Самостоятельная работа по теме «Многочлены» 10 класс

Самостоятельная работа по теме «Многочлены» 10 класс

Цель: проверка степени усвоения материала курса, умения применить свои знания при решении задач.

1. В многочлене f (х) = x³ - 5x² + аx + 6 один из корней равен 3. Найдите f (х).

2. Найдите остаток от деления f (х) = х⁴ + 7x³ + 2x² - 3x -5 на х + 1.

3. Вычислите f (4), если f (х) = х⁴ - 3x³ + 6x² - 10x + 16.

4. С помощью схемы Горнера найдите частное и остаток при делении многочлена х⁴ + 2x² - 10x + 1 на двучлен х - 2.

5. Найдите многочлен f(x) второй степени, удовлетворяющий условиям:

f (1) = 6, f (- 2) = 21, f (3) = 16.

6. Подбирая целые корни, разложите многочлен на множители с помощью схемы Горнера многочлен x⁴ - 2x³ - х² - 4х + 12.

7. Найдите НОД и НОК многочленов:

x³ + 4х² + 7х + 4 и x³ + 5х² + 10х + 8.

8. Определить кратность корня х₀ многочлена

f(x) = х⁵ + 4x⁴ - 7x³ - 11х² + 4, х₀ = 2.

Ответы к заданиям самостоятельной работы:

1. Так как х₀ = 3 является корнем многочлена f (х) = x³ - 5x² + аx + 6, то f (х₀) = 0. Т.е. 3³ - 5 ∙ 3² + 3а + 6 = 0,

27 - 45 + 3а + 6 = 0,

3а = 12, а = 4.

Ответ: Искомый многочлен f (х) = x³ - 5x² + 4x + 6.

2. (х⁴ + 7x³ + 2x² - 3x - 5) : (х + 1) = (x³ + 6x² - 4x + 1) + (-6).

Ответ: r = - 6.

3. Вычислим значение многочлена х⁴ - 3x³ + 6x² - 10x + 16 при х = 4 с помощью схемы Горнера:

Значит, f (4) = 136.

Ответ: f (4) = 136.

4. Составим таблицу по схеме Горнера:

Получили неполное частное q(x) = x³ + 2x² + 6x + 2 и остаток r = 5.

Ответ: частное x³ + 2x² + 6x + 2 и остаток r = 5.

5. Многочлен f (х) будем искать в виде ax² + bx + c. Для определения неизвестных коэффициентов посчитаем значения многочлена в заданных точках:

f (1) = a + b + c = 6,

f (- 2) = 4a -2b + c = 21,

f (3) = 9a + 3b + c = 16.

Решение этой системы a = 2, b = - 3, c = 7. Искомый многочлен

f (х) = 2x² - 3x + 7.

Ответ: f (х) = 2x² - 3x + 7.

6. Корни многочлена x⁴ - 2x³ - х² - 4х + 12 будем искать среди чисел 1, 2, 3, 4, 6.

Число 2 является корнем многочлена. Проверим его кратность: делим многочлен x³ - x - 6 на х - 2. Затем разделим многочлен x² + 2x + 3 на х - 2: Значит х = 2 - корень кратности 2.

Разделим многочлен x⁴ - 2x³ - х² - 4х + 12 на (х - 2)²:

x⁴ - 2x³ - х² - 4х + 12 х² - 4х + 4

x⁴ - 4x³ + 4х² х² + 2х + 3

2x³ - 5х² - 4х

2x³ - 8х² + 8х

3х² - 12х + 12

3х² - 12х + 12

0

Тогда получаем x⁴ - 2x³ - х² - 4х + 12 = (х - 2)²(х² + 2х + 3).

Ответ: x⁴ - 2x³ - х² - 4х + 12 = (х - 2)²(х² + 2х + 3).

7. Ответ: НОД = х² + 3х + 4;

НОК = (х² + 3х + 4)(х + 1)(х + 2).

8. Решение:

Ответ: k = 1.