Конспект факультативного занятия по математике Решение задач С2 из ьЕГЭ координатно-векторным методом (11 класс)

Черная Светлана Владимировна, учитель математики,

МКОУ ЗАТО Знаменск Гимназия №235

Класс -11 «А»

Тема - «Факультативное занятие по решению одной задачи по материалам ЕГЭ - 2012-2013»

Учебно-методическое обеспечение: Сборник для подготовки к ЕГЭ по математики под ред. Ф.Ф.Лысенко, так как ЦОР ориентирован на подготовку к ЕГЭ

Время реализации занятий - 45-50 минут (1 урок)

Оборудование и материалы: компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения занятия, раздаточный материал для учащихся.

Авторский медиапродукт: Среда - Microsoft Office PowerPoint-2007.

Вид медиапродукта: наглядная презентация учебного материала

Цель занятия

Отработка навыков решения задач «С2», углубление, закрепление полученных знаний.

Задачи занятия

1. Показать на практике два метода решения задач С2, выявить преимущество одного из этих методов.

2. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы.

3. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для их применения в нестандартной ситуации.

4. Развивать у учащихся математическое мышление (умение выделять существенные признаки и делать обобщения).

5. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят ученики в ходе урока

• умение пользоваться опорными знаниями, для их применения при нахождении угла между плоскостями;

• умение выделять существенные признаки и делать обобщения;

• навыки творческого подхода к решению задач повышенного уровня сложности, нахождение нескольких способов решения одной задачи.

Ход и содержание занятия

Слайд1

I этап - Вводная беседа. (Оргмомент)

Учитель:

- Здравствуйте, ребята, садитесь! Сегодня мы проведем факультативное занятие по теме «Решение одной задачи С2 из сборника для подготовки к ЕГЭ под редакцией Ф.Ф.Лысенко 2013»

Слайд2

- А для того, чтобы наше сотрудничество стало приятным и плодотворным, давайте улыбнемся друг другу!!! Теперь мы настроились на позитивное общение, можно начинать занятие!

Слайд3

Учитель:

Однажды Египетский царь Птолемей I спросил древнегреческого математика Евклида, нет ли более короткого пути для понимания геометрии, чем тот, который описан в его знаменитом труде, содержащимся в 13 томах. Учёный гордо ответил «В геометрии нет царской дороги».

Сегодня мы, все-таки, попытаемся поискать ту самую «царскую дорогу» при решении задач на нахождение угла между двумя плоскостями.

Слайд4

Цель нашего занятия:

- отработать навыки решения задач С2 двумя способами, углубить, закрепить полученные знания;

- выбрать наиболее приемлемый для ЕГЭ способ решения задач С2.

II этап (Проверка домашнего задания)

- Ребята, домашним заданием у вас была задача из варианта 4 сборника 2013 под редакцией Лысенко(показать сборник). -- Давайте проверим её и выделим основные этапы ее решения. Решение с презентацией подготовила Юля, она нам её сейчас покажет.

В начале напоминает ТТП

Слайд стрелка(переход на Юлю)

-Вам было представлено решение задачи геометрическим методом, давайте сейчас выделим основные этапы ее решения.

- С чего начали решение задачи? (с построения сечения многогранника, используя «метод следов») Лера

- Какую теорему мы вы использовали для определения искомого угла между плоскостями? (Теорему о трех перпендикулярах, ТТП).Аня Есипова

- Какие знания вам понадобились для нахождения искомого угла? (Признак подобия треугольников по двум углам, свойство пропорциональности сходственных сторон подобных треугольников, терему Пифагора, нахождение тангенса острого угла прямоугольного треугольника) Маша, Аня Синельникова.

- Итак, теперь мы можем составить алгоритм решения задачи геометрическим методом, внимание на экран!

Слайд5

- То есть при решении задачи вам потребовались отличные знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает логическое мышление и пространственное воображение, систематизирует ранее полученные знания.

III этап (Актуализация знаний).

- Сегодня мы рассмотрим решение этой же задачи другим способом, который называется координатно - векторным. Моя цель - показать вам преимущество этого метода и убедить вас в том, что на экзамене целесообразно использовать именно его. А для того, чтобы вам было проще воспринимать решение задачи, давайте выполним следующие задания. Студиям в эфире мы тоже предлагаем включиться в работу и выполнять те задания, которые были нами размещены ранее на сайте. Внимание на экран!

Слайд6

1. Дана правильная четырехугольная призма, сторона основания которого равна 4, боковое ребро равно 10. На ребре АА1 взята точка N так, что AN:NA1=4:1. Найдите координаты точек, изображенных на рисунке.(Алеша Семке)

Слайд7

- Давайте вспомним алгоритм составления уравнения плоскости.

• Запишем уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0(Влад)

• Найдем координаты трех точек плоскости. (мы знаем, что через любые три точки можно провести плоскость и притом только одну)Таня

• Подставим найденные координаты данных точек в уравнение плоскости. Гена

• Решим систему линейных уравнений с тремя неизвестными, найдем коэффициенты а, в, с. Лейла

• подставим их в уравнение плоскости.

Аня Синельникова

-А теперь, следуя алгоритму, выполните следующее задание.

Слайд8

2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через три данные точки А(0;0;0), В(0;1;1), С(1;1;0).Ксения

Слайд9

3. Запишите формулу для нахождения косинуса угла между плоскостями. Маша

IV этап (решение задачи векторно - координатным способом)

А сейчас я напомню вам свойство вектора нормали к плоскости, которое поможет при решении задачи.

Слайд 10

Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)

Вектор нормали плоскости - это вектор, который перпендикулярен данной плоскости. Очевидно, что у любой плоскости бесконечно много нормальных векторов и координаты каждого из них являются коэффициентами A,B,C из уравнения плоскости. Но для решения задач нам будет хватать и одного вектора нормали, в качестве такого вектора можно взять единичный вектор n(0;0;1), длина которого равна единице.

- А теперь займемся решением задачи (Решение задачи на доске).

Слайды 11,12 (заготовленный чертеж)

На столах у вас лежат листочки с текстом задачи и с заготовленным чертежом. Приступим к решению.

1. Введем систему координат.

2. Определим координаты трех точек плоскости, найдем уравнение плоскости, выпишем коэффициенты A,B,C.

3. Зададим единичный вектор нормали к плоскости (АВС) n(0;0;1).

4. Подставим полученные числа в формулу косинуса угла между плоскостями.

- Итак, вам было представлено решение задачи векторно - координатным методом. Давайте теперь выделим основные этапы ее решения этим способом!

Слайд13 (сначала только заголовок)

- С чего мы начали решать задачу? (ввели прямоугольную систему координат Лера, нашли координаты трех данных точек плоскости).Паша

- Для чего мы нашли координаты точек? ( чтобы подставить их в уравнение плоскости и решив систему, найти коэффициенты А, В,С Гена, задали единичный вектор нормали к одной из плоскостей Алеша).

- Каков был заключительный этап решения задачи? (подставили полученные коэффициенты в формулу для вычисления косинуса угла между плоскостями, затем нашли тангенс угла). ???

- На экран, вы можете видеть этапы решения этой задачи.

Слайд13 (второй способ)

- А теперь давайте проведем сравнительный анализ этапов решения задачи.

-Сравнивая решения задачи двумя способами, вы увидели, что при использовании векторно - координатного метода главная нагрузка приходится на алгебраические выкладки. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Вам даже не пришлось строить искомый угол между плоскостями, а именно этот этап решения вызывает наибольшее затруднение при решении задач такого типа.

Этот способ очень удобен, особенно когда времени на экзамене мало, а решить C2 хочется.

Слайд14

В итоге мы сможем составить алгоритм решения задач координатно - векторным методом

V этап (самостоятельная работа)

- Давайте решим еще одну задачу, отработаем этот метод. Но для того, чтобы мне окончательно убедить вас в целесообразности применения именно этого метода, мы поступим следующим образом:

Юля уже решала задачу геометрическим методом, она будет решать ее одна у доски, а Ксения и вместе с ней весь класс будет решать задачу векторно - координатным методом. В итоге мы посмотрим, кто быстрее справился с решением этой задачи.

На столах у вас лежат листочки с условием задачи С2 из нашего сборника, вариант №21.Приступайте к решению задачи, следуя алгоритму, который находится у вас на столах.

Решать задачу я хочу предложить и нашим коллегам в студиях, а затем проверить и обсудить ее решение.

Слайд15

Задача.

В кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите угол между плоскостями АВ1С и СВ1Д1.

Рефлексия деятельности

VI этап (рефлексия, подведение итогов)

- Итак, мы видим, что Ксения уже справилась с решением и получила верный ответ. Поднимите руки, кто уже закончил решать задачу. Молодцы!

-Давайте проверим ее решение. Удалось ли вам решить задачу? С какими затруднениями вы встретились?

-А на каком этапе находится Юля?

VI этап (рефлексия, подведение итогов)

Слайд 16

- Скажите пожалуйста, удалось ли мне окончательно убедила вас в преимуществе координатно - векторного метода решения задач C2?

- Смогли ли мы достичь цели нашего занятия, а именно рассмотреть наиболее приемлемый способ решения такого типа задач на экзамене, когда время ограничено?

- Что нового вы узнали на занятии? (что решать задачи С2 на нахождение угла между плоскостями можно более быстро и просто , используя координатно - векторный метод).Лера

- Чему вы научились? (научились применять этот метод на практике) Паша

- Какое у вас настроение в конце занятия? (настроение оптимистическое, потому что появилась реальная возможность решить сложную задачу на экзамене и получить за это дополнительные баллы) Таня

- Можете ли вы объяснить решение данных задач однокласснику, пропустившему сегодня занятие? (конечно, сможем). Все.

Домашнее задание

- Я думаю, что сегодня мы нашли ту «царскую дорогу» в геометрии, которая приведет вас к успешному решению задач С2, вы не только сможете объяснить решение задачи однокласснику, но и решить такого типа задачу на ЕГЭ, без всяких затруднений. Я желаю вам успеха на экзамене! А для того, чтобы закрепить успех, запишите домашнее задание:

Слайд17

Вариант №3, С2.

В правильной четырехугольной призме АВСДА1В1С1Д1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 5. На ребре ДД1 отмечена точка F так, что ДF:FД1=2:3. Найдите угол между плоскостями АВС и АFС1.

- Тогда на этой оптимистической ноте позвольте мне закончить наше занятие, а для того, чтобы ваше хорошее настроение сохранилось надолго, давайте улыбнемся друг друга на прощание!!!

Слайд18

Всем спасибо, до новых встреч!

Добавить обсуждение со студиями и самоанализ занятия???

Слайд 1: тема занятия

Слайд 2:

Слайды 3-4: разбор задачи №1 типа «С2».

Слайд 5: решение задачи №2 типа «С2».

Слайды 6-7: задача №3 типа «С2».

Слайд 8: Задания для самостоятельной работы.

Слайды 9-10: Чертеж и подсказка к самостоятельной работе.

Слайд 11: Источники литературы, ссылки (скрытый слайд)

Литература

1. Задачи для решения взяты с сайта Александра Ларина. Скачать задания можно по ссылке: alexlarin.narod.ru/ege.html , видеоуроки с решениями задач : ege-ok.ru/ , nsportal.ru/ , ege-ok.ru/2012/03/19/ugol-mezhdu-ploskostyami-metod-koordinat-zadanie-s2/

2. Рисунки на слайдах взяты с сайта office.microsoft.com/ru-ru/images/results.aspx?qu=%D1%81%D0%BC%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D1%8B</</u>

3. Геометрия: Учебник для 10-11 классов средней школы/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 3-е изд.- М.: Просвещение, 2010.-207 с.:

4. Учебно - методический комплекс «Математика. Подготовка к ЕГЭ» под редакцией Ф.Ф Лысенко, С.Ю.Калабухова. Легион, Ростов - на - Дону, 2012.

9