Методическая разработка урока

по алгебре и началам анализа в 10 классе

Ушаковой Галины Ивановны

учителя математики

1 квалификационной категории

МБОУ «Шкуновская СОШ»

Тема урока: Преобразования графиков тригонометрических функций. Построение графика функции у = mf(x) по известному графику функции у =f(х)

_{Пояснительная записка}

Развитие компьютерной техники, программного обеспечения происходит семимильными шагами и сегодня операционная система Linux прочно завоевывает позиции на компьютерах, ноутбуках и даже нетбуках в том числе и в школе. У Linux есть ещё одно преимущество - её идеология свободного распространения.

В нашей школе внедрение Linux в учебный процесс идёт в течении трёх лет. Приведённая разработка урока ориентирована на учащихся старших классов уже знакомых с работой в Linux. Для проведения урока не требуется устанавливать дополнительных программ достаточно просто подготовить требуемое количество компьютеров с ОС Linux. Универсальная многофункциональная пользовательская система KDesktop 6.0 включает в себя все необходимое для офисной работы, создания различных видов графики и анимации, обработки звука и видео, средства разработки приложений, а также образования.

На компьютере с ОС ALT Linux 6.0.0 KDesktop интерактивная модель движения графика создается с помощью программы построения графиков (KmPlot). Применение интерактивных моделей является одним из наиболее эффективных способов внедрения новых информационных технологий в преподавание математики.

Проведение уроков с использованием информационных технологий - это мощный стимул в обучении. Посредством таких уроков активизируются психические и интеллектуальные процессы учащихся, стимулируется развитие познавательного интереса. В этом и заключается перспективность и актуальность данной разработки урока на тему «Преобразование графиков тригонометрических функций», которая может быть использована учителями для проведения уроков и факультативов, а так же для организации самостоятельной работы учащихся.

Урок алгебры и начала анализа - 10 класс (учитель - Ушакова Г.И.)

Тема урока: Преобразования графиков тригонометрических функций. Построение графика функции у = mf(x) по известному графику функции у =f(х)

Элементы содержания: Растяжение от оси абсцисс с коэффициентом. Сжатие к оси абсцисс с коэффициентом. Построение графика функции у = mf(x) по известному графику функции у =f(х). Преобразование симметрии относительно оси абсцисс

Знать: виды преобразований графиков функций; способ растяжения (сжатия) графика функции у =f(х) от оси абсцисс с коэффициентом т.

Уметь: выполнять преобразования графиков тригонометрических функций

Тип урока: комбинированный урок

• урок формирования новых знаний, проводится в форме урока-исследования.

Цели урока:

Образовательные цели:

• Экспериментальным путем с использованием таблиц и компьютера получить алгоритм построения графиков функции y=mf(x) по заданному графику y=f(x)

• Научиться применять полученный алгоритм для решения подобных задач

Развивающие цели:

• Формирование умений анализировать, обобщать полученные результаты, проводить исследования

• Развитие самостоятельности в учебной деятельности.

Оборудование и материалы: компьютеры с установленной ОС ALT Linux 6.0.0 KDesktop, раздаточный материал: карточки с заданиями для самостоятельной работы, презентация к уроку.

Ход урока:

1. Приветствие. Организационный момент. Постановка цели и задачи урока.

- Сегодня нам предстоит повторить уже известные преобразования графиков функций и на основе этих знаний исследовать поведение графиков тригонометрических функций в зависимости от коэффициентов с помощью компьютера.

2. Актуализация опорных знаний: слайд 2.

Задание 1. Построить графики функций y=sin(x -)+1, y=cos(x+)-2 , объяснить, как можно получить эти графики из графиков функций y=sin x, y=cos x, (у доски работают два ученика).

Работа анализируется всеми учащимися и оценивается учителем.

II. Организация осознания и восприятия нового материала:

Вводное слово учителя: «Вы уже знаете, как строить графики функций вида y=sin(x+m)+n (y=cos(x+m)+n).

А знаем ли мы способ построения графиков функций y=msinx ( y=mcosx)?

Как вы думаете, изменится график функции y=f(x), если f(x) умножить на m.

Выдвигается гипотеза, как правило, верная.

Учитель: Итак, тема урока: «Преобразования графиков тригонометрических функций. Построение графика функции у = mf(x) по известному графику функции у =f(х)» слайд 3.

Давайте вашу гипотезу проверим. Наша задача на уроке экспериментальным путем получить алгоритм для построения графиков функций вида y= mf(x) или y= mf(x), где f(x)=sinx или f(x)=cosx.

Для этого выполним следующее задание.

Практическая работа: (Приложение 1) слайд 4.

Задание 1. Построить в тетрадях по точкам графики функций y=sin x, y=cos x, заполнить таблицы значений на корточках: 1 вариант для функции y=sin x, а второй - для функции y=cos x и ответить на вопрос: Как изменилось значение функции в каждом из случаев?

x

0

y =

y =

y =

x

0

y =

y =2

y =

Задание 2. слайды 5, 6. Выясните поведение графиков тригонометрических функций в зависимости от коэффициентов с помощью компьютера. Для этого постройте графики этих функций на компьютере следуя инструкции (Приложение 2), сравните полученные результаты, сделайте вывод, внося соответствующие данные в таблицу:

m

Формула функции

Преобразование графика

2

График функции__________ получается из графика функции ________в результате __________от оси _____

С коэффициентом_______

График функции__________ получается из графика функции ________в результате __________от оси _____

С коэффициентом_______

- 1

1. График функции__________ получается из графика функции ________в результате __________от оси _____

с коэффициентом_______

2. подвергнем график функции ________преобразованию ___________относительно оси______

-2

1. График функции__________ получается из графика функции ________в результате __________от оси _____

с коэффициентом_______

2. подвергнем график функции ________преобразованию ___________относительно оси______

-

1. График функции__________ получается из графика функции ________в результате __________от оси _____

с коэффициентом_______

2. подвергнем график функции ________преобразованию ___________относительно оси______

Инструкция по выполнению работы на компьютере с ОС ALT Linux 6.0.0 KDesktop (Приложение 2). слайд 7.

• Меню запуска приложений - образование - математика - программа построения графиков (KmPlot)

• графики - добавить - график в декартовых координатах - редактор выражений - вставить функцию - выбираем cos или sin - переменная в скобках (x) - enter (это основная функция для сравнения)

• аналогично добавить ещё один график функции f(x)=cosx или f(x)=sinx в этом графике и будем менять коэффициенты чтобы получить графики функций: f(x)=2cosx или f(x)=2sinx

f(x)=0,5cosx или f(x)=0,5sinx

f(x)= -2cosx или f(x)= - 2sinx

f(x)= - 0,5cosx или f(x)= - 0,5sinx

• Проанализируйте расположение графиков этих функций относительно друг друга, относительно осей координат.

• Установите связь между аналитической записью функции и преобразованием графика этой функции.

• Сформулируйте вывод по проделанной работе.

• Попробуйте составить алгоритм построения графиков функции вида f(x)=msinx или f(x)=mcosx,

После анализа учитель предлагает вниманию учеников готовый алгоритм на плакате (Приложение 3). слайд 8.

1. Построить график основной функции y=sinx или y=cosx (его изображаем пунктирной линией)

2. Осуществить растяжение построенного графика от оси OX с коэффициентом m, если m>1 и осуществить сжатие к оси OX, если 0<m<1с коэффициентом (полученный график изображаем тонкой линией), сохраняя точки пересечения с осью OX

3. Если m<0, дополнительно подвергнуть график функции преобразованию симметрии относительно оси OX (полученный график изобразить сплошной жирной линией)

3. Первичное закрепление полученных знаний: слайд 9.

Учитель: «Теперь наша задача, научиться применять полученный алгоритм для решения задач. Вам предлагается поэтапно выполнить задание»

. Организация работы:

• У доски одновременно работают 2 ученика, остальные ученики работают в тетрадях.

Задания 1 уровня: с помощью полученного алгоритма в системе координат построить поэтапно графики функций 1) № 13.1 (а), 2) № 13.1 (г), затем другие 2 ученика по готовым графикам в той же системе координат строят графики функций 1) № 13.2 (а), 2) № 13.2 (б)

Первый ученик строит график функции № 13.1 (а)

Второй ученик строит график функции № 13.1 (г)

Третий ученик строит график функции № 13.2 (а)

Четвертый ученик строит график функции № 13.2 (б)

• Самостоятельная фронтальная работа по заданиям учебника с последующей проверкой № 13.3 (а,б), 13.4 (а,б),

Задания 2 уровня для сильных учеников: № 13.10 (а) из задачника

Особое внимание обратить на построение графика функции из этого номера на то, что функция претерпевает разрыв в точке

IV. Возвращение к ожидаемым результатам: слайды 10 - 12.

Учитель: Сейчас вам предстоит выполнить небольшой тест, результаты которого покажут, насколько вы усвоили материал сегодняшнего урока и определят задачи следующих уроков (Приложение 4).

Тест

Задание:

Определите, какая графическая модель, соответствует каждой из данных функций:

Буквы, обозначающие графики, запишите рядом с формулой.(тест прилагается)

Если работа выполнена правильно, то вы прочтете имя ученого математика, который содействовал развитию аналитической теории тригонометрических функций.

Л Э

Е Р

Й

Код:

По окончании работы, решение каждой задачи обсуждается, учащиеся исправляют ошибки, если таковые допущены.

На следующий урок одному из учеников предложить подготовить сообщение о Леонарде Эйлере.

При наличии времени дополнительное задание по карточкам (Приложение 5)

V. Итог урока:

Ребята, как вы считаете, обладает ли алгоритм, который вы составили свойством массовости?

Можно ли его использовать для построения графиков функций y=mtgx (y=mctgx) и других функций?

Мы с вами попробуем это осуществить на одном из последующих уроков.

VI. Домашнее задание: № 13.2 (б, в), 13.3 (в, г), 13.4 (в, г), 13.7 - 13.8 (на выбор по одной букве) слайд 13.

Приложение 1

Практическая работа:

Задание 1. Построить в тетрадях по точкам графики функций y=sin x, y=cos x, заполнить таблицы значений на корточках: 1 вариант для функции y=sin x, а второй - для функции y=cos x и ответить на вопрос: Как изменилось значение функции в каждом из случаев?

x

0

y =

y =

y =

x

0

y =

y =2

y =

Задание 2. Выясните поведение графиков тригонометрических функций в зависимости от коэффициентов с помощью компьютера. Для этого постройте графики этих функций на компьютере следуя инструкции (Приложение 2), сравните полученные результаты, сделайте вывод, внося соответствующие данные в таблицу:

m

Формула функции

Преобразование графика

2

График функции__________ получается из графика функции ________в результате __________от оси _____

С коэффициентом_______

График функции__________ получается из графика функции ________в результате __________от оси _____

С коэффициентом_______

- 1

1. График функции__________ получается из графика функции ________в результате __________от оси _____

с коэффициентом_______

2. подвергнем график функции ________преобразованию ___________относительно оси______

-2

1. График функции__________ получается из графика функции ________в результате __________от оси _____

с коэффициентом_______

2. подвергнем график функции ________преобразованию ___________относительно оси______

-

1. График функции__________ получается из графика функции ________в результате __________от оси _____

с коэффициентом_______

2. подвергнем график функции ________преобразованию ___________относительно оси______

Приложение 2

Инструкция по выполнению работы на компьютере с ОС ALT Linux 6.0.0 KDesktop

• Меню запуска приложений - образование - математика - программа построения графиков (KmPlot)

• графики - добавить

• - график в декартовых координатах - редактор выражений - вставить функцию - выбираем cos или sin - переменная в скобках (x) - enter (это основная функция для сравнения)

• аналогично добавить ещё один график функции f(x)=cosx или f(x)=sinx в этом графике и будем менять коэффициенты чтобы получить графики функций: f(x)=2cosx или f(x)=2sinx

f(x)=0,5cosx или f(x)=0,5sinx

f(x)= -2cosx или f(x)= - 2sinx

f(x)= - 0,5cosx или f(x)= - 0,5sinx

• Проанализируйте расположение графиков этих функций относительно друг друга, относительно осей координат.

• Установите связь между аналитической записью функции и преобразованием графика этой функции.

• Сформулируйте вывод по проделанной работе.

• Попробуйте составить алгоритм построения графиков функции вида f(x)=msinx или f(x)=mcosx,

Приложение 3

Алгоритм для построения графиков функций вида y= mf(x) или y= mf(x)

1. Построить график основной функции y=sinx или y=cosx (его изображаем пунктирной линией)

2. Осуществить растяжение построенного графика от оси OX с коэффициентом m, если m>1 и осуществить сжатие к оси OX, если 0<m<1 с коэффициентом (полученный график изображаем тонкой линией), сохраняя точки пересечения с осью OX

3. Если m<0, дополнительно подвергнуть график функции преобразованию симметрии относительно оси OX (полученный график изобразить сплошной жирной линией)

Приложение 4

Тест

Задание:

Определите, какая графическая модель, соответствует каждой из данных функций:

Буквы, обозначающие графики, запишите рядом с формулой.(тест прилагается)

Если работа выполнена правильно, то вы прочтете имя ученого математика, который содействовал развитию аналитической теории тригонометрических функций.

Л Э

Е Р

Й

Приложение 5

Самостоятельная работа на 5 вариантов по карточкам.

Вариант 1.

1.Постройте график функции y=3sin(x-).

По графику найдите:

А) область значений функции;

Б) промежутки возрастания, убывания функции.

Вариант 2.

1.Постройте график функции y= 2cosx+1.

По графику найдите:

А) область значений функции;

Б) промежутки возрастания, убывания функции.

Вариант 3.

1.Постройте график функции y= - 0,5cos(x+).

По графику найдите:

А) область значений функции;

Б) промежутки возрастания, убывания функции.

Вариант 4.

1.Постройте график функции y=-2,5sinx - 0,5

По графику найдите:

А) область значений функции;

Б) промежутки возрастания, убывания функции.

Вариант 5.

1.Постройте график функции y= - 0,5sin(x-).

По графику найдите:

А) область значений функции;

Б) промежутки возрастания, убывания функции.