Решение старинных и занимательных задач

Региональный заочный конкурс по истории математики.

Разработка урока по истории математики учителя математики и экономики МБОУ «Бобровская СШ» Архангельской области Приморского района - Антоновой Ларисы Анатольевны.

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!

Д. Пойа

Тема: Решение старинных и занимательных задач.

Цель:

Повышение интереса учащихся к изучению математики и углублению понимания темы действия с дробями

Расширение кругозора учащихся и повышение их общей культуры.

Задачи:

Создание доброжелательной, деловой обстановки.

Решение задач с историческим содержанием.

Ход занятия:

Вступительное слово учителя:

В основе развития математики, как и всякой другой науки, лежат вопросы практической деятельности человека. Возникновение и развитие наук обусловлено производством. Отдельные математические знания, выросшие из практической деятельности человека, из наблюдения им явлений природы, существовали у всех известных нам народов древности. В самые отдалённые времена люди не могли обходиться без математических сведений. Когда - то была объявлена большая премия за книгу на тему: «Как человек без математики жил». Премия осталась невыданной. По-видимому, ни один писатель не сумел изобразить жизнь человека, лишенного всяких математических понятий. Самые ранние сведения о математике у народов нашей Родины относятся к первому тысячелетию нашего летоисчисления. На первом месте по древности математической культуры среди народов бывшего Советского Союза (15 республик) стоят армяне. У армян в VII веке был замечательный ученый Анания из Ширака, труды которого в большом количестве дошли до нашего времени. Он был математиком, астрономом, метеорологом, историком и географом.

Анания разбирал в своих сочинениях, помимо чисто арифметических задач, вопросы о шарообразности Земли, о затмениях Луны и Солнца, о применении нуля в математике, о многоугольных числах, о календарных исчислениях, о солнечных часах, - всё это в такую эпоху, когда у европейских народов этими вопросами ещё почти никто не занимался. Из сочинений Анании особенный интерес для нас представляют учебник по арифметике и задачник. Рассмотрим некоторые из его задач.

В городе Афинах был водоём, в который проведены три трубы. Одна из

труб может наполнить водоём в один час, другая, более тонкая, - в два часа, третья, ещё более тонкая,- в три часа. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоём?

Решение:

Производительность

труда

Время

Выполненная работа

Первая труба

1

1 час

1

Вторая труба

2 часа

1

Третья труба

3 часа

1

Совместная производительность труда равна 1+ + = . Работа равна производительности труда умноженной на время. Вся выполненная работа принимается нами за 1, тогда 1: = часа.

Ответ: За

1. Один купец прошёл через три города, и взыскали с него в первом городе пошлины: половину и треть имущества, и во втором городе половину и треть (с того, что у него осталось),и в третьем городе снова взыскали половину и треть (с того, что у него было); и когда он прибыл домой. У него осталось11 дехеканов (денежных единиц). Итак, узнай, сколько всего дехеканов было в начале у купца.

Решение:

или 11 дехеканов

Уравнение:

Х=2376

Ответ: Вначале у купца было 11 дехеканов.

2. Фараон, царь Египта, праздновал день своего рождения, и обычай был у него раздавать в этот день десяти вельможам, по достоинству каждого, сто мер вина. Итак, раздели это сообразно достоинству всех десяти.

Смысл слов: «сообразно достоинству каждого» означает, что доля первого относится к доле второго, как 1:2, доля второго - к доле третьего, как 2:3 и т.д.

Решение:

1:2:3:4:5:6:7:8:9:10; 1+10=11, 2+9=11, 3+8=11 и так далее, то есть 5 пар по 11 в сумме равна 55 - это сумма всех частей. 100: 55 = - одна часть или получит первый вельможа, - получит второй вельможа, - получит третий вельможа и так далее.

Ответ: , , и так далее.

В большинстве русских математических рукописей и печатных руководств старого времени встречаются занимательные задачи. Вот одна из занимательных задач из ранних русских источников, из рукописи XVII века:

3. Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пес съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три - лев, волк и пес - овцу съели вместе вдруг, и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?

Автор рукописи предлагает следующий прием решения: за 12 часов лев съедает 12 овец, волк - 6, а пес- 4. Всего же они съедят за 12 часов 22 овцы; следовательно. В час они съедают овцы, а одну овцу все вместе - в часа.

А сейчас давайте рассмотрим математические забавы.

4. Считаем дни недели, начиная с воскресенья: первый, второй, третий и так далее, до седьмого (субботы). Один учащийся задумывает число, никому его не говорит. Другой ученик отгадывает его, при этом предлагает выполнить про себя следующие действия:

• Умножить номер задуманного дня на 2 (пусть задумана пятница, 6 день, 6∙2=12)

• Прибавить к произведению 5 (12+5=17)

• Умножить сумму на 5 (17)

• Приписать произведению в конце нуль и назвать результат (850)

От этого числа угадывающий отнимает 250 и получает 600, то есть был задуман 6 день, пятница.

Математическая забава фигурирует и в биографии великого русского поэта М.Ю Лермонтова. Известно, что он был большим любителем математики и в своих вольных и невольных переездах из одного места службы в другое

всегда возил с собою учебник математики. Задумайте число, прибавьте к нему 25, затем прибавьте к нему еще 125, после вычтите37, вычтите то число, которое вы задумали. Остаток умножьте на 5. Разделите полученный результат на2. Теперь у вас должно получиться 282 .

Решение: пусть задуманное число х, тогда( х+25+125-37-х) 5:2=282,5

х-х=0, поэтому без разницы какое ты число задумываешь , результат у тебя будет один и тот же.

Лермонтов постоянно искал новой деятельности, никогда не отдавался весь тому высокому поэтическому творчеству, которое обессмертило его имя и которое, казалось, должно было поглотить его всецело. Таким образом, он одно время исключительно занимался математикой. Однажды, приехав в Москву к Лопухину, Лермонтов заперся у себя в кабинете и до поздней ночи сидел над решением какой- то математической задачи. Не решив её, Лермонтов, измученный, заснул. Задачу эту он решил во сне. Ему приснилось, что пришел какой - то математик и подсказал ему решение задачи. Он даже нарисовал портрет этого математика. Оказалось, что он очень похож на изобретателя логарифмов - шотландского математика Джона Непира (1550-1617). Вероятно, до этого Лермонтов читал о работах Непира и видел его портрет. Этот портрет слился у Лермонтова с его помощником при решении задачи.

Великий русский писатель Лев Николаевич Толстой (1828-1910) проявлял особый интерес к математике и ее преподаванию, много лет преподавал начала математики в основанной им же знаменитой Яснополянской школе, написал оригинальную "Арифметику" и "Руководства для учителя". Своим гостям Л.Н. Толстой нередко предлагал многие интересные задачи, среди которых находится и следующая.

Задача Л.Н. Толстого. "Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились: одна половина осталась на первом лугу и к вечеру его докосила, а другая перешла косить на второй луг площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?"

Пусть эта задача будет для вас вашим домашним заданием.

Решение.

На первом лугу косцы проработали дня - вся бригада и дня - половина бригады, что составляет рабочего дня. На втором лугу в первый день работала бригады в течение дня, т. е. затрачено рабочего дня целой бригады. Так как по площади второй луг в 2 раза меньше первого, то, для того чтобы выкосить его, вся бригада должна была бы работать дня. Следовательно, на второй день на меньшем лугу останется часть работы всей бригады за день. А так как эту работу выполнил один косец, значит вся бригада состояла из 8 косцов.

Итоги урока:

Какие задачи вызвали у вас затруднения в решении? В каких задачах вам

встретились непонятные слова? Как вы думаете, различаются ли способы решения задач сейчас и раньше? Какая из разобранных сегодня задач вам больше всего понравилась?

9