Урок алгебры и начала анализа в 11 классе 'Решение иррациональных неравенств'

Учитель математики: Фролова Марина Александровна.( Частное учреждение Центр образования «Русская школа» г.Москва).

Урок алгебры и начала анализа в 11 классе( в рамках итогового повторения и подготовки к ЕГЭ).

Тема: Решение иррациональных неравенств.

Тип урока: совершенствование умений и навыков.

Цели урока:

дидактическая: научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стимулировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения;

развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи, вырабатывать умение анализировать и сравнивать;

воспитательная: прививать аккуратность и трудолюбие, приучать к эстетическому и грамотному оформлению записи в тетради.

1.Организационный этап урока. (1мин.)

Приветствие учащихся. Отметить отсутствующих учащихся.

2.Постановка цели урока (3мин.)

-Сегодня мы продолжим отрабатывать навыки решения иррациональных неравенств, используя не только стандартные методы и способы, но и нестандартные.

(Записывается дата, тема урока)

3.Проверка домашнего задания(10 мин.)

На дом было предложено решить иррациональное неравенство:

=5- x

различными методами.

У доски 4 человека показывают свои решения. (Если учащиеся не могут показать все методы решений, то правильное решение показывается на интерактивной доске.)

1 способ.

Метод равносильных преобразований.

= 5- х,

-15

Ответ:[-15;1].

2 способ.

Метод интервалов.

+x-5

Пусть f(x)= +x-5

D(f)=[-15;+∞)

f(x)=0, если

x=1.

f(10)>0

f(0)<0,значит f(x)≤0 при -15≤x≤1,т.е. ≤5-x при -15≤x≤1.

Ответ :[-15;1].

3 способ.

Метод замены переменной.

Пусть =y, где y≥0, тогда x+15=y², x=y² -15.

Неравенство примет вид:

y≤5-(y² -15)

y≤20- y²

y² +y-20≤0

(y+5)(y-4)≤0

-5≤y≤4, так как y≥0, то 0≤y≤4.

Выполнив обратную замену, получим:

0≤≤4

0≤x+15≤16

-15≤x≤1

Ответ:[-15;1]

4 способ.

Функционально -графический.

Рассмотрим функции y(x)= и g(x)= в их общей области определения, т.е. на промежутке [-15;+∞). Так как y(х) - возрастающая функция, а g(х)- убывающая функция, то при условии существования значения x, при котором значения функций f и g равны, это значение единственное. Подбором находим x=1-единственный корень уравнения

тогда y(x)≤g(x) при -15≤x≤1.

Ответ: [-15;1]

В это время остальные учащиеся класса устно отвечают на вопросы:

а)Какие неравенства называются иррациональными?

Ответ: Иррациональными неравенствами называются неравенства, у которых неизвестные величины находятся под знаком корня.

б)Перечислите методы решения иррациональных неравенств.

Ответ: Метод интервалов, метод равносильных преобразований, метод замены переменной, функционально-графический метод.

в)Какой метод решения является основным?

Ответ: основным методом решения иррациональных неравенств является метод равносильных преобразований.

г)Что следует помнить при решении иррациональных неравенств?

Ответ: При возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается равносильное неравенство, а при возведении в четную степень равносильное неравенство получается лишь, когда обе части неравенства неотрицательны.

4.Выполнение упражнений:

1) устно: найти целые решения неравенства(2 мин): решает один ученик, другие следят за верностью рассуждений. Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.

+ 5 <3

Решение:

Т.к. ОДЗ неравенства : 1≤х≤2, то целыми решениями могут быть только числа 1 или 2.проверкой убеждаемся, что х=2 -единственное целое решение неравенства.

2)Письменное решение неравенств.

а) У доски один учащийся решает неравенство(4мин) Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.

Решить неравенство:

>0

Решение.

Заметим, что x²+2x+3>0 при любом значении переменной. Умножим обе части неравенства

>0 >0 x²-x-2>0 (x+1) (x-2)>0

Ответ:(.

В это время другой ученик решает индивидуально на боковой доске, затем проверяется решение, исправляются ошибки. Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.

Решить неравенство:

>6-x

Решение .

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем.

а) x>6.

б) 2 <x≤6.

Ответ: x>.

б)Один ученик решает у доски.

Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.( 4мин)

+ ≤

Решение.

Данное неравенство равносильно системе

. Понятно, что эта система решений не имеет.

Ответ: решений нет.

3 ученика работают по карточкам.

№1.

Решить неравенство функционально-графическим методом:

+ <6.

№2.

Решить неравенство:

(x+2) ≥0.

№3.Решить неравенство:

3 - >1

в) у доски один ученик решает, другие записывают решение в тетрадь. Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.(5мин)

Решить неравенство

- >1.

Решение.

Пусть 3x² +5x+2=t, t≥0.

Тогда - >1, > +1.

Это неравенство равносильно системе

Отсюда 0≤ t <4.Теперь достаточно решить систему

3)Самостоятельная работа.

Учащиеся решают самостоятельно, затем решение проверяется по изображению на интерактивной доске.(8 мин)

Решить неравенство методом интервалов.

≤3x-4 .

Решение.

Рассмотрим функцию f(x)= -3x+4.

1)D(x)=R, поскольку x² -3x+6≥0 для любого x;

2)функция f (x) -непрерывна на R;

3) Найдем корни уравнения f(x) =0.

Данное уравнение равносильно системе:

Получаем единственный корень x=2,таким образом, f(x) сохраняет свой знак на промежутках (

Определим знак f(x) на каждом из указанных промежутков:

1. f(x)>0 на (- +4>0;

2. f(x)<0 на (2;+,так как f(3) = -9+4= -5<0.

Ответ: [2;+

5.Домашнее задание.(5 мин) Заранее записано на интерактивной доске. Записывается в тетрадь, учитель поясняет задание, обращает внимание, что аналогичные были решены на уроке. Решить неравенства:

1. < х-1

2. < + .

3. + >3.

4. <2x+1.

5.Необязательное задание.

Найти сумму и число целых корней неравенства: >0

6.Подведение итогов урока.(3 мин).