План-конспект урока по теме: 'Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах'

План-конспект

урока по теме

«Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах»

(Алгебра и начала анализа 11 класс)

Цель урока:

1. Развитие и обобщение знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств;

2. Подготовка к ЕГЭ.

Задачи:

1. Рассмотреть применение алгоритма введения новой переменной при решении логарифмических уравнений и неравенств;

2. Продолжить формирование навыков сознательного выбора способов решения;

3. Развивать потребность в нахождении рациональных способов решения;

4. Способствовать развитию умения видеть и применять рассмотренный материал в нестандартных ситуациях.

5. Способствовать совершенствованию умения контролировать свои действия, вносить коррективы в план выполняемой работы;

6. Способствовать развитию умения в ходе работы в группе учитывать позиции других учеников, обосновывать свою позицию, а также координировать в ходе сотрудничества разные точки зрения.

План урока:

Организационный момент 2 мин.

1. Устная работа 9 мин.

2. Лекционная часть урока (объяснение учителя алгоритма введения новой переменной при решении логарифмических уравнений и неравенств) 15 мин.

3. Работа учащихся в группах с разноуровневыми заданиями 15 мин.

4. Итог урока 3 мин.

5. Домашнее задание (комментарий учителя) 2 мин.

Оборудование: интерактивная доска.

Ход урока:

I . Устная работа учащихся.

1. Найдите область определения функции

у = log _0.5(3-2x)

Ответ: ( -∞; 1,5).

2. Укажите и исправьте ошибки в решении

log ₂ х ⁴ + log ₂ х ² = 6

Решение: 4 log ₂ х + 2 log ₂ х = 6,

6 log ₂ х = 6,

log ₂ х = 1,

х = 2.

Ошибка: переходы log ₂ х ² = 2 log ₂ х и log ₂ х ⁴ = 4 log ₂ х могут привести (и ведут) к потере корней. Правильно:

log ₂ х ⁴ + log ₂ х ² = 6,

4 log ₂ │х│ + 2 log ₂ │х│ = 6,

6 log ₂ │х│ = 6,

log ₂ │х│ = 1,

│х│ = 2,

Ответ: ± 2.

3. Решите неравенство

log _1/5( 1/5(х- 1))>1.

Решение: log _1/5 1/5 + log _1/5(х- 1)>1,

log _1/5(х- 1)>0,

log _1/5(х- 1) > log _1/51,

функция у = log _1/5t - убывающая, значит,

х- 1< 1,

х- 1> 0;

х < 2,

х > 1.

Ответ: (1;2).

Учитель использует (доску), компьютер и экран (заранее приготовлены слайды).

4. Вопрос: Какие методы использовались при решении логарифмических уравнений и неравенств?

При решении уравнений, содержащих логарифмические функции, иногда применяют различные преобразования, сводящие заданное уравнение к простейшему виду. При этом важно, чтобы ОДЗ не менялось.

Иногда встречаются уравнения, в которых фигурирует функция вида y=f(x)^g(x), при этом f(x)>0. Такие уравнения удобно решать почленным логарифмированием.

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.

II. Решение некоторых логарифмических уравнений и неравенств сводится к алгебраическим с помощью замены переменных.

Рассмотрим этот способ решения. Объясняет учитель.

Пример 1. Решите уравнение

4-lg x = 3√ lg x.

Решение: Воспользуемся методом замены.

Пусть √ lg x= t, ≥0, тогда данное уравнение примет вид

t² + 3t - 4 = 0, откуда t₁=1,t₂= - 4 ( посторонний корень).

Значит √ lg x= 1,

lg x= 1,

x= 10

Ответ: 10.

Пример 2. Решите уравнение

10* log _4хх + 21* log _16хх - 3* log _х/2х ² = 0.

Решение:

х >0,

х≠ 1/4,

х≠ 1/16,

х≠ 2.

Переходя к логарифмам по основанию 2, получим

10* log ₂ х / log ₂ 4х + 21* log ₂ х / log ₂ 16х - 3* log ₂х ² / log ₂ х/2 = 0,

10* log ₂ х / (2 +log ₂ х) + 21* log ₂ х / (4 + log ₂ х) - 3*2* log ₂х / log ₂ (х-1) = 0,

log ₂ х (10/ (2 +log ₂ х) + 21 / (4 + log ₂ х) - 6 / log ₂ (х-1)) = 0,

Это уравнение равносильно совокупности уравнений

log ₂ х = 0,

10/ (2 +log ₂ х) + 21 / (4 + log ₂ х) - 6 / log ₂ (х-1) = 0

Решением первого уравнения является x= 1.

Для решения второго уравнения сделаем замену t = log ₂ х. После преобразования получим:

(25t² + 15t - 30)/((2+ t)(4+ t)(t-1))=0,

25t² + 15t - 30=0,

(2+ t)(4+ t)(t-1) ≠ 0;

t=2,

t= - 2,6;

log ₂ х =2,

log ₂ х = - 13/5;

Ответ: 1; 4; 1/ 4⁵√8.

Пример 3. Решите неравенство

2 log _3х-6 9 - log ₃ (х-2) ≥ 1.

Решение: перепишем неравенство в виде:

2 log ₃ 9 / log ₃ 3(х-2) - log ₃ (х-2) ≥ 1,

4 / (log ₃ (х-2) + 1) - log ₃ (х-2) ≥ 1.

Пусть а = log ₃ (х-2), тогда

1/(1+а) - а ≥ 1,

(4 - (а + 1)²) / (1 + а) ≥ 0,

((а + 3)(1 - а)) / (1 + а) ≥ 0,

((а + 3)(а - 1)) / (1 + а) ≤ 0

Воспользуемся методом интервалов, получим

а ≤ - 3

- 1 < a ≤ 1.

log ₃ (х-2) ≤ - 3

- 1 < log ₃ (х-2) ≤ 1.

y= log ₃ t - возрастающая функция,

0 < х - 2 ≤ 1/27

1/3 < х - 2 ≤ 3.

Ответ: ( 2; 55/27]U(7/3;5].

Итак, рассмотрели метод замены переменных, который будем использовать при решении логарифмических уравнений и неравенств.

III. Учащиеся класса разбиваются на группы ( по выбору).

1 группа: занимаются самостоятельно на оценку.

2 группа работает, используя консультации учителя, с последующей проверкой полного решения учениками через экран.

Задания для учащихся 1 группы.

1. Решите уравнение

log ₄ х ² + log _х6 64 = 2.

2. Решите неравенство

log²₄(2х) + 3log ₂х < 4.

Решение: 1) х≠ 1

2 log ₄ ‌| х ‌| + 1/6 log _{| х |}64 = 2,

2 log ₄ ‌| х ‌| + 6*1/6 log _{| х |}2 = 2,

2*1/2 log ₂ ‌| х ‌| + 1/ log ₂ ‌| х ‌| = 2,

Пусть log ₂ ‌| х ‌| = t,

t + 1/t = 2,

t² - 2t + 1=0,

(t - 1)² =0,

t = 1.

log ₂ ‌| х ‌| = 1,

‌| х ‌| = 2.

Ответ: ±2.

2) (1/2 log ₂ (2х))² + 3log ₂х < 4,

(1/2+1/2 log ₂ х)² + 3log ₂х < 4,

Пусть log ₂ ‌х ‌= t,

(1/2 +1/2t)²+3t < 4,

1/4+1/2t+1/4t²+3t<4,

1/4 t²+7/2t-15/4<0,

t²+14t-15<0,

t²+14t-15=0

D₁=64, t₁=-15, t₂=1

(t+15)(t-1)<0

-15

-15< log ₂ ‌х <1

log ₂ ‌х <1,

log ₂ ‌х >-15;

y= log ₂ ‌b - возрастающая функция,

0 < х <2,

‌х >2^-15

Ответ: (1/2¹⁵;2).

Задания для учащихся 2 группы

1. Решите уравнение

1/2* log²₅х + log ₂₅ ‌х - 1=0

2. Решите неравенство

log²_0,5х < 1.

Решение . 1) ‌х >0, пусть log ₅ ‌х ‌= t,

t² + t - 2=0,

D=9, t₁=2,t₂= - 1

log ₅ х =2,

log ₅ х = - 1

Ответ: 25; - 1/5.

2) Пусть log²_0,5х = а, ‌х >0

а² < 1,

-1< a <1,

-1< log²_0,5х <1,

log _0,5х <1,

log _0,5х >- 1

функция у= log _0,5t - убывающая,

х >0,5

х <1

Ответ: (0,5; 1).

IV. 1 группа учащихся сдает тетради на проверку; решения для 1 и 2 группы демонстрируются на экране. Подводится итог урока: рассмотрев алгоритм введения новой переменной для решения логарифмических уравнений и неравенств, ученики должны развивать умение применять изученный материал, как один из рациональных способов решения.

Объявляются оценки.

V. Домашнее задание. Запись на экране. Ученик выполняет на выбор любые 4 примера.

1) 3lg²(х - 1) - 10lg (х - 1) + 3 = 0,

2) log _2х+1(5+8 х - 4 х²) + log _5-2х(1+4 х + 4 х²) = 4,

3) log ₂ х + log _х² 8 = 2,5,

4) 4 log²₄х - 8 log ₄ ‌х - 5>0,

5) log ₂ ‌√х - 2 log²_1/4х + 1>0

Решение:

1) ‌х >0, пусть lg (х - 1) ‌= t,

3t² - 10t + 3=0,

D=25-9=16, t₁=3,t₂= 1/3

а) lg (х - 1) ‌=3,

х - 1 ‌=1000,

х ‌=1001

1001>1 (верно)

б) lg (х - 1) ‌=1/3,

х - 1 ‌=10^1/3,

х ‌=10^1/3 +1

^3√10 +1>1 (верно)

Ответ: 1001; ^3√10 +1.

2) log _2х+1(5-2 х)(2 х+1) + log _5-2х(2 х + 1)² = 4,

log _2х+1(5-2 х) + 2/ log _2х+1(5-2 х)= 3,

пусть у= log _2х+1(5-2 х), тогда

2 х+1>0

2 х+1≠1,

5-2 х>0,

5-2 х≠1.

y+2/y=3,

y₁=1,y₂= 2

a) log _2х+1 (5-2 х)=2

5-2 х = (2 х + 1)²

х ₁=1/2, х ₂= - 2

-2 не удовлетворяет условию 2 х+1>0

б) log _2х+1 (5-2 х)=1

5-2 х = 2 х + 1

х ₃=1

Ответ: 1/2; 1.

3) х>0, х≠ ±1.

log ₂х + 3/2log _х2 = 2,5,

1/log _х2 + 3/2log _х2 = 2,5.

Пусть у = log _х2, тогда

3/2 у² - 5/2у + 1 = 0,

3 у² - 5у + 2 = 0,

D=1, у₁=1,у₂= 2/3

а) log _х2=1

х ‌=2

б) log _х2=2/3

х ‌=√8

Ответ: 2; √8.

4) х>0, пусть log ₄ ‌х = t, тогда

4t² - 8t - 5>0

4t² - 8t - 5=0

D=16+20=36, t₁=5/2,t₂=- ½

4(t-5/2)(t+1/2)>0

t< -1/2

t> 5/2

a) log ₄ ‌х < -1/2

log ₄‌х< log ₄‌1/2

y= log ₄ ‌n - возрастающая функция,

х>0,

х< 1/2

0< х <1/2

б) log ₄ ‌х > 5/2

log ₄ ‌х> log ₄ 32

y= log ₄ ‌n - возрастающая функция,

х>32

Ответ: (0;1/2)U(32; +∞)

5) х>0,

1/2log ₂ ‌х - 2 log²₂-2 х + 1>0,

1/2log ₂ ‌х - 2*1/4 log²₂ х + 1>0,

log ₂ ‌х - log²₂ х + 2>0

Пусть log ₂ ‌х = у, тогда - у² + у + 2 > 0

у² - у - 2 < 0

у² - у - 2 = 0

D=9, у₁=2,у₂= -1

(y-2)(y+1)<0

-1<y<2

y<2,

y>-1

log ₂ ‌х< log ₂‌4,

log ₂ ‌х> log ₂ ½

‌х<4

‌х>1/2

1/2< х<4

Ответ: (1/2; 4).

Литература:

1. Пособие для учителя под ред. М.Л. Галицкого.

Углубленное изучение алгебры и математического анализа

2. А.П.Ершова, В.В.Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 10-11 класс

3. П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики-Москва: Педагогический университет «Первое сентября» 2012г.