если вопросы есть, то они обсуждаются с выступающим и с классом./

Учитель: Теперь давайте выслушаем доклад о египетских (пифагорейских) треугольниках.

Выходит представитель четвертой группы и сообщает:

Древние египтяне использовали треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Такие треугольники часто называют египетскими треугольниками. Египтяне использовали теорему, обратную теореме Пифагора для построения прямых углов. На веревке делали узелки, делящие ее на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4 оказывался прямым (показывается наглядно, берется веревка с 12 узелками и составляется треугольник со сторонами 3, 4 и 5)

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 является простейшим египетским треугольником, его ещё называют пифагорейским треугольником. Вот еще несколько египетских треугольников:

а=3 b=4 с=5

а=5 b=12 с=13

а=15 b=8 с=17

а=7 b=24 с=25

Легко убедиться в том, что все эти треугольники отвечают египетскому (пифагорейскому) условию a²+b²=c² и, следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, являются прямоугольными.

Действительно,c²=3²+4² c²=5²+12² c²=15²+8² c²=7²+24²

c² =25 c²=169 c²=289 c²=625

c=5 c=13 c=17 c=25

Более знаменитым, однако, является тот факт, что так называемая царская комната в знаменитой пирамиде Хеопса имеет размеры, особенным образом связанные с числами 3, 4, 5. Диагональ всей комнаты содержит 5 тех же самых единиц, которых самая длинная стена имеет 4, а диагональ самой маленькой стены 3 единицы. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 считался в древности магической фигурой. Он обладает ещё и другими интересными особенностями. Периметр его выражается числом 12, площадь же равна 6, то есть числу, следующему по порядку за тремя числами, соответствующими длинами его сторон, более того: 6³=3³+4³+5³.

Учитель: Есть ли у вас вопросы по докладу?

/Если вопросы есть, то они обсуждаются с выступающим и с классом./

Учитель: Ребята, а теперь давайте рассмотрим зрительное доказательство

В Греции была выпущена почтовая марка по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон. На марке надпись: «Теорема Пифагора.Эллас.350 драхм».

Эта красивая марка - почти единственная среди многих тысяч существующих, на которой изображен математический факт.

А теперь давайте выслушаем решение задач, связанных с теоремой Пифагора, которые вы подготовили.

Выходит представитель пятой группы и сообщает:

Задача № 1.

Эта задача взята из первого учебника математики на Руси. Назывался этот учебник «Арифметика». Автор учебника Л.Ф. Магницкий. Однако его настоящая фамилия Телятин, а Магницким он стал по приказу Петра I, который был восхищен его занятиями, притягивающими к себе всех любознательных подобно магниту.

Случися некоему человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота 117 стоп. И обрете лестницу долготою 125 стоп. И ведати хочет, сколько стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти.

Дано: Решение:

∆АВС ∆АВС - прямоугол.

Угол С=90º По теореме Пифагора:

АС=117 АВ²=АС²+СВ²,

АВ=125 СВ²=АВ²- АС²

Найти: СВ²=125²-117²

СВ=? СВ²= 15625-13689,

СВ²=1936, СВ=44

Ответ: 44 стопы

Задача № 2.

На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну.

Дано: Решение:

∆АВС ∆АВС - прямоугольный.

Угол С=90º По теореме Пифагора:

АС=12 АВ²=АС²+СВ²,

АВ=13 СВ²=АВ²- АС²

Найти: СВ²=13²-12²

СВ=? СВ²= 169-144,

СВ²=25, СВ=5

Ответ: 5 футов.

Задача № 3.

Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?

Дано: Решение:

∆АВС ∆АВС - прямоугольный.

Угол С=90º По теореме Пифагора:

АС-луч,D АС АВ²=АС²+СВ²,

СD=1 чи (x+1)²=x² + 5²

ВС=5 чи x² + 2x+1= x² + 5²

Найти: 2x=24

АВ=? АС=? x=12

Значит глубина воды равна 12 чи, тогда длина всего камыша: 12+1=13 чи.

Ответ: АС=12 чи, АВ=13 чи.

Рисунки к задачам

Учитель: Задачу №3 записываем на дом, а на уроке решим №1 и №2.

Всем понятно решение задач?

/Если вопросы есть, то они обсуждаются с выступающим и с классом./

II. Рефлексивно-оценочный этап.

Учитель: Итак, ребята, что нового вы узнали на уроке?

Ученики: Мы узнали много интересных фактов о жизни Пифагора, о теореме Пифагора. Рассмотрели и решили интересные задачи на применение теоремы Пифагора. А так же различные интересные способы доказательства теоремы Пифагора.

Учитель: Как вы оцениваете проделанную нами сегодня работу? Понравилось ли вам? Было ли вам интересно?

Ученики: …

Учитель: Теорема Пифагора является важнейшей теоремой геометрии. Её применение огромно. Многие известные мыслители и писатели прошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки.

Суть истины вся в том, что нам она - навечно,

Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна…

(Отрывок из стирхотворения Шамиссо)

Учитель: Давайте запишем домашнее задание.

задача №3 (записана в тетради)
№490, №495.

⇧

⇩

скачать материал