- Учителю
- Урок по теме Логарифмическая функция
Урок по теме Логарифмическая функция
Урок по теме «Логарифмическая функция, ее свойства и график».
Тип урока: урок-лекция.
Учебник: Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.- 11-е изд.-М.: Просвещение, 2003. - 384 с.
Учебная задача урока: сформировать у школьников представление о логарифмической функции как модели процессов реальной действительности, выявить ее свойства, вид графика.
Диагностируемые цели: в результате урока ученик:
знает определение логарифмической функции, свойства логарифмической функции, основу доказательства свойств, вид графика в зависимости от основания логарифмической функции;
понимает что логарифмическая функция является моделью реальных процессов окружающей действительности, связь между логарифмической и показательной функцией;
умеет доказывать свойства логарифмической функции; применять определение логарифмической функции, свойства логарифмической функции при решении дидактических заданий; выполнять задания на чтение графика логарифмической функции.
Методы обучения: метод эвристической беседы, частично-поисковые, репродуктивный.
Средства обучения: мел, доска, учебник, презентация.
Форма работы: фронтальная.
Структура урока: I. Мотивационно-ориентировочный этап (10 мин);
II. Содержательный этап (30 мин);
III. Рефлексивно-оценочный этап (5 мин).
Перед уроком, в качестве домашнего задания детям задавалось построить график функции: и и записать их свойства.
Ход урока
Мотивационно - ориентировочный этап:
Актуализация:
Учитель вызывает двух учеников к доске: один строит график функции и пишет свойства этой функции, а второй строит график функции и пишет свойства этой функции, а в это время учитель работает фронтально со всем классом.
Учитель: Решим следующие примеры:
№ 1. Вычислите:
Ученики:
Учитель: Сформулируйте определение логарифма.
Ученики: Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b.
Учитель: Какие особые логарифмы выделяются в математике?
Ученики: Десятичный и натуральный.
Учитель: Какой логарифм называется десятичным? Какой логарифм называется натуральным?
Ученики: Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b.
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e - иррациональное число, приближенно равное 2,7 и пишут lnb.
№ 2. Вычислите:
-
lg100;2. lg 3. ln1
Ученики: 1. lg100=2; 2. lg1/10=-1; 3. ln1=0
№ 3. Вычислите:
3. .
Ученики:
Учитель: Чем вы пользовались при выполнении задания?
Ученики: Определением логарифма и свойствами логарифмов.
Учитель: Вспомним свойства в общем виде (один ученик выходит и записывает их на доске).
Ученики: пусть :
-
.
Ученики:
Учитель: Чем вы пользовались при выполнении задания?
Ученики: Свойством степени и логарифмов, основным логарифмическим тождеством.
Один ученик выходит и записывает на доске: .
Ученики: .
Учитель: Чем вы пользовались при выполнении задания?
Ученики: свойствами суммы и разности логарифмов.
Один ученик выходит и записывает на доске: ; .
№ 4. Решите неравенство:
Ученики:
Т.к. , то функция убывает на всей области определения функции, тогда:
Ответ:
Учитель: Чем вы пользовались при решении данного неравенства?
Ученики: Свойством показательной функции.
Учитель: Сформулируйте определение показательной функции.
Ученики: Показательной функцией называется функция , где - заданное число, .
Учитель: Теперь посмотрим на доску, на ней мы видим график функции , также свойства этой функции. (Ученик рассказывает, как он построил график, и какие выписал свойства, остальные проверяют)
1. D(x): xR
2. E(x): y>0
3.Если x=0,
График пересекает ось ОУ в т. (0;1)
4. y>0 на всей области определения R
5. Функция возрастает на всей области определения
6. Функция общего вида
7. Функция
8. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Теперь посмотрим на график функции и её свойства.
Свойства:
1. D(x): xR
2. E(x): y>0
3.Если x=0,
График пересекает ось ОУ в т. (0;1)
4. y>0 на всей области определения R
5. Функция убывает на всей области определения
6. Функция общего вида
7. Функция
8. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Учитель: В чем различие в свойствах?
Ученики: В виде монотонности.
№ 5. Найдите область определения и множество значений данной функции. Найти функцию, обратную данной, её область определения и множество значений.
Решение:
ОО данной функции:
МЗ данной функции:
Находим обратную функцию:
ОО обратной функции:
МЗ обратной функции:
Учитель: Как связаны области определения и множества значений взаимно обратных функций?
Ученики: Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции.
Мотивация
Учитель: Итак, изучая понятие степени, мы с вами рассматривали различные функции, связанные с этим понятием, в том числе показательную. Сейчас мы изучаем понятие логарифма. Возникает предположение о существовании соответствующей функции - логарифмической.
Презентация:
Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль
Уравнение логарифмической спирали в полярной системе координат имеет вид
, где
Переписав уравнение в виде мы увидим, что величина полярного угла пропорциональна логарифму радиус-вектора. Отсюда и происходит название логарифмическая спираль.
Спираль в одну сторону развертывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая.
Так почему мы в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбрали именно логарифмическую спираль?
Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях - взрослое существо и выше и толще детёныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой.
А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или её некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары, закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста.
Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система. В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.
Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали.
Его навязчивой идеей стала картина Вермеера «Кружевница», репродукция которой висела в кабинете его отца. Много лет спустя Сальвадор Дали попросил в Лувре разрешение написать копию с этой картины. Затем попросил киномеханика показать на экране репродукцию нарисованной копии. Он объяснил, что, пока не написал эту копию, в сущности, почти ничего не понимал в «Кружевнице», и ему понадобилось размышлять над этим вопросом целое лето, чтобы осознать наконец, что он инстинктивно провёл на холсте строгие логарифмические кривые.
Учитель: Итак, Учебная задача урока: научиться строить график логарифмической функции, изучить её свойства. Запишите тему урока у себя в тетрадях: «Логарифмическая функция, ее свойства и график».
Содержательный этап.
Учитель: Рассмотрим логарифмическую функцию . Какие ограничения накладываются на основание логарифма?
Ученики: Логарифм существует только при а>0 и a1.
Учитель: Попробуйте сформулировать определение логарифмической функции.
Ученики: Логарифмической называется функция , где а - заданное число, a>0, a1.
Учитель: Выберите из предложенных функций логарифмические.
1) 2) 3) 4) ;5)
Ученики: Решение:
1) т. е. логарифм не существует.
2) это не логарифмическая функция, т. к. нет аргумента х.
3) , все условия определения выполняются, это логарифмическая функция.
4)это не логарифмическая функция, т.к. не существует логарифм от нуля.
5) не подходит под определение.
Далее все записи будут вестись в канве - таблицы.
Учитель: Рассмотрим свойства логарифмической функции. Какова область определения логарифмической функции?
Ученики: Множество всех положительных чисел.
Учитель: Почему?
Ученики: По определению логарифма: логарифм существует при .
Учитель: Каково множество значений логарифмической функции?
Ученики: Множество R.
Учитель: Докажем это (дети вместе с учителем доказывают это свойство, фиксируя у себя в канве - таблицы).
Доказательство:
Из определения логарифма следует, что для любого действительного числа b есть такое положительное число , что .
Учитель: Следующее свойство, которое мы рассмотрим - Логарифмическая функция является возрастающей на промежутке x>0, если a>1, и убывающей, если 0<a<1.
Нам надо доказать, что если , то , т.е. , для a>1 и , то , т.е. для 0<a<1.
Ученики: (вместе с учителем).
Доказательство:
1. Пусть a>1. По основному логарифмическому тождеству
( по свойству степени с основанием )
2. Пусть 0<a<1.
По основному логарифмическому тождеству условие можно записать в виде: , получим , так как 0<a<1.
Учитель: Во втором случае основание степени 0<a<1, что происходит со знаком?
Ученики:
Знак изменится на противоположный.
(по свойству степени c основанием 0<a<1)
Учитель:
На практике чаще всего вы будете пользоваться обратной теоремой: если a>1 и , где , то ;
Если 0<a<1 и , где , то
Учитель: Рассмотрим следующее свойство: нули функции.
Если х = 1, чему будет равен логарифм?
Ученики:
Учитель:
Таким образом, график функции всегда пересекает ось Ох в точке (1;0)
Учитель:
Промежутки знакопостоянства.
1. При а > 1, функция принимает положительные значения при x>1, отрицательные при 0<x<1.
2. При.0<a<1, функция принимает положительные значения при 0<x<1, отрицательные при x>1.
Доказательство:
1.Это следует из того, что функция при х = 1, у = 0. Это видно из рисунка:
При а >1 функция является возрастающей. Поэтому на промежутке x > 1 принимает положительные значения. А на промежутке 0<x<1 принимает отрицательные значения.
2. Это следует из того, что функция при х = 1, у = 0. Это видно из рисунка:
При 0<а<1 функция является убывающей. Поэтому на промежутке x > 1 принимает отрицательные значения. А на промежутке 0<x<1 принимает положительные значения.
Учитель: Чётность/нечётность.
Ученики: Является функцией общего вида.
Учитель: Почему?
Ученики: Так как логарифмическая функция определена только при .
Мы рассмотрели все свойства, а теперь рассмотрим одновременно две функции: показательную у и логарифмическую у =
При каких условиях на а рассматривается показательная функция?
Ученики: a>0, a1
Учитель: Какая область определения и какое множество значений у показательной функции? Попробуем сравнить эти данные с областью определения и множеством значений логарифмической функции.у
у =
1. D(x): R
D(x): x>0
2. E(x): x>0
E(x): R
(эта табличка фронтально заполняется всем классом).
Учитель: Какую закономерность вы видите?
Ученики: Область определения показательной функции совпадает с множеством значений логарифмической функции, а множество значений логарифмической функции совпадет с областью определения показательной.
Учитель: Какой предположение на основе этого можно сделать?
Ученики: Это взаимнообратные функции.
Учитель: Мы уже построили графики функций и , теперь давайте построим графики функций и .
График функции будем строить там, где строился график функции , а график функции там, где строился график функции
(красный график функции , синий график функции )
(красный - график функции ; синий - график функции )
Учитель: Относительно какой прямой симметричны графики этих функций?
Ученики: Относительно прямой у = х.
Учитель: Поэтому необязательно строить графики обеих функций. Достаточно построить график одной функции и отобразить его относительно прямой у = х.
Учитель:
Задание1: Построить график функции и по нему найти приближенно
-
, b)
Задание2: по графику функции найти приближенно значения , при которых
График функции
Рефлексивно - оценочный этап.
Учитель: Какова была цель урока?
Ученики: Рассмотреть логарифмическую функцию, её график и свойства.
Учитель: Достигли ли мы ее? Как?
Ученики: Да. Сформулировали определение логарифмической функции, рассмотрели по уже известной схеме все свойства функции, построили её график.
Учитель: Какую связь и между какими функциями мы рассмотрели?
Ученики: Между показательной и логарифмической функциями.
Логарифмическая и показательная функции взаимно обратны.
Учитель: записываем домашнее задание: 1) уметь строить график логарифмической функции, 2) на основе графика формулировать свойства; 3) № 318 (1, 4), №374.
№ 318: задание: сравнить числа:
-
.
Решение: так как , то функция возрастает, а из этого и из того, что следует, что .
4. .
Решение: так как , то функция является убывающей, а из этого и из того, что следует, что . .
№374: Построить график функции и ответить на вопросы: 1) какая из данных функций является возрастающей? Убывающей?2) при каких значениях каждая функция принимает положительные значения? Отрицательные значения? Значения, равные нулю? :
-
-
Ответы на вопросы:
1) Возрастающей является функция ; убывающей -
2) при функция принимает положительные значения; при она принимает отрицательные значения; при .
При функция принимает положительные значения; при она принимает отрицательные значения; при .
Логарифмическая функция, её свойства и график.
, a>0, a1Свойства:
1. Область определения: x>0
2. Множество значений: R
3. Монотонность:
a>1
функция возрастает при х >0
0<a<1
Функция убывает при х>0
если x1<x2, то logax1 < logax2
Док-во:
По основному логарифмическому тождеству
( по свойству степени с основанием )
если x1<x2, то logax1 > logax2
Док-во:
По основному логарифмическому тождеству:
(по свойству степени с основанием 0<a<1)
3'. Обратная теорема:
если logax1<logax2, то x1 < x2
Док-во:
logax1<logax2, тогда ( по свойству степени)
x1<x2 (по основному логарифмическому тождеству).
если logax1<logax2, то x1 > x2
Док-во:
logax1<logax2, тогда (по свойству степени)
x1>x2 (по основному логарифмическому тождеству).
4. Если х = 1, то
График пересекает ось: Ox в т. А (1 ; 0)
5.График не пересекает ось: Oy
6. a > 1
0
0
y<0
x > 1
y>0
0
y>0
x > 1
y<0
Логарифмическая функция, её свойства и график.
, a>0, a1
Свойства:
1. Область определения:
2. Множество значений:
3.Монотонность:
a>1
функция возрастающая
0
Функция убывающая
если x1<x2, то logax1 logax2
Док-во:
если x1<x2, то logax1 logax2
Док-во:
3'. Обратная теорема:
если logax1<logax2, то x1 x2
Док-во:
если logax1<logax2, то x1 x2.
Док-во:
4.Если х = 1, то
График пересекает ось: в т. А (1 ; 0 )
5.График не пересекает ось:
6. a > 1
0</</i>
0
y 0
x > 1
y 0
0
y 0
x > 1
y 0
-